人教版高中数学必修一教案(讲义)：映射与函数(PDF版).pdf

函数及其表示函数及其表示 教 师：苗金利 - 第 1 页 - 第第 3 讲讲 函数（函数（function）及其表示）及其表示 一、映射（一、映射（mapping）定义）定义 一般地，设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f，对于集合 A 中的任何一个元素，在集 合 B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合 A、B 以及 A 到 B 的对应法则 f）叫做从集 合 A 到集合 B 的映射。 记作“f：AB”其中f是对应法则，A 是原象集（起始集） ，B 是包含象集的集（终止集） 。 或记作“ f xy ” ，f是对应法则，x 是原象，y 是象。 （如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么，和 A 中的元素 x 对应的 B 中元素 y 叫做 x 的象，x 叫做 y 的原象） 说明：说明： （1）映射有三个要素 A B f 原象集 包含象集的集 对应法则 （2）定义三条件 A B 中每一个元素 中 唯一 （3）映射有向：集合 A 中的任何一个元素都有象，并且象是唯一的，不要求 B 中每一个元素 都有原象，即 B 中可能有些元素不是集合 A 中的元素的象； （4）映射的要点在于“对一” 多对一 一对一 练习：练习：设 A=R，B=R， 21 : x fx x + 是 A 到 B 的映射 （1）设aA，则 a 在 B 中的象是什么？ （2）设tA，则1tA+ ，那么 t1 在 B 中的象是什么？ （3）在映射 f 下，3 的原象是多少？ （4）若 s-1 在映射 f 下的象为 5，则 s 是多少，s 在 f 下的象是多少？ 勘误：题目中勘误：题目中 A=R，改为，改为 A=正实数正实数 二、函数二、函数 1 函数定义： 函数定义： 映射:fAB（其中 A、 B 是非空数集） ， 叫函数。 记作： y=f （x） ， 其中,xA yB； 原象集合 A 叫做函数 f （x） 的定义域(domain)， 象集合 C 叫做函数 f （x） 的值域(range)， 很显然，CB； 说明： 说明： （）函数三要素：两域及对应法则 （）函数与映射的关系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广。 - 第 2 页 - 2分段函数：分段函数：对于定义域内的不同取值范围，函数的解析式也不同。 3复合函数：复合函数：若( )(,)yf u uC yB=且( )(,)ug x xA uCC=；则 ( ( )yf g x=（,xA yB） ，叫函数( )yf u=与( )ug x=的复合函数。 例题分析例题分析 例 1判断下列对应哪些是从集合 A 到集合 B 的映射，哪些是从集合 A 到集合 B 的函数： （1）A=直角坐标平面上的点，B=（x，y）|,xR yR，对应法则是：A 中的点与 B 中的 （x，y）对应； （2）A=平面内的三角形，B=平面内的圆，对应法则是：作三角形的外接圆； （3）A=N，B=0，1，对应法则是：除以 2 的余数 （4）A=0，1，2，B=4，1，0，对应法则是 f： 2 xyx= （5）A=0，1，2，B=0，1， 2 1 ，对应法则是 f： 1 xy x = 例 2下列函数 f（x）与 g（x）是否表示同一个函数，为什么？ （1） 0 ( )(1)f xx=；( )1g x = （2）( )f xx=； 2 ( )g xx= （3） 2 ( )f xx=； 2 ( )(1)g xx=+ （4）( ) |f xx=； 2 ( )g xx= 例 3已知函数( )( )xgxf,分别由下表给出： 则( )1gf的值 ；满足( )( )xfgxgf的x的值 . 例 4求下列函数的定义域 （1） 1 ( ) | f x xx = （2） 1 ( ) 1 1 f x x = + x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x)3 2 1 - 第 3 页 - （3） 2 ( )45f xxx=+ （4） 2 4 ( ) 1 x f x x = （5） 2 ( )610f xxx=+ （6）( )131f xxx=+ 说明：关于函数的定义域说明：关于函数的定义域 （1）自然定义域：若对未加限制，则使）自然定义域：若对未加限制，则使( )f x有意义的集合有意义的集合 （2）复合函数的定义域：）复合函数的定义域：( )f x中中 x 的范围，即为的范围，即为( ( )f g x中，中，( )g x的范围，再解的范围，再解 x 即得结果。即得结果。 （3）几何问题、实际问题、物理问题等，应注意变量的实际意义。）几何问题、实际问题、物理问题等，应注意变量的实际意义。 例 5 （1）已知 2 2(1) ( )( 12) 2(2) xx f xxx xx + = 4 (43)0aa （3）解： 1 2 ( ) 1 x f x x = 2 2 222 2 ( ) 1 ( )( ( ) 1 1 x f x