§4.8正弦函数、余弦函数的图象与性质.doc

科目数学课题4.8正弦函数、余弦函数的图象与性质教材分析重点正弦函数、余弦函数的图象形状及其主要性质（包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性）难点1 利用正弦线画出函数y=sinx,x0,2的图象；2 利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线；3 周期函数与（最小正）周期的意义。关键点充分利用图形讲清正弦、余弦曲线的特性，认真梳理好讲解的顺序（包括推导步骤和图象、简图画法的安排），通过一定的训练使学生正确了解有关概念和图象性质。教学目标知识目标1 用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；2 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；3 正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系；4 正弦函数和余弦函数的性质；5 周期函数的定义、周期函数的周期和最小正周期的定义，正弦函数和余弦函数的周期的求法。能力目标1 了解如何利用正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；2 理解周期函数与（最小正）周期的意义，并通过正弦曲线、余弦曲线了解正弦函数、余弦函数的性质；3 会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图，会用这一方法画出与正弦函数、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间0，2上的简图。情感目标使学生进一步了解从特殊到一般，从一般到特殊的辨证思想方法和分析、探索、化归、类比的科学研究方法在解决数学问题中的应用。课时安排4课时教法多媒体教学教学设备教与学过程设计具体见下教学后记教与学过程设计第一课时正弦函数、余弦函数的图象与性质（一）（一）引入课题电脑演示一次函数、反比例函数、二次函数、对数函数、指数函数的图象，并指出研究一种函数，我们都会去研究它的性质，如：定义域、值域、奇偶性、单调性等，而研究这些性质有一个很好的工具就是函数图象。那么，三角函数的图象究竟是怎样的呢？它的定义域、值域、奇偶性、单调性又是如何的呢？今天，我们就一起来学习这部分内容。（二）复习旧知在此之前我们先复习一些必要的知识。1电脑演示正弦线、余弦线的定义，同时说明：当角度变化时，对应的线段MP的长度就是这个角度的正弦值。2电脑演示作出点（），为作正弦函数图象作铺垫。（6分钟）（三）新课一、 正弦函数的图象下面我们一起来画正弦函数的图象。（边操作边讲解）说明：1、这里将单位圆12等分，如果分得越细，则图象越精确，就像描点法作函数图象，点描得越多，图象越精确；2、描点；3、作图。提问：我们作出了正弦函数在区间上的图象，但正弦函数对任意角均有值，即定义域为？（实数集R）如何作在其他区间上的函数图象呢？由终边相同的角的三角函数值相等知：在区间上其函数图象与在上是一样的，在上也一样，在其他区间上也是一样。每隔2正弦函数的图象就出现一次重复，如此充满整个实数轴。可以想象，正弦函数的图象是怎样的？（电脑演示完整的正弦函数图象）说明：正弦函数的图象叫做正弦曲线。二、 五点法作正弦函数图象可以看出这种方法作三角函数图象是比较精确的，我们称之为：几何法。虽然几何法作图精确，但太麻烦，不容易操作。有没有简单点的方法作三角函数的图象呢？请同学们观察在0，2上正弦函数的图象，它上面哪几个点对函数图象的确定起关键作用？为什么？（基本确定图象的形状）电脑显示这五个点，以示突出所以我们只要画出这五个点，这个图形就基本确定了。因此，在精确度要求不太高时（画草图），我们一般可采用这种方法来画三角函数图象帮助我们分析。这种方法要比我们刚才的几何法简单得多，我们称之为：五点法。三、 余弦函数的图象正弦函数的图象已经得到了，那我们当然急切地知道，余弦函数的图象是怎样的？别急，我们马上来研究。我们知道，正余弦函数有着十分密切的关系，正弦可以通过一些诱导公式转化为余弦，因此我们猜想它们的图象也应该有着某种联系。下面先设法找到函数y=cosx与正弦函数y=sinx之间的关系。，由此可见：函数y=cosx与函数是同一个函数，因此它们的图象应该是一样的。也就是说，余弦函数的图象可以由正弦曲线向左平移个单位得到。（电脑演示，将正弦曲线进行平移）余弦函数的图象叫做余弦曲线。同样在0，2上的余弦曲线上哪几个点起关键作用？为什么？练习：在同一直角坐标系内，用五点法分别画出函数，的简图。说明：1、学生练习，教师稍后电脑演示（注意指出哪五点）；2、提问：这两条曲线有何关系？四、 正弦函数、余弦函数的主要性质（计算机显示正余弦函数的图象）请同学们观察正余弦函数的图象，讨论解决以下几个问题，稍后请两组各推选一名代表作总结。（1） 这两个函数的定义域分别是什么？（2） 它们的值域分别是什么？最大值、最小值是多少，此时自变量x等于什么？（3） 它们的奇偶性如何？为什么？（4） 它们的单调性如何？它有什么特殊的地方？为什么会有这种周期性？（图象本身或者说函数本身就存在周期性）（5） 这两个函数还有没有与其他函数不一样的性质？（提示：我们一直在强调的；或从图象上看？）教师引导出周期性（先感性认识，不深入）说明：1、学生总结后，各小组派代表阐述结论，其他同学补充；2、教师归纳；（电脑显示正弦函数的性质）（五）作业1 复习P48-52；2 课件上的补充题。第二课时正弦函数、余弦函数的图象与性质（二）（一）复习与引入上节课，我们学习了两种作正余弦函数的图象的方法，其中我们经常要用到的是五点法作图。（一图了事）教师在黑板上用五点法画出函数y=sinx，y=cosx的图象（列表、描点、连线），同时说明五个关键点的坐标。强调作正余弦函数要抓住五个关键点。（二）新课一、正余弦函数作图例1 画出下列函数的简图（1）y=1+sinx,x0,2;(2)y=-cosx,x0,2.说明：1、第（1）题由教师演示（列表，描点，作图），第（2）题由学生自行完成，教师校对；2、作正弦、余弦函数的图象必须抓住五个关键点；3、第（1）题中的函数与函数y=sinx,x0,2的图象之间有何关系？（由函数y=sinx,x0,2上的每一点向上平移一个单位长度或图象向上平移一个单位长度）第（2）题中的函数与函数y=cosx,x0,2的图象之间有何关系？（关于x轴对称）4、口答：请根据函数y=sinx，y=cosx的图象，画出函数y=sinx-1，y=1-cosx的图象。5、推广并归纳：y=sinx+m，y=cosx+n可由y=sinx，y=cosx经过怎样的变换而得到？（在y轴上平行移动）若在自变量x上加上某个实数则在x轴上作平行移动，如；y=-sinx+m，y=-cosx+n呢？6、学生练习：P56练习3，学生板演，教师讲评。二、正余弦函数的周期性函数y=sinx，y=cosx的周期（最小正周期）均为2，换句话说，自变量x只要并且至少要增加到x+2，正余弦函数的值才能重复取得。1、周期性是三角函数的一个特殊性质，正是由于这个特殊性质的存在，使得正弦、余弦函数的图象、性质呈现出一种不断重复的特性。正是由于周期性，对三角函数的某些性质的解释也就顺理成章了。（极值、单调性的反复出现）2、正余弦函数的周期性（突破重点与难点）正余弦函数的这种特性可由诱导公式sin(x+2k)=sinx,cos(x+2k)=cosx(kZ)来解释，正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复取得的，我们作图也是按此性质画出的。像正弦、余弦这种函数我们称为周期函数。若记f（x）=sinx，上式如何表达？（f（x+2k）=f（x），其中2k就是周期）同学们能不能用一条数学式子将周期函数表达出来？教师引导：对于任一个函数f（x），若它是周期函数，周期为T。则它在定义域内的任一点x上的函数值与它在此基础上过了一个周期的函数值是相等的，即f(x)=f(x+T)。下面请同学们给出周期函数的定义：一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T就叫做这个函数的周期。例如，2，4，-2，-4等都是正弦函数和余弦函数的周期，事实上，任何一个常数2k(kZ且k0)都是这两个函数的周期。对于一个周期函数，如果在它所有的周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。例如正余弦函数的最小正周期就是2。今后如不加特别说明，周期即指最小正周期。周期函数的定义与奇函数、偶函数的定义有类似的地方：函数对于定义域内的每一个值，都有：f（-x）=-f（x），则为奇函数；f（-x）=f（x），则为偶函数；f（x+T）=f（x），则为周期函数。例3判断下列语句的正误，并说明理由：（1），函数y=sinx的周期为；（错，对定义域内的每一个值x都要满足f(x+T) =f(x)，只个别满足不能说T是它的周期，如）（2）任何周期函数均有最小正周期；（错，反例：常数函数f(x)=c）（3）若T（T0）是函数f(x)的周期，则nT（nZ且n0）也是它的周期。（对，简证：f(x+T) =f(x)，f(x+2T) =f(x+T)+T= f(x+T) =f(x)，同样f(x+3T)= f(x+2T)+T= f(x+2T)= f(x)，以此类推f(x+nT)= f(x)，所以nT也是它的周期）例4求下列函数的周期：（1） y=3cosx，xR；（2） y=sin2x，xR；（3）处理：1、利用换元思想，令整个式子为z，当z只要并且至少要增加到z+2时，自变量x只要并且至少要增加到多少；2、最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小的正数，这个最小的正数是相对x来讲的；3、由此可知，这些函数的周期只与自变量x的系数有关，一般地，对于函数与令z=，当z只要并且至少要增加到z+2，而此时z+2=（）+2=，即自变量x只要并且至少要增加到，函数值才能重复取得，即是能使等式及成立的最小正数。从而函数及的周期。根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期。如，例3中（1）（2）（3）的周期分别为。学生练习：P56练习5说明：1、学生练习后校对，进一步说明三角函数的周期只与自变量x的系数有关；2、补充题：已知函数是周期为2的周期函数，且，求的值。（2n）（三）作业1 复习课本2 P57-58习题4.8第1、3题3 每课一练（一）第三课时正弦函数、余弦函数的图象与性质（三）（一）新课作出正余弦函数在0，2上的图象，从图中我们可以得到正弦函数、余弦函数的许多性质：1定义域：y=sinx，xR，y=cosx，xR；（板书）2值域：函数y=sinx，y=cosx的值域都是-1，1；（板书）说明：1、函数y=sinx，y=cosx何时取到最大值，最小值？（板书）2、y=3sinx，y=1-2cosx的值域呢？3、例1求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么？（1）y=cosx+1，xR；（2）y=sin2x，xR；（3）y=-2sin2x+1，xR.说明：三角函数的最值与相位无关（图象说明是左右平移），与振幅、后系数有关（图象说明是伸缩与上下平移）学生练习：P56练习4（口答）3奇偶性：从图象看，正弦函数关于原点对称，故正弦函数是奇函数；余弦函数关于y轴对称，故余弦函数是偶函数。根据诱导公式sin(-x)=-sinx，cos(-x)=cosx也可得出相同结论。学生练习：判断下列函数的奇偶性：（1）；（奇）（2）（奇）4单调性：由正余弦曲线可以看出各自的单调性。口答（判断正误）：正弦函数在第一象限是单调递增的。（反例：）说明：单调性只能在区间上说明，而不能说在某象限此函数的单调性。例2不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0：（1）；（2）.说明：1、此题实质是根据函数的单调性比较函数值的大小，也可以通过图象来判断；2、在角度（自变量）比较简单时，可以直接找单调区间；若比较复杂，则可以通过诱导公式将角度化得简单后再比较。3、进一步：比较下列各数的大小：sin2，sin3，sin4（sin2sin3sin4，图象来解）（二）解题训练1、P56-57第1、2、4、6、7、8题2、P57-58第2、3、4、6题（三）作业1、解题训练剩下的例题2、每课一练（打勾的题）第四课时正弦函数、余弦函数的图象与性质（四）（一）例题解析例1求函数（xR）的值域。说明：1、教师引导解决，再给出 （xR）让学生求值域；2、归纳函数（xR）的值域为3、求函数的值域，指出求函数值域要注意定义域的限制。4、学生练习：求函数的最大值、最小值；进一步，加限制条件；5、求例1中的函数的最值，取得最值时x的取值范围；再求函数（）取得最值时x的取值