《线性代数》第二章参考答案+详解.pdf

第二章第二章矩阵及其运算矩阵及其运算 1 计算下列乘积计算下列乘积 (1) 1 2 7 075 321 134 解解: 1 2 7 075 321 134 102775 132) 2(71 112374 49 6 35 (2) 1 2 3 ) 321 ( 解解: 1 2 3 ) 321 (132231)(10) (3) 21( 3 1 2 解解:) 21( 3 1 2 23) 1(3 21) 1(1 22) 1(2 63 21 42 (4) 204 131 210 131 4311 0412 解解: 204 131 210 131 4311 0412 6520 876 (5) 3 2 1 332313 232212 131211 321 )( x x x aaa aaa aaa xxx 解解: 3 2 1 332313 232212 131211 321 )( x x x aaa aaa aaa xxx (a11x1a12x2a13x3，a12x1a22x2a23x3，a13x1a23x2a33x3) 3 2 1 x x x 322331132112 2 333 2 222 2 111 222xxaxxaxxaxaxaxa 2 设设 111 111 111 A 150 421 321 B 求求 3AB 2A 及及 ATB 解解: 111 111 111 2 150 421 321 111 111 111 323AAB 2294 20172 22132 111 111 111 2 092 650 850 3 092 650 850 150 421 321 111 111 111 BAT 3 已知两个线性变换已知两个线性变换 3213 3212 311 54 232 2 yyyx yyyx yyx 323 312 211 3 2 3 zzy zzy zzy 求从求从 z1 z2 z3到到 x1 x2 x3的线性变换的线性变换 解解: 由已知 2 2 1 3 2 1 514 232 102 y y y x x x 3 2 1 310 102 013 514 232 102 z z z 3 2 1 16110 9412 316 z z z 所以有 3213 3212 3211 1610 9412 36 zzzx zzzx zzzx 4 设设 31 21 A 21 01 B 问问 (1) ABBA 吗? 解解: ABBA 因为 64 43 AB 83 21 BA所以 ABBA (2) (AB)2A22ABB2吗? 解解:(AB)2A22ABB2 因为 52 22 BA 52 22 52 22 )( 2 BA 2914 148 但 43 01 128 86 114 83 2 22 BABA 2715 1610 所以(AB)2A22ABB2 (3) (AB)(AB)A2B2吗? 解解:(AB)(AB)A2B2 因为 52 22 BA 10 20 BA 90 60 10 20 52 22 )(BABA 而 71 82 43 01 114 83 22 BA 故(AB)(AB)A2B2 5 举反列说明下列命题是错误的举反列说明下列命题是错误的 (1) 若 A20 则 A0 解解: 取 00 10 A 则 A20 但 A0 (2) 若 A2A 则 A0 或 AE 解解: 取 00 11 A 则 A2A 但 A0 且 AE (3) 若 AXAY 且 A0 则 XY 解解: 取 00 01 A 11 11 X 10 11 Y 则 AXAY 且 A0 但 XY 6 (1) 设 1 01 A 求 A2 A3 Ak 解解: 12 01 1 01 1 01 2 A 32 101010 21131 AA A 10 1 k A k 用数学归纳法证明 当 k2 时 显然成立 假设 k 时成立，则 k1 时， () 1 101010 1111 kk AAA kk 由数学归纳法原理知 10 1 k A k (2) 设 00 10 01 A 求 Ak 解解: 首先观察 00 10 01 00 10 01 2 A 2 2 2 00 20 12 3 23 23 23 00 30 33 AAA 4 34 234 34 00 40 64 AAA 5 45 345 45 00 50 105 AAA k A () 12 1 1 2 0 00 kkk kk k k k k k 用数学归纳法证明 当 k2 时 显然成立 假设 k 时成立，则 k1 时， ()112 2 11 10 001 0000 k kkkk kkkk k k AAAk () () () 1111 2 11 1 1 01 00 kkkkk kk k k k 由数学归纳法原理知 k A () 12 1 1 2 0 00 kkk kk k k k k k 7.(1) 设 31 13 A，求 A50和 A51. 解：解：EA10 100 010 31 13 31 13 2 则. .) )( () )( (EEAA 252525250 1010 . . 31 13 1010 25255051 AAAA (2) 设, , , , T abAba 4 2 1 3 1 2 求 100 A. 解：解：8 3 1 2 421 abT. 则 . . ) )( ( ) )( () )()( () )( ( 1263 421 842 8 4218 3 1 2 99 99 99 100100 TT TTTTTT baba bababababaabA 8 (1) 设 A B 为 n 阶矩阵，且 A 为对称矩阵，证明 BTAB 也是 对称矩阵 证明证明: 因为 ATA 所以 (BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB 从而 BTAB 是对称矩阵 (2) 设 A B 都是 n 阶对称矩阵， 证明 AB 是对称矩阵的充分 必要条件是 ABBA 证明证明: 充分性 因为 ATA BTB 且 ABBA 所以 (AB)T(BA)TATBTAB 即 AB 是对称矩阵 必要性 因为 ATA BTB 且(AB)TAB 所以 AB(AB)TBTATBA 9 求下列矩阵的逆矩阵求下列矩阵的逆矩阵 (1) 52 21 解解: 52 21 A |A|1 故 A 1 存在 因为 12 25 * 2212 2111 AA AA A 故* | 1 1 A A A 12 25 (2) cossin sincos 解解: cossin sincos A |A|10 故 A 1 存在 因为 cossin sincos * 2212 2111 AA AA A 所以* | 1 1 A A A cossin sincos (3) 145 243 121 解解: 145 243 121 A |A|20 故 A 1 存在 因为 21432 1613 024 * 332313 322212 312111 AAA AAA AAA A 所以* | 1 1 A A A 1716 2 1 3 2 13 012 (4) n a a a 0 0 2 1 (a1a2 an0) 解解: 1 2 0 0 n a a A a 由对角矩阵的性质知 n a a a A 10 01 1 2 1 1 10 已知线性变换已知线性变换 3213 3212 3211 323 53 22 yyyx yyyx yyyx 求从变量求从变量 x1 x2 x3到变量到变量 y1 y2 y3的线性变换的线性变换 解解: 由已知 2 2 1 3 2 1 323 513 122 y y y x x x 故 3 2 1 1 2 2 1 323 513 122 x x x y y y 3 2 1 423 736 947 x x x 3213 3212 3211 423 736 947 xxxy xxxy xxxy 12 设设 Ak O (k 为正整数为正整数) 证明证明(E A) 1 E A A2 Ak 1 证明证明 1: 因为 AkO 所以 EAkE 又因为 EAk(EA)(EAA2 Ak1) 所以(EA)(EAA2 Ak1)E 由定理 2 推论知(EA)可逆 且 (EA) 1 EAA2 Ak1 证明证明 2:一方面 有 E(EA) 1 (EA) 另一方面 由 AkO 有 E(EA)(AA2)A2 Ak1(Ak1Ak) (EAA2 A k1)(EA) 故(EA) 1 (EA)(EAA2 Ak1)(EA) 两端同时右乘(EA) 1 就有 (EA) 1 (EA)EAA2 Ak1 13 设方阵设方阵 A 满足满足 A2 A 2E O 证明证明 A 及及 A 2E 都可逆都可逆 并并求求 A 1 及及(A 2E) 1 证明证明 1: 由 A2A2EO 得 A2A2E 即 A(AE)2E 或EEAA)( 2 1 由定理 2 推论知 A 可逆 且)( 2 1 1 EAA 由 A2A2EO 得 A2A6E4E 即(A2E)(A3E)4E 或EAEEA)3 ( 4 1 )2( 由定理 2 推论知(A2E)可逆 且)3 ( 4 1 )2( 1 AEEA 证证明明 2:由 A2A2EO 得 A2A2E 两端同时取行列式得 |A2A|2 即|A|AE|2 故|A|0 所以 A 可逆 而 A2EA2 |A2E|A2|A|20 故 A2E 也可逆 由A2A2EO A(AE)2E A 1 A(AE)2A 1 E)( 2 1 1 EAA 又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E (A2E)(A3E)4 E 所以(A2E) 1 (A2E)(A3E)4(A2 E) 1 )3 ( 4 1 )2( 1 AEEA 14 解下列矩阵方程解下列矩阵方程 (1) 12 64 31 52 X 解解: 12 64 31 52 1 X 12 64 21 53 80 232 (2) 234 311 111 012 112 X 解解: 1 111 012 112 234 311 X 033 232 101 234 311 3 1 3 2 5 3 8 122 (3) 10 13 11 02 21 41 X 解解: 11 11 02 10 13 21 41 X 21 01 10 13 11 42 12 1 21 01 03 66 12 1 0 4 1 11 (4) 021 102 341 010 100 001 100 001 010 X 解解: 11 010 100 001 021 102 341 100 001 010 X 010 100 001 021 102 341 100 001 010 201 431 012 15 利用逆矩阵解下列线性方程组利用逆矩阵解下列线性方程组 (1) 353 2522 132 321 321 321 xxx xxx xxx 解解: 方程组可表示为 3 2 1 153 522 321 3 2 1 x x x 故 0 0 1 3 2 1 153 522 321 1 3 2 1 x x x 从而有 0 0 1 3 2 1 x x x (2) 0523 132 2 321 321 321 xxx xxx xxx 解解: 方程组可表示为 0 1 2 523 312 111 3 2 1 x x x 故 3 0 5 0 1 2 523 312 111 1 3 2 1 x x x 故有 3 0 5 3 2 1 x x x 16 设设 A 为为 3 阶矩阵阶矩阵 2 1 |A 求求|(2A) 1 5A*| 解解: 因为* | 1 1 A A A 所以 | 5 2 1 | *5)2( | 111 AAAAA| 2 5 2 1 | 11 AA |2A 1 |(2)3|A 1 |8|A| 1 8216 17 设设 321 011 330 A AB A 2B 求求 B 解解: 由 ABA2B 可得(A2E)BA 故 321 011 330 121 011 332 )2( 1 1A EAB 011 321 330 18 设设 101 020 101 A 且且 AB E A2 B 求求 B 解由 ABEA2B 得 (AE)BA2E 即(AE)B(AE)(AE) 因为01 001 010 100 |EA 所以(AE)可逆 从而 201 030 102 EAB 19 设设 A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求求 B 解解: 由 A*BA2BA8E 得 (A*2E)BA8E B8(A*2E) 1 A 1 8A(A*2E) 1 8(AA*2A) 1 8(|A|E2A) 1 8(2E2A) 1 4(EA) 1 4diag(2 1 2) 1 ) 2 1 , 1 , 2 1 (diag4 2diag(1 2 1) 20 已知矩阵已知矩阵 A 的伴随阵的伴随阵 8030 0101 0010 0001 *A 且且 ABA 1 BA 1 3E 求求 B 解解: 由|A*|A|38 得|A|2 由 ABA 1 BA 1 3E 得 ABB3A B3(AE) 1 A3A(EA 1 ) 1 A 11 *)2( 6*) 2 1 ( 3 AEAE 1030 0606 0060 0006 6030 0101 0010 0001 6 1 21 设设 P 1 AP 其中其中 11 41 P 20 01 求求 A11 解解: 由 P 1 AP 得 APP 1 所以 A11 A=P11P 1 . |P|3 11 41 *P 11 41 3 1 1 P 而 11 11 11 20 01 20 01 故 3 1 3 1 3 4 3 1 20 01 11 41 11 11 A 684683 27322731 22 设设 AP P 其中其中 111 201 111 P 5 1 1 求求 (A) A8(5E 6A A2) 解解:()8(5E62) diag(1158)diag(555)diag(6630)diag(1125) diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P()P 1 *)( | 1 PP P 121 303 222 000 000 001 111 201 111 2 111 111 111 4 23 设矩阵设矩阵 A 可逆可逆 证明其伴随阵证明其伴随阵 A*也可逆也可逆 且且(A*) 1 (A 1 )* 证明证明: 由* | 1 1 A A A 得 A*|A|A 1 所以当 A 可逆时 有 |A*|A|n|A 1 |A|n10 从而 A*也可逆 因为 A*|A|A 1 所以 (A*) 1 |A| 1 A 又*)( |)*( | 1 11 1 AAA A A 所以 (A*) 1 |A| 1 A|A| 1 |A|(A 1 )*(A 1 )* 24 设设 n 阶矩阵阶矩阵 A 的伴随矩阵为的伴随矩阵为 A* 证明证明 (1) 若|A|0 则|A*|0 (2) |A*|A|n1 证明证明: (1) 用反证法证明 假设|A*|0 则有 A*(A*) 1 E 由此得 AA A*(A*) 1 |A|E(A*) 1 O 所以 A*O 这与|A*|0 矛盾，故当|A|0 时 有|A*|0 (2) 由于* | 1 1 A A A 则 AA*|A|E 取行列式得到 |A|A*|A|n 若|A|0 则|A*|A|n1 若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立 因此|A*|A|n1 25 计算计算 3000 3200 1210 1301 3000 1200 1010 0121 解解: 设 10 21 1 A 30 12 2 A 12 13 1 B 30 32 2 B 则 2 1 2 1 BO BE AO EA 22 2111 BAO BBAA 而 42 25 30 32 12 13 10 21 211 BBA 90 34 30 32 30 12 22B A 所以 2 1 2 1 BO BE AO EA 22 2111 BAO BBAA 9000 3400 4210 2521 即 3000 3200 1210 1301 3000 1200 1010 0121 9000 3400 4210 2521 26 设设 22 02 34 43 O O A 求求|A8|及及 A4 解解: 令 34 43 1 A 22 02 2 A 则 2 1 AO OA A 故 8 2 1 8 AO OA A 8 2 8 1 AO OA 168 2 8 1 8 2 8 1 8 10| |AAAAA 46 4 4 4 4 2 4 1 4 22 02 50 05 O O AO OA A 27 设设 n 阶矩阵阶矩阵 A 及及 s 阶矩阵阶矩阵 B 都可逆都可逆 求求 (1) 1 OB AO 解解: 设 43 21 1 CC CC OB AO 则 OB AO 43 21 CC CC s n EO OE BCBC ACAC 21 43 由此得 s n EBC OBC OAC EAC 2 1 4 3 1 2 1 4 1 3 BC OC OC AC 所以 OA BO OB AO 1 1 1 (2) 1 BC OA 解解: 设 43 21 1 DD DD BC