从直观图象写出角动量算符的球坐标表示_王正行.pdf

从直观图象写出角动量 算符的球坐标表示 北京大学技术物理 系 王正行 梦? ?十。?一 梦?二 ? ? 岁? , ? 摘 要 在坐标表象中 , 动 量 算并 在一给定方 向的 投影 , 等于一伍 乘以对于在此方 向的位 移 的偏 微商 , 角动 量算符在一给定方向的投影 , 等于 一艺?乘以对于在此方向的角位移的偏微商 ? 从动 量算符和角动 量算符的这种几何意 义出 发 , 根据直观的图象 , 利用简单的几何 关系 , 就 可写出它们的球坐标表示 ? 推 得其平方算符表 示的方 法也较简单 ? ? 一 九 ? ? ? 梦? ? ? 其中 。 是 ? 点 的无穷小位移 ? 这个式子表明 , 动量算符在 , 方向的投影乡 。 等于在 此方向的 偏微商乘以一讯 , ?、 ? 尹 ? ?一 乞? ,汤 丁 月?石 ? 角动量算符的球坐标表示 , 通常是从它的 直 角坐标表示出发 , 经过 自变 量 变换? 二 , 夕 , ? ?、? , 夕 , 甲? 而求得的 ? ? 做这个变换 , 要算 一些偏微商 , 虽然并不难 , 但是比较繁 , 结果也 不容易记 ? 如果从角动量算符的定义出发 , 可 以省去这些偏微商运算 , 根据球坐标的几何关 系直 接写 出来 , 既直观 , 又容易记 ? 我们先来给出动量算符?一讯甲和角动 量算符 ?一 ? 义 ? 的几何意义 ? 动量算符对波 函数梦? 的 作 用 , 比例 于波函数的梯度 ? 梦? , 所以 ?十? 点与 ? 点波函数 的差可以 当 ? 分别取在三个直角坐标轴的方向时 , 它就 给 出了动量算符的直角坐标表示 ? 当 ? 是围绕通过原点 的某轴旋转 的无穷小 位移时 , 可以把它 写成 。? 各, ? ? ? 其中角位移矢量各 , 的大小?甲为转过的 无 穷 小弧度 , 而其方向取在转轴的方向 ? 把它代人 ? 式 , 有 梦? ? ?一梦? ? ?二 ? 一葱? ?, 又, ? , 苏 梦?,? ? 一乞 九 ? ?中 ? ? ? ?梦? ? ? 一坛 元 ?尹?梦? 写成 ?少 命 , 他被聘为维也纳大学的理论物理学教授 , 从 而实现 了他年青时代的一个梦想作 他的 老 师玻尔兹曼和哈泽内尔的继任人 ? 他在维也 纳 大学工作了两年 , 主要致力于培养科学 人才以 及讲授广义相对论和膨胀宇宙等课程 ? 奥地 利 政府为 了表彰他对科学的贡献 , 授予他本人一 项以他命名的 薛定愕奖 , ? 年他又获得奥地 利艺术与科学奖章 ? 但 由于年老力衰 , 又 不断 为病魔所扰 , 不 得不于 ? ? 年退休 ? 他卒于 ? ? ? 年 ?月 , 享年 ? 岁 ? 薛定愕曾获得许多大学的名 誉博士称 号 , 又是许多著名科学机构的会员 , 包括苏联科学 院 , 普鲁士科学院 , 英国皇家学会 , 奥 地利科学 院等 ? 他是历 史上伟大的物理学家之一 , 他在科 学上所作出 的许多贡献 , 是他留给 人类 的宝贵 财富 , 人类将永远从他的著作中不断吸取营养 , 受到启发和鼓舞 , 不断推动科学向前发展 ? 其中? ? , ? ? 正是粒子的角动量算符 ? 所以 这个式子表明 , 角动量算符在角位移?,方向 的投影艺 , 等于对此角度的偏微商乘以一讯 , 和晋 ?, , 见图 ? ? 于是我们有角动量算符在三 个互相垂直的方向上的投影 、 ?产、 ?产 八? ?才 矛 、了、 、 李 ? , 口 山 ? ?一 乞?气? ?一 ?中 ? 一 “晶 。一 , 备 “ , 一 、, 击命 一 “一?“命“, 把艺 , 与? , 分别投影到 二 和 ? 轴 , 我们就有 艺 一 ? 下 ?中艺 。? 。? ?,?甲?。 一“ ? ?, 备 ? 一? “一, 命? 一 , ? 。? ? ?晋 ?, ? ? 。 ? , ?口 。 ? ?、 二一 多? ? 口一布二? 一? ? 口 ? 切佗? 、 ?口 口甲 ? ? ? ? 图? 现在我们来用 ? 式写出角动量算符的球 坐标表示 ? 请看图 ? ? 位移 , 二加 可以按 ? 点 的三个球坐标方向 。, ,?。 和 。, 分解 , 其分量分 别为? , , , 占 ? 和 ? 口?甲 ? 其中? ? 在 ? 的方 向 , 对于通过原点的任何轴都没有角动 量 ? 砧夕 对于 ?, 轴有一角位移胡 , 单位 矢 量 ?。 在 二? 平面内 , 与 二 轴的夹角为要十 , , 与 ? 轴的夹角 ? ? ? 一子 , 肖”?产 、产 ? 产 子 ? ? 矛 诸 一 , 肖”子 、 产? 为 甲 , 见 图 ? ? ? ? ? ? ?甲对 于 ? 轴 有角 位 移 乙甲 , 对 于 ?, 轴有角 位移 ,? 口 占甲? ? ? ?二 ? ? ?占中 ? 单位矢量 。, 也在 ? ? 平面内 , 并且与 。垂直 , 它与 ? 轴和 ? 轴的夹角分别为 “十甲 把上面得到 的艺 二 , 去 , 和去 ? 取平 方后相 加 , 就可得到角动量平方算符的球坐标表示 , 办 一 赴 ? 幻 ? 赴 二。? ? 口 ? , 口 ?一 ? ?归一,? ?, 二 , ? ?产? ? 廿,书? ?沙口口口份 ? ? 口中? ? 另一种做法 , 是用艺 ?, 去 。 和艺 。 的公 式? , ? 和? , 把角动 量矢量算符写成 乞 一 ? ? 艺 ? ? 。艺,?。? ? , ? 这时的三个单位矢 量中 , 只有 ? ? 恒在极轴方向 不变 , 而 ?, 与 ? , 均随 甲 角改变 ? 由图 ? 可 以 写 出 ? ? 。 口甲 由此即可算出 一 ” 万石 ? 一 粗 ? ? ? , 一?。 ? 丈 咨 ? 。, 上 。? 。, 去 , ? , 二工兰? 去若 十 ?落 ? ?。 , ? 。 ? ? 。?。? 二一? ? 口中? 了 一些响 ?中 “ 口 ? 。 ? ? 万砰 ? ? “?“, 刁了 图 ? ? ?“ 备? 一 , ? ? 丽扮备? “ 命 ? ? 十 一?二一?书号犷一 , 二 一,护 ? ? 山口 ? ? ? 一 , ? ? 二? ? , 代了一 ? ? ?。 ?了 ? 口? 十 心, ? 一二? ? 号尸, 二 ? ? ? 了? ?沙 ?甲? 。 一 匆 ? 一 , 与? ?式一致 ? 在做上述推演时 , 要用到? , ? , ?式以及单位矢量 。? , 。,? , 对 ? 和 甲 的 偏微商 ? 注意 。? 是常矢量 ,。 和 。, 与口无关 ? 由于它们互相垂直 , 在展开式中许多交 叉项都 为 ? ? 例如 ? ? ? ? ? ? 二 ?下?气厂 十 , ? 十 ?一二 , 妞一 ?二二孟? ? 犷 ?犷 ? ?口 ? 盆二二一 犷 ?口 ? ? 口 ? ? 了 一 命 。一示标 ? 箫? ? 告?器 万 命 ? ?备 ?二 , 一 。, 一 “? 一 “ 命? ? 。命? ? 口 ? ? 十 一一丁一二产二一 代了 ?节? ? ? 口 口中 ? ? ? 一 无? ? 。 一 ?“ 蒜 十 即器? ? ?备 ? ? 口 二一? ?一汽,尸 ? 以 ? ? 类似地 , 我们可 以用? ?式写出动量算符的 球坐标表示 六 ?, ? ? 口 ? ?一 “火下? , 下 丽 最后必须指出 , 虽然在经典力学中与球坐 标 ? , ? , 甲共辘的正则动量尹, , 尹 。, ? , 分别等于 线性 动量 ? 在 ? , 方向的投影 , 角动量? ? ? 在 ? 。 方向 的投影 L 。 和角动量在 。: 方向的 投 影艺: , 但是在量子力学的球坐 标表象中 , 与 : , e , 甲 共扼的正则 动量算符户 , 夕, , 乡 , , 其 中乡 , 一一一一 ,_、, _ ,二, . , d 人 _. _ ,_._ _ 、 并不等于( “)式中的一 无贪 , 乡 。 也不等于(7) ., O _ ,_ A ,_ ._ _ 。 式的一 h 命 , 只有户 等于L 一 它们的球坐标 表示是 “ 、了 OU1上 了. 、 、 . . . . , . . . . . . .r . . . . . . ! 闹 1 6 十 e.一一气一,一,产一 . 了 5 11 1 口O甲/ (1 6) 标表 .、 1 口 尹r二一 乞n二丁 万丁了 了!J 了- 其中括号部份其实就是算符 7的 球坐 示 2 . 从球坐标基矢的几何关系可以写 出 6e , d e , 乡 。二 一云h 丫舀 五 万 口 o 口 户 , -一 几一丁 不二 口W 一百 石 = e, , 几匆 一 = e e, d e , . 。 一甘一一 二 sln口e, - O 切 d e 。 d e 。 d 犷 一 口 de一一介 , 在得 出这些公式时 , 要仔细考虑在广义坐标下 的量子化 问题 , 很难从球坐标关系 的简单考虑 直接写 出 . 关于广义坐标下的量子化 , 值得专 文介绍 , 这里就不赘述 . (17) = cosoe, , 口 e_ 一 , 一厄 矽 - 一.” 参考 文 献 =一sin8. , 一eo sse e , 由此即可算出 1曾谨