全国高中数学联赛加试组合问题2018年6月整理.pdf

第 1 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 全国高中数学联赛加试组合问题全国高中数学联赛加试组合问题 【2017A2017A】 第 2 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 【2017B2017B】 【2016A2016A】 第 3 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 【2016B2016B】 第 4 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 【2015B2015B】 第 5 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 【2015A2015A】 第 6 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 【2014A2014A】 第 7 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 【2014B2014B】 第 8 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 第 9 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 【2013B2013B】 第 10 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 【2013A2013A】 【2012A2012A】 第 11 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 【2012B2012B】 【2011A2011A】 第 12 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 【2011B2011B】 第 13 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 第 14 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 【2010A2010A】 第 15 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 【2012010 0B B】无无 【20200909B B】 【202009A09A】 在非负数构成在非负数构成的的3 9数表数表 第 16 页 福建省泉州七中陈景文老师整理 111213141516171819 212223242526272829 313233343536373839 xxxxxxxxx Pxxxxxxxxx xxxxxxxxx 中 每 行 的 数 互 不 相 同 ， 前中 每 行 的 数 互 不 相 同 ， 前 6 列 中 每 列 的 三 数 之 和 为列 中 每 列 的 三 数 之 和 为 1 ， 172839 0 xxx， 27 x， 37 x， 18 x， 38 x， 19 x， 29 x均大于均大于 1如果如果P的前三列构成的数表的前三列构成的数表 111213 212223 313233 xxx Sxxx xxx 满足下面的性质满足下面的性质( )O：对于数表：对于数表P中的任意一列中的任意一列 1 2 3 k k k x x x （1k ，2，9）均存在）均存在某个某个123i， ，使得使得 123 min ikiiii xuxxx， 求证： （求证： （）最小值）最小值 123 min iiii uxxx，1i ，2，3 一定自数表一定自数表S的不同列的不同列 （）存在数表）存在数表P中唯一的一列中唯一的一列 * * * 1 2 3 k k k x x x ， * 1k ，2，3 使得使得3 3数表数表 * * * 1112 1 2122 2 3132 3 k k k xxx Sxxx xxx 仍然具有性质仍然具有性质( )O 【解析】【解析】 （）假设最小值 123 min iiii uxxx，1i ，2，3 不是取自数表S的不同列则存在一列不 含任何 i u不妨设 2ii ux，1i ，2，3由于数表P中同一行中的任何两个元素都不等，于是 2ii ux，1i ， 2，3另一方面，由于数表S具有性质( )O，在中取2k ，则存在某个 0 123i ， ，使得 00 2ii xu矛盾 （）由抽届原理知 1112 min xx， 2122 min xx， 3132 min xx，中至少有两个值取在同一列不妨设 2 12 22 2 m i nxxx， 313232 min xxx，由前面的结论知数表S的第一列一定含有某个 i u，所以只能是 111 xu同样，第二列中也必含某个 i u，1i ，2不妨设 222 xu于是 333 ux，即 i u是数表S中的对角线上 数 字 1 11 21 3 2 12 22 3 3 13 23 3 xxx Sxxx xxx ， 记129M ， ， ， 令 集 合 12 |min13 ikii IkM xxxi， 显 然 11 133 2 | kk IkM xxxx，且 1， 23I 因为 18 x， 3811 1xx ， 32 x， 所以8I 故I 于是存在 * kI 使得 * 2 2 max| k k xxkI显然， * 1k ，2，3下面证明3 3数表 * * * 1112 1 2122 2 3132 3 k k k xxx Sxxx xxx 具有性质( )O 从上面的选法可知 * 1212 : minmin iiiii ik uxxxxx ，(13)i ，这说明 * 1 11 21 1 min k xxxu， * 31323 3 min k xxxu， 又 由S满 足 性 质( )O 在 中 取 * kk， 推 得 * 2 2k xu， 于 是 * 22122 22 min kk uxxxx ，下证对任意的kM，存在某个1i ，2，3 使得 iik ux 假若不然，则 12 min ikii xxx，1i ，3 且 * 2 2 k k xx这与 *2k x的最大性矛盾因此，数表 S 满足性质( )O 下证唯一性设有kM使得数表 11121 21222 31323 k k k xxx Sxxx xxx 具有性质( )O，不失一般性，我们假定 111121311 minuxxxx， 221222322 minuxxxx， 331323333 minuxxxx， 3231 xx 由 于 3231 xx， 2221 xx及 （ ）， 有 1 1112111 min k uxxxx， 又 由 （ ） 知 ： 或 者 ( )a 3 313233 min kk uxxxx，或者 2 212222 ( )min kk b uxxxx，如果( )a成立，由数表S具有性质( )O， 则1 1112111 min k uxxxx， 2 2122222 min k uxxxx， 3 313233 min kk uxxxx， 由数表 S满足性质( )O，则对于