关于函数一致连续与非一致连续的判定.doc

函数一致连续与非一致连续的判定【摘要】 本文主要给出了判别函数在不同区间上一致连续和非一致连续的几种方法,并举例说明了所给方法的有效性.【关键词】 康托尔定理;一致连续;非一致连续;判定 【中图分类号】： 【文献标识码】： 【文章编号】：1 引言函数一致连续性问题是数学分析课程中的一个重要理论，但教材中只给出一致连续的概念和简单判定函数在闭区间上一致连续的定理，而在实际应用中使用定义判定函数在某个区间上是否一致连续又极为复杂.基于此，本文将给出判定函数在不同区间上一致连续与非一致连续的几个简单实用的方法,并举例说明了所给方法的有效性.2 关于函数一直连续与非一直连续的概念及康托尔定理定义1 设是定义在区间上的函数.若,使得,当时有成立,则称函数在区间上一致连续.定义2 设是定义在区间上的函数.若, ,，当时,有,则称函数在区间上非一致连续.若在闭区间上连续且有定义，则在闭区间上一直连续。3 函数在任意区间上的一致连续性判定定理1 函数在上一致连续的充要条件是在上连续且与都存在.证明 充分性. 构造辅助函数显然,在上连续,所以由Cantor定理,在上一致连续. 所以在上一致连续,即在上一致连续.必要性.在内一直连续,则对，当且时，有成立。显然，对端点，当满足，就有+，于是有，有柯西收敛准则可知即存在，同理可得存在。推论1 函数在上一致连续的充要条件是在上连续且存在.推论2 函数在上一致连续的充要条件是在上连续且存在.定理 2 函数在区间I上一致连续的充要条件是：对I上任意二数列只要，就有（当时）。 证明： （必要性） 因一致连续，所以任意，存在，当时有 （1）但 （当时），故对，存在当时， 从而由（1） ，即 （当时）。 （充分性） 若在I上非一致连续，则存在，任意，存在，虽然 ，但。可见 ，但矛盾。即 在区间I上一致连续。定理3 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在.证明 因为=存在，所以由Cauchy收敛准则，对于 ,时,有成立. 所以在上一致连续.因为在上连续.所以在上连续,从而一致连续.又因为,从而可知在上一致连续.推论3 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且与都存在.推论4 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且存在.推论5 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在定理4 函数在上一致连续的充分条件是在上连续且和都存在，同时均有界。证明 因为在上连续，所以在上连续.又由于 存在，所以由定理2知在上一致连续.同理由定理3可知，在上一致连续.因为.从而可知 在上一致连续定理 5 若对于定义在区间上的函数和,有成立,而在上一致连续,则在上也一致连续.证明 对于任给，由于在上一致连续，所以,使得对于,只要,就有成立.故对于上述，结合已知条件有=成立，从而可知在上一致连续.推论6 若函数在区间上满足下述Lipschitz条件,即,有成立,则在上一致连续.定理 6 设函数在区间上连续,且满足在上有界,则在上一致连续.证明 对于任意,由Lagrange中值定理知存在,使得，又因为在上有界,所以存在,使得,即有,所以.由的任意性可知在上满足Lipschitz条件，所以由推论5可知,在上一致连续.4 非一致连续的判定 关于在区间I上非一致连续的判定方法，从函数的一致连续的充要条件中，可以得出其中的反问题，因此主要有以下几种： （1） 非一致连续的定义（2） 函数在上非一致连续的充要条件是在上连续,与至少有一个不存在.（3） 设函数在,(或)连续,则函数在，(或)非一致连续的充要条件是,（或)不存在. （4） 设函数在区间上连续，若收敛,且,则函数在区间上非一致连续.证明 假设函数在区间上一致连续,则对于任意,存在,（不妨设）, 对于任意, 且当时,成立.又因为收敛,故对上述的,必存在，当,时,有,，总存在,使且,于是有,即,于是, ,当时,有.即,与矛盾.所以假设不成立, 从而在区间上非一致连续.5 应用举例例1函数问：在上是否一致连续？解 在上非一致连续.显然,在上连续，且.且收敛.但故.从而由定理8可知在上非一致连续.例2 证明函数在上非一致连续，但是在0，A上一致连续（A为任意有限正数）。 证明：取于是 但是，由此可知在上非一致连续；当区间限制在0，A时，有，对于任意给定的，可以去，对任意，只要，就成立，即在上一致连续。参考文献1华东师范大学数学系.数学分析(第三版)上册M.北京:高等教育出版社,2006,3.2华中师范大学数学系.数学分析(第三版)上册M.武汉:华中师范大学出版社,2006,8.3裴礼文.数学分析中典型问题与方法(第二版)M.北京:高等教育出版社,2004,5.4吉米多维奇数学分析习题集题解(第二版)M.山东科学技术出版社1999,11.5范新华. 判别函数一致连续的几种方法J.常州工学院学报, 2004,(04) . The Determine on Uniformly continuous and Non-uniformly continuous of FunctionAbstract：The paper shows several methods to determine the uniformly continuous and non-uniformly continuous of function in different intervals and explains the effective of these methods.K