固体物理第一章

固体物理学,授课教师郭辉,序,常温（23）常压（1个大气压下），物质存在四种聚集状态：液态、气态、固态、等离子态对应的物体：液体、气体、固体、等离子体,一、固体是物质存在的基本形式之一,液态液体,等离子态等离子体,固态固体,气态气体,二、固体材料由大量原子（或离子、分子）以一定方式排列形成,固体每立方厘米中有10221023个原子（或离子、分子）,Si(silicon):5.221022cm-3Ge（Geminium):4.421022cm-3GaAs(GalliumArsenic):5.30710-3kg/cm-3,组成固体的粒子牢固地相互联系，不能从一处移动到另一处，而只能在平衡位置振动。,Ga相对原子量=70As相对原子量=75GaAs平均相对原子量=72.5,GaAs平均质量=72.51.6610-27kg=1.210-25kg原子数/cm-3=5.30710-3kg/(1.210-25kg)=4.410-22,例：一种分子固体材料的结构,分子,分子,分子,分子,分子,分子,Na+,Cl-,例：氯化钠结构,例：金刚石结构,按晶体原子（或离子、分子）微结构有序程度，固体分：,三、固体材料分类,：粒子有序排列尺度10-6米（长程有序）,：粒子排列有序尺度在晶态和非晶态之间，具有5重或高于6重的旋转对称性，但不具有平移对称性。,：粒子在原子尺度（10-10米）有序排列（短程有序）,：粒子在微米量级内有序排列（晶粒），晶粒随机堆积形成固体，晶粒与晶粒间存在间界,：粒子在整个固体中有序排列,（1埃=10-8厘米=0.1纳米=10-10米）,固体,准晶体,晶体,非晶体,多晶体,单晶体,单晶硅(singlecrystalsilicon),多晶硅(polycrystalsilicon),非晶硅(amorphoussilicon),短程有序：1、近邻原子的种类和数目2、近邻原子之间的距离（键长）3、近邻原子的几何方位（键角）,非晶硅薄膜,衬底,四、主要学习内容,固体物理学从粒子严格三维有序排列的理想晶体出发，运用力学、电磁学、量子力学、X射线衍射等理论，对晶体微观结构和运动规律进行分析，与实验互相验证，建立完整的固体物理理论，并推广运用到其它固体中去。所以，本课程主要学习晶体（单晶体）的基本理论，内容包括：,第一章晶体结构第二章晶体的结合第三章晶格振动与晶体的热学性质第四章晶体缺陷第五章金属电子论第六章能带理论,第一章晶体结构第二章晶体的结合第三章晶格振动与晶体的热学性质第四章晶体缺陷第五章金属电子论第六章能带理论,五、教学进度、教材、参考资料,第一章晶体结构（约3次课）第二章晶体的结合（约2次课）第三章晶格振动与晶体的热学性质（约2次课）第四章晶体缺陷（约2次课）第五章金属电子论（约3次课）第六章能带理论（约2次课）课时51学时，14次课，考试1次，放假2次，共17次,教材固体物理学，朱建国编，科学出版社，2005年9月第1版参考书1、固体物理学，黄昆著，高等教育出版社，2002年第16版2、固体物理学，陈长乐编，西北工业大学出版社，1998年第1版3、固体物理概念题和习题指导，王矜奉编，山东大学出版社4、固体物理及物理量测量，林鸿生编，科学出版社，2005年10月第1版,教学时间每周一第4单元，第7、8、9节课，时间15:001:00教学地点教3-519教学要求必修课，考查（闭卷或开卷考试），考试成绩满分100分。每章作业需按时完成，每章交1次，在教师规定的时间内由各班学委收集后交教师阅改、登记。每缺1次作业在总成绩中扣2分，迟交1次扣1分。每缺课1次在总成绩中扣1分，代他人考勤1次扣3分，5次或5次以上缺课，取消参加该课考试。,第1章晶体结构,1.1晶体的共性,X射线晶体衍射分析表明,晶体内部的原子在微米数量级尺度按一定规则排列。单晶体内所有原子规则排列，多晶体由内部原子排列有序的小单晶粒随机构成。,1.1.1长程有序,铅板,X射线,底片,晶体,单晶硅,多晶硅,1.1.2自限性、解理性,自限性晶体具有自发形成封闭几何多面体（具有整齐、有规则的外形）的特性，非晶体不具有一定规则的外形,如：食盐结晶成立方体形，明矾结晶成八面体形,明矾结晶八面体,食盐结晶立方体,解理性,如：硅单晶体沿（111）晶面容易劈裂,晶体沿某些确定方位的晶面容易劈开的特性,1.1.3晶面角守恒,结晶时条件不同，得到的同一种晶体外形可能发生歪曲，但相应两晶面之间夹角不变。,例：,围绕光轴（C轴）每转动120，晶体自身重合。在垂直于C轴的平面内，石英晶体三重对称，相隔120方向上，晶体的物理性质相同。,C轴,120,1.1.4各向异性,晶体的物理性质（如光学性质、导热性等）与方向有关，物理量必须用张量表示。,多晶体的每个晶粒各向异性。但对多晶体本身而言，由于晶粒取向不同，使得晶粒各项异向抵消，多晶体一般不表现明显的各向异性。,1.1.5固定的熔点,晶体达到某一定温度即开始熔化，在没有全部熔化之前，温度不再上升，继续加热，外加热量使晶体从固态变化为液态。而非晶体在加热过程中，随着温度升高逐渐软化流动，最后完全变成液体。,1.2空间点阵（布拉菲点阵Bravaislattice）,19世纪，布拉菲提出，晶体内部结构可以看成是由一些相同的点子在空间周期性无限分布所构成，点子的总体称为空间点阵(lattice)。20世纪X射线衍射技术从实验上证实了空间点阵学说的正确性。,分子,分子,分子,分子,分子,点阵,例：,点子,点子,点子,点子,点子,1、晶格（crystallattice)、格点（latticesite)沿三个不同方向通过空间点阵中的点子作平行直线族，把点子包括无遗，便构成一个三维网络，这个三维网络称为晶格或布拉非格子，点子称为格点。,例：,2、基元(basis)如果晶体由不完全相同的原子组成，则不同原子构成的晶体基本结构单元称为基元。晶体由基元沿3个不同方向，各按一定周期平移而成。由格点代表基元重心或基元其它对应位置，格点周围的情况完全相同，构成空间点阵。晶体结构=空间点阵+基元,基元,空间点阵,例1：,点子,一个周期,例2：,Cl-,Cs+,基元由相距1/2对角线长的Cs+和Cl-组成,以晶格的一个格点为顶点，以某一方向两相邻格点的距离为该方向上的周期，以三个不同方向的周期为边长，其体积最小的平行六面体，称为原胞或固体物理学原胞。,原胞基矢,晶体结构=原胞沿三个不同方向上的周期性平移,3、原胞(primitiveunitcell),例：,A原胞有8个顶点，每个原胞含1个格点，是最小重复单元，可以平行、无交叠堆积，构成晶体。B原胞体积C不同原胞中对应点物理性质相同（平移对称性）D原胞有多样选择，但体积相同,（基矢混合积）,晶格平移矢量,原胞的性质,4、晶胞为同时反映晶格周期性和对称性，以一个格点为顶点，以晶体的三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴（基矢），矢量长度等于对称轴上两相邻格点距离，得到的平行六面体称为晶胞或结晶学原胞。,晶体结构=晶胞沿三个不共面对称轴的周期性平移,体心立方,面心立方,晶胞基矢,简单立方,例：立方晶系的晶胞,A.晶胞边长称为晶格常数；,晶胞的性质,体心立方:,晶胞边长,面心立方:,晶胞边长,B.晶胞不一定是最小重复单元，其体积是原胞体积的整数倍,取晶胞基矢作为坐标轴，坐标轴单位矢量用表示。,简单立方(sc：simplecubic),晶胞基矢：,原胞基矢：,晶胞与原胞体积相等，包含1个格点。,体心立方(bcc:body-centeredcubic),取晶胞基矢为坐标轴，坐标轴单位矢量,晶胞基矢,原胞基矢,晶胞体积,包含2个格点,原胞体积,包含1个格点,面心立方（fcc:face-centeredcubic),取晶胞基矢为坐标轴，坐标轴单位矢量,晶胞基矢,原胞基矢,面心立方晶格的晶胞与原胞,晶胞体积,包含4个格点,原胞体积,包含1个格点,C.除顶点外，格点可能出现在平行六面体的体心或面心上；D.能反映晶格的周期性和对称性；,5、复式格子(complexcrystallattice)不同原子构成的若干相同结构的布拉菲晶格相互套构形成的格子,两种原子一维复式格子,例：,P,R,Q,S,同种原子二维复式格子,例：,1.3晶格的周期性,1.3.1布拉菲格子(Bravaislattice)的等价数学定义,晶格平移矢量(positionvectors),确定基矢后，晶格中任一格点可以用矢量表示：,由于格点周期性排列，从任一格点出发平移后必然得到另一个格点，由上式确定的点集合与布拉非格子等价。,例：,1.3.2一维布拉菲格子,一种原子构成的一维无限长晶格,晶格平移矢量：,晶格某点物理量的周期性表示：,1.3.3一维复式格子,两种或两种以上不完全相同的原子各自构成相同结构的一维布拉菲晶格相互套构形成的格子,两种原子一维复式格子,晶格平移矢量：,晶格某点物理量的周期性表示：,1.3.4三维布拉菲原胞,晶格平移矢量,确定基矢后，晶格中任一格点矢量表示：,原胞体积：,包含1个格点,晶格某点物理量的周期性表示：,完全相同原子构成布拉菲晶格，其晶胞称为布拉菲晶胞，晶胞分简立方、体心立方、面心立方三种，对应晶体属于立方晶系。,简立方晶胞,实际晶体没有简立方晶格结构，一些复杂晶格可以在简立方晶格上分析。,1、简立方,1.3.5三维布拉菲晶胞,体心立方晶胞,Li、Na、K、Rb、Cs、Fe具有体心立方晶格结构,2、体心立方,面心立方晶胞,Au、Ag、Al具有面心立方晶格结构,3、面心立方,晶系、布拉菲晶胞,晶体具有一定的宏观对称性，其布拉菲格子的晶胞基矢的取法是有限的，满足32种晶体宏观对称性的晶胞有14种，称为14种布拉菲晶胞。每一种晶胞基矢的组合方式称为晶系，共分7个晶系（7种组合方式）。,图1.10,表1.1,选定一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面所围成的多面体。,WS原胞只包含一个格点，其体积与固体物理学原胞体积相等，是最小周期重复单元。WS原胞避免了基矢选择问题，与布拉菲点阵具有完全相同的对称性。,威格纳-赛兹原胞（WS原胞，对称化原胞）,1.4密堆积、配位数,1.4.1密堆积,密排面,A,A,A,A,A,A,A,将晶体的原子看成是同种等大刚性球，将这些球在一个平面内按最紧密方式排列，形成密排面。任意一个球与周围六个等大球相切，形成密排面。,二维平面,A,A,A,A,A,A,A,把密排面按最紧密方式叠起来，所形成的圆球堆积称为密堆积。,密堆积,1.4.2密堆积结构,分析表明，原子在晶体中的排列采取尽可能紧密方式，但最紧密结构只有两种：,六方密堆积（等大刚性球六方密堆积）,第2层密排面刚球球心对准第1层密排面刚球之间相间的3个空隙，第3层密排面刚球球心对准第1层密排面刚球球心，构成AB/AB/AB堆积。,A,A,A,A,A,B,B,B,A,A,C,C,C,A,B,A,A,B,A,六方密堆积结构的原胞:,的夹角=120度,基元有两个原子：,立方密堆积,第2层密排面刚球球心对准第1层密排面刚球之间空隙，第3层密排面刚球球心对准第1层密排面C空隙，构成ABC/ABC/ABC堆积,A,A,A,A,A,A,立方密堆积结构的晶胞:,配位数：一个原子周围最邻近的原子数。晶体最大配位数：12晶体可能配位数：12，8，6，4，3，2,1.4.3配位数(coordinationnumber),A,A,A,A,A,B,B,B,A,A,晶体最大配位数：,体心立方晶格配位数=8,面心立方晶格配位数=12,1.4.4密度（致密度packingfactor）,晶胞中的原子体积与晶胞体积的比值,1.5几种典型的晶体结构,1.5.全同原子构成的典型晶体结构,体心立方晶体结构面心立方晶体结构,1.5.2立方晶系复式格子晶体,1、氯化钠型结构(sodiumchloride),Na+,Cl-,Na+和Cl-各自构成面心立方晶胞，沿晶胞基矢方向相互移动半个晶格常数套构形成氯化钠结构。,2、氯化铯型结构(cesiumchloride),Cs+和Cl-各自构成简单立方晶格，沿立方体空间相互移动1/2对角线长度套构形成氯化铯结构。其基元由相距1/2对角线长度的一个Cs+和Cl-组成，基元代表点（格点）形成简单立方格子。,Cs+,Cl-,3、金刚石结构(diamond),A,B,B,B,B,A,A,A,同种原子形成两类格点相互套构,体对角线1/4处碳原子和顶角、面心处碳原子分布在两个不同面心立方晶格中，沿立方体对角线相互移动1/4对角线长度套构形成金刚石结构。基元由相距1/4对角线长度面心（或顶角）碳原子和位于1/4对角线长度处的不等价碳原子组成，基元代表点形成面心立方格子。,顶角、面心,体对角线1/4处,金刚石结构晶胞,两套面心立方晶格沿体对角线位移1/4套构成金刚石晶格：,4、闪锌矿型结构（Zineblende),砷化镓晶体结构,体对角线1/4处砷原子和顶角、面心处镓原子各自构成面心立方晶格，沿立方体对角线相互移动1/4对角线长度套构形成闪锌矿结构。基元由相距1/4对角线长度的面心（或顶角）镓原子和位于1/4对角线长度处砷原子组成，基元代表点（格点）形成面心立方格子。,砷,镓,晶胞,5、钙钛矿结构(calsiumtitanate),Ba,O1,Ti,O,O,O,钛酸钡氧八面体的排列,钛酸钡晶胞,钡位于立方晶胞顶角，钛位于立方晶胞体心，三组氧分别位于立方晶胞面心处。整个晶格由钡、钛、三组氧各自组成的简单立方格子套构而成。,6、C60晶体结构,富勒烯（Fullerene)足球烯巴基球(Buckyball),C60晶体结构由12个五边形、20个六边形组成的32面体，60个顶点放有碳原子的空笼状结构，具有二十面体的对称性，是和金刚石、石墨完全不同的碳的第三种结构形式。顶角碳原子分别与三个最近邻碳原子相联形成12个五边形、20个六边形。五边形环由单键构成，键长0.15纳米;两个相邻六边形的公共棱边为双键,键长0.14纳米;,室温下,C60晶体为面心立方结构，每个C60分子位于面心立方格点上，晶格常数1.42纳米。,晶格常数,C60,C60,C60,C60,C60,C60,C60,温度降低到249K时，C60分子晶体相变为简单立方晶格。,1、禁带宽度1.72.3电子伏特,可能成为理想的光电子材料,尤其是电致发光(可见光或近红外光辐射);2、掺杂改变C60分子晶体的导电性，已经取得18K48K的临界温度；3、已实现C60分子晶体的有效掺杂，改变其导电极性（P型或N型）；4、在常温高压下，发生向金刚石结构的转变，为人工合成金刚石开辟了新途径；,C60分子晶体的应用:,A,B,A,1.5.3六方密堆积结构(hexagonalclose-packed),1、六方密堆积结构（同种等大刚性球六方密堆积）,O,O,C,基元：,配位数：12,六方轴,2、纤锌矿（六方ZnS）型结构,c,族硫离子,由六方硫离子晶格和六方锌离子晶格沿六方轴C方向移动3C/8长度套构形成，在（001）面上按ABAB堆积，正四面体结构为基本结构。,族锌离子,c,1.6晶向指数、晶面指数,1.6.1晶向(crystaldirection)、晶向指数(crystaldirectionindices),晶列1,晶列2,晶列,过任意两个格点作一条直线称为晶列，同一晶格有无穷种晶列。每个晶列定义了一个方向，称为晶向。若一组平行直线族把布拉菲格点全部包括，这组直线称为同族晶列。,同族晶列特点：（1）具有相同方向（晶向）；（2）晶列上格点周期相同；（3）同一平面内，相邻晶列间的距离相等；,晶向指数,设原胞基矢,，格点为原点，,沿着某晶向，离原点最近格点的位置矢量：,将化成互质整数：,称为晶向指数，记为,晶列上的格点周期等于位置矢量的模：,例1：一个二维平面晶格：,晶向指数,晶向指数,例2：一个简单立方晶格子,晶向指数,晶向指数,等效晶向指数,（只画出水平面）,晶胞基矢坐标中，格点为原点，晶格其它格点的位置矢量：,晶胞基矢量下的晶向指数,标志晶列方向，也称为晶向指数，,将化成互质整数，,记为,将全部格点用一族平行平面全部包括，该平行平面族称为晶面系（族），族中每个平面称为晶面。同一晶格有无穷种不同晶面族。,晶面,晶面族特点：（1）晶面方向相同；（2）相邻两晶面间距相等；（3）各晶面格点分布相同；,1.6.2晶面、晶面指数,晶面族取向,选择原点，确定3个不共面矢量为坐标轴，某平面在3个坐标轴上的截距：,空间平面取向,得到该平面截距式方程：,得到该平面法线矢量和单位法线矢量：,为避免平面平行坐标轴，出现平面在该轴上截距无穷大，取平面在3个坐标舟上的截距的倒数互质整数比表示平面取向：,晶面指数(crystalplaneindices),选择任意格点为原点，以原胞基矢为坐标轴，晶面在坐标轴上的3个截距的倒数的互质整数组称为晶面指数。,以晶胞基矢为三个坐标轴，晶面在坐标轴上的3个截距的倒数的互质整数组称为密勒指数，记为。,密勒指数(millerindices),1,1,1,2,2,2,3,例：写出晶面指数,化成互质整数比：,晶面在三个轴上的截距：,截距的倒数：,晶面指数：,等价晶面族,同一晶体中，因对称性而等价的晶面族称为同族晶面族,包括8个晶面族：,如：,(111),选择晶胞基矢，离原点最近晶面在晶胞基矢上的的截距：,设晶面间距，晶面系单位法线矢量，,晶面间距(latticeplaneseparationdistance),对正交坐标系：,得到密勒指数晶面系晶面间距：,对立方晶格：,晶面间夹角,两个法线矢量为的晶面系的夹角余弦：,对立方晶格，两个晶面系的夹角余弦：,解理面,密勒指数简单的晶面族，面间距较大，晶面格点密度大，晶面间的结合力较小，容易劈裂，这些晶面容易成为解理面。,例：金刚石型在密勒指数简单的晶面上的原子分布：,（111）面是金刚石型晶体的解理面,1.7晶体的宏观对称性（晶体的外型对称性）,1.7.晶体的宏观对称性、对称操作（操作后晶体自身重合）,几何图形的对称性,圆,正方形,等腰梯形,不规则四边形,旋转操作,围绕中心旋转不变,旋转90、180、270重合,只在旋转360下不变,只在旋转360下不变,对直线反射操作：,对任意直径的反射不变,对边中心连线和对角线的反射不变,只对上下底边中心连线的反射不变,不存在任何对称线,例：,对称操作：围绕C轴（光轴）转动120，晶体自身重合。在垂直于C轴的平面内，石英晶体三重对称，相隔120方向上，晶体物理性质相同。,C轴,120,晶体的宏观对称性,格点与坐标一一对应，晶体对称操作是对格点坐标变换后，晶体状态不变。对称操作不改变晶体中任意两点间距离，是线性变换。,如果变换对于任意数量和集合中任意两个向量满足关系：1、2、3、称为的线性变换。,1.7.2对称操作的变换关系（数学表示）,线性变换,用矩阵表示：,证明：以表示某种操作，,操作矩阵是正交矩阵,点到原点距离：,（单位矩阵）,所以，变换矩阵必须是正交矩阵，即：,1、转动,晶体围绕轴转角后回复原状,晶体对称操作的变换关系（数学表示）,（单位矩阵）,变换矩阵是正交矩阵,2、中心反演,（单位矩阵）,变换矩阵是正交矩阵,3、平（镜）面反映,（单位矩阵）,变换矩阵是正交矩阵,4、平移,平移变换矩阵不是正交矩阵,1、次旋转对称轴,晶体围绕某一固定轴旋转后能自身重合的转动对称操作。对应的固定旋转轴称为次对称轴。,晶体只有5种旋转对称轴，和6次以上旋转对称轴不存在。,1.7.3晶体的基本对称操作,晶体旋转对称性定律,证明：,设围绕固定点转动前，某格点的位置矢量：,转动后该格点位置矢量：,取，得到：,等式左右两边分别相加,熊夫利符号,国际符号,旋转对称轴图形符号,没有5重旋转对称轴存在,不可能使五边形互相连接充满整个平面，所以没有,2、次旋转反演轴,将晶体围绕某一固定轴旋转后再经过中心反演，使晶体重合。,中心反演,镜面反映,1,2,2,3,1,4,非独立对称操作,独立对称操作,1,3,4,2,5,6,7,8,2,5,3,4,1,非独立对称操作,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,满足晶体宏观对称性要求的晶体基本对称操作共有8种：,8种基本对称操作的共同特点特点是操作过程中至少保持一点不动。所以，又称为点对称操作。,3、晶体的32种宏观对称类型（点群）、晶系,群（group),一组元素集合，在它们之间规定一种“乘法法则”，如果满足以下性质，则称为群。A、集合G中任意两个元素的乘积仍为集合内的元素B、元素间的乘法满足结合律C、集合中存在单位元素，集合内所有元素满足：D、对集合中任意元素，一定存在逆元素，满足：,例：正实数群：所有正实数集合，以普通乘法为运算法则，单位元素为1，正实数的逆为。,例2：群：元素，集合，以连续操作为乘法运算法则，单位元素为（不动操作），的逆为。,点群,点群=,由于晶格周期性，晶体的8种基本对称操作组合时受到严格限制，只能得到32种组合，对应32种晶体宏观对称类型，由32个点群来概括。,32个点群表：,参考黄昆“半导体物理学”，PP32,晶格基元以一定周期性平移无限排列，平移对称操作反映这种微观对称性。,1.8晶体的微观对称性,1.8.1晶体的微观对称操作,1.平移、平移轴,例：,例：4度螺旋轴,A4,A3,A2,A,4,3,2,1,A1,绕轴旋转度，再沿旋转轴方向平移晶格周期的的倍距离，格点重合。,2.螺旋轴,、滑移反映面,A2,A2,A1,A1,A,A,经平面反映后，再沿平行该平面上某一方向平移周期的距离，格点重合。,：平移方向上的晶格周期,滑移反映面,例：,描述晶体宏观对称性的32种对称操作类型(点群)加上描述晶体微观对称性的两类平移对称操作,可以得到230种操作，构成空间群。每种空间群对应一种晶体结构类型。,4、空间群,1.9倒格子、布里渊区,倒格子基矢(basisvectorofreciprocallattice),设晶格（正格子）基矢为，满足：,的矢量为倒格子基矢。,1.9.1倒格子(reciprocallattice),确定的点集合称为构成倒格子空间（倒易点阵、倒易晶格），构成的平行六面体称为倒格子原胞。,由倒格子平移矢量矢（倒格矢）：,倒格子空间(reciprocalspace),例：,1、倒格子的每个基矢与正格子的两个基矢正交,同理,证明：,2、倒格子基矢的量纲是长度-1，与正格子基矢的量纲成倒数,1.9.2倒格子与正格子的关系,比例系数,3.倒格矢与正格矢的点积是的整数倍,正格矢,倒格矢,4.倒格子原胞体积与正格子原胞体积成反比,正格子原胞体积,倒格子原胞体积,利用,a2/h2,B,B,C,5.倒格矢与正格子晶面族正交,晶面族中最靠近原点的晶面ABC在基矢上的截距：,ABC面上：,A,O,证明：,6.倒格矢的模等于晶面族面间距倒数的倍,倒格矢是晶面族的法线矢量，晶面族面间距：,1.9.3布里渊区(Brillouinzone),1.定义,倒格子空间中，选一倒格点为中心，作该点与最邻近倒格点连线的中垂面，中垂面所围成的多面体构成第一布里渊区(firstBrillouinzone)（倒格子空间的WS原胞）。,例：,第一布里渊区,在倒格子空间以某格点为坐标原点，由原点到次近邻倒格点引倒格矢，然后作倒格矢的垂直平分面，这些平分面围成的界面与第一布里渊区界面所围区域为第二布里渊区。在倒格子空间中以某格点为坐标原点，由原点到再次远倒格点引倒格矢，然后作倒格矢的垂直平分面，这些平分面所围成的界面与第一布里渊区界面、第二布里渊区界面所围区域为第三布里渊区。第四布里渊区,第二布里渊区,第三布里渊区,2.布里渊区界面方程,根据定义，布里渊区界面是倒格矢的垂直平分面，倒格矢量：,设倒格子空间一个任意矢量,例:,方向上的单位矢量,倒格子空间中，满足布里渊区界面方程的矢量端点的集合构成布里渊区界面。,如果的末端落在布里渊区界面上，则:,布里渊区界面方程,布里渊区界面,3.一维晶格的布里渊区,正格子基矢,倒格子基矢,离原点最近的倒格矢,第一布里渊区边界：,正格子基矢,倒格子基矢,倒格矢,倒格子空间任意矢量,代入布里渊区界面方程：,4.二维正方晶格的布里渊区,第一布里渊区界面方程：,对应离原点最近的个倒格点：,第一布里渊区：,原点,对应离原点次近邻的个倒格点：,第二布里渊区界面方程：,与第一布里渊区界面围成的区域为第二布里渊区,第二布里渊区：,第三布里渊区：,离原点再次远近邻的个倒格点：,第三布里渊区界面方程：,与第一、第二布里渊区界面围成的区域为第三布里渊区,5.三维立方晶格的布里渊区,三维简单立方晶格的布里渊区,正格子基矢,倒格子基矢,倒格矢,倒格子空间任意矢量,代入布里渊区界面方程：,第一布里渊区界面方程：,对应离原点最近的6个倒格点：,第一布里渊区：,第一布里渊区是简单立方，其体积（倒格子原胞体积）,面心立方晶格第一布里渊区,晶格原胞基矢,倒格子是体心立方，倒格子原胞基矢,倒格子原胞体积,面心立方格子晶胞与原胞,倒格子空间的任意一个矢量：,代入布里渊区界面方程：,倒格矢：,离原点最近的8个顶点坐标：,第一布里渊区：,代入界面方程，得到第一布里渊区8个界面方程,8个顶点与原点连线的中垂面围成正八面体，体积，比倒格子原胞体积大，不是第一布里渊区。,次近邻6个倒格点：,ky,与原点倒格矢的中垂面截去正八面体的6个角，形成十四面（截角八面体），其体积等于体心立方倒格子原胞的体积。,kz,kx,L,面心立方晶格第一布里渊区一些特殊对称点,布里渊区中心,布里渊区边界与轴的交点,布里渊区边界与轴的交点,布里渊区边界与轴的交点,001,111,010,110,100,x,L,x,x,k,金刚石晶格由两个面心立方格子套构而成，第一布里渊区由两个面心立方倒格子第一布里渊区套构而成。,金刚石结构第一布里渊区,晶胞,第一布里渊区,1.10晶体结构的X射线衍射,对固体物理的深入研究始于X射线晶体衍射的发现,波长范围10-7米10-13米之间的电磁波，X射线晶体衍射波长10-10米，与晶体中原子间距相近。,X射线,铅板,一束射线穿过铅板上的小孔，投射到薄片晶体，在照相底片上，在一些确定的方向上产生很强的衍射光斑（劳厄斑点）。,X射线,底片,晶体,1.10.1晶体结构X射线衍射实验（劳厄实验）的基本原理,实验装置,实验原理,当X射线照射晶体时，所有格点发射散射波（子波），散射波发生相干加强，使某些方向上出现衍射极大。,B,A,C,取格点为原点，任意格点A的位置矢量：,某方向上的散射波波矢,入射波波矢,假设入射波波矢的大小与散射波波矢的大小相等（忽略康普顿效应）：,康普顿效应：波长的X射线照射到晶体上，散射波中出现部分波长向长波方向移动，这种改变波长的散射称为康普顿效应。,两个格点散射波之间的光程差：,B,A,C,散射波相干加强产生衍射极大的条件：,取,根据倒矢和正格矢关系：,表示当X射线散射波矢与入射波矢之差等于倒格矢时，在散射波矢方向上产生衍射极大。劳厄方程是晶体X射线衍射极大条件在倒格子空间的表示。,得到倒格矢表示的散射波相干加强产生衍射极大条件：,劳厄方程：,劳厄方程的几何表示,晶面,、构成等腰三角形,忽略康普顿效应,将劳厄公式两端同时点乘倒格矢：,或,劳厄方程的等价形式,晶面,X射线衍射布拉格公式,布拉格将晶体对X射线衍射极大看成是晶面对X射线的反射相干加强形成，当光程差等于入射光波长的整数倍时，产生衍射极大：,上下两晶面反射光光程差：,布拉格公式,光程差等于入射光波长的整数倍时，产生衍射极大：,晶面,晶面,晶面,晶面,由劳厄方程的等价形式得到：,倒格矢的模：,晶面,晶面,晶面,晶面,晶面,劳厄方程：,与布拉格公式完全等价,1.10.2反射球劳厄方程图（厄瓦尔构图）,在倒格子空间，取任意倒格点为原点，画出入射波波矢，以入射波矢的末端为球心，入射波矢的模为半径，画球面（反射球）。,球心到球面上任一倒格点的反射波矢都满足劳厄方程：,300,200,100,0,100,200,劳厄方程给出入射X光作用下晶体产生衍射极大的方向。,劳厄方程的局限,晶体X射线衍射是晶体电子对X射线散射的结果。电子分布在原子中，原子分布在原胞中，原胞分布在布拉菲格子中，所以晶体X射线衍射图案不仅与晶体布拉菲格子有关，还与基元中原子种类、原子分布、原子电子分布有关。劳厄方程没有涉及具体原胞和原子，不能给出衍射图案的强度。,1.原子散射因子（原子形状因子）,原子内所有电子在某一方向上产生的散射波振幅的和与某一个电子在该方向上产生的散射波振幅的比。,原子对X射线散射，取决于原子中每个电子对X射线的散射。原子电子按轨道分布，各电子对于X射线的散射波存在一定位相差，散射波形成干涉，给出的不同的衍射图形强度。,1.10.3原子散射因子、几何结构因子,分析：,原子核,K,L,M,硅原子电子分布,硅价电子的SP3杂化轨道:,硅,硅,硅,硅,1s22s22p63s23p6,单个电子对X射线的散射,设入射X射线波矢为，圆频率，振幅的平面波：,B,A,C,P：观察点,电子,经过一个电子散射后，形成沿径向传播球面散射波：,：观察点到电子的位置矢径,：散射波圆频率,：散射波波矢,：散射长度（描述单个电子散射能力的参数）,若原子中有个电子（画出三个电子的情况）,假定观察点离晶体很远，各电子的散射波看成平面波,P：观察点,入射X射线平面波,各电子散射波传播到P点时，与坐标原点电子的散射波的波程差：,原点,根据劳厄方程，要产生衍射极大，必须有：,第个电子产生的散射波的波程差用倒格矢表示：,观察点P的电子散射波是个电子散射波迭加：,电子散射波总振幅：,原子散射因子,若原子核外电子分布采用量子力学模型，电子分布为按一定几率分布的电子云，则原子散射因子：,：电子分布几率,2、几何结构因子、消光现象,对带基元的晶格，原胞内所有原子在某一方向上产生的散射波总振幅与某一个原子在该方向上产生的散射波振幅的比。,复式晶格中不同原子构成的晶格有相同周期。所以，原胞中一种原子晶格的衍射极大方向，也是其他种原子晶格的衍射极大方向。不同原子晶格对X射线的衍射极大存在固定相位差，相互干涉。总衍射强度取决于：不同原子晶格衍射极大的相位差，取决于不同原子晶格的相对距离；不同原子晶格衍射极大的强度，取决于不同原子的散射因子。,分析：,若一个原胞中有个原子,各原子的散射波传播到P点时相对于坐标原点原子产生的散射波的波程差：,入射X射线平面波,原点,假定观察点离晶体很远，各电子的散射波看成平面波,P：观察点,第个原子产生的散射波的波程差：,第个原子产生的散射波：,第个原子的原子散射因子,原胞中各原子产生的总散射波：,散射波总振幅：,几何结构因子：,若晶体有N个原胞，则在方向上的散射波强度是N个原胞在该方向上散射波强度的迭加，总散射波强度：,消光现象,几何结构因子，衍射极大不出现。,几何结构因子的计算,晶胞包含两个原子，,1.体心立方晶体,晶胞基矢,倒格子基矢,倒格矢,若两个原子为同种原子，,奇数,偶数,晶胞基矢,2.面心立方晶体,晶胞中包含四个原子，,倒格子基矢,倒格矢,若四个原子为同种原子，,部分为奇数，部分为偶数,全部为奇数或偶数,晶胞基矢,3.金刚石晶体,倒格子基矢,倒格矢,晶胞中包含个同种原子，,若四个原子为同种原子，,全部为奇数,全部为偶数,1.10.4晶体X射线衍射的实验方法,1、劳厄法,x,z,单晶体（固定）,连续谱X射线,平面底片,平面底片,劳厄法实验原理,连续谱X射线投射到固定晶体上，满足劳厄方程时，底片上出现衍射斑点。若X射线入射方向与晶体对称轴平行，衍射斑点将具有与该轴同样的对称性。,y,若X射线波长，得到反射球：,落在最大反射球和最小反射球之间的倒格点，都满足劳厄方程，大大提高了衍射斑点数量。但可能同时有许多波长对同一晶面都满足劳厄方程，形成同一衍射斑点。劳厄法不适合确定晶格常数，而用来测量晶