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课外 园地 关于复数的三角不等式 430062 湖北大学数学与计算机科学学院 沈 华 我们知道,对于任意两个复数z1和z2,有 z1-z2 z1+z2z1+z2, 这是有名的的三角不等式.它是一个极其初 等而又重要的不等式,在分析学里扮演着基 本的角色,具体可见文献12.根据这个不 等式,我们容易知道,对于任意两个模为1的 复数t1和t2,亦有 z1-z2 t1z1+t2z2z1+z2. 现在,我们运用三角形的正弦定理和射影定 理来分析上面的三角不等式,首先证明下面 的 定理1 设z1、z2和z是3个复数,满足 z1-z2 z z1+z2, 则存在两个模为1的复数t1和t2,使得 z=t1z1+t2z2. 在证明这个定理之前,我们作如下的约 定:对于任意非零复数z, argz表示z的幅角, 这样 z=z(cosargz+isinargz) =zeiargz, z=z(cosargz-isinargz) =ze- iargz. 再注意到一个明显的事实,复数t的模t= 1 当且仅当t可写成t=ei的形式. 证明 假设复数z1、z2和z满足下面的不 等式: z1-z2 z z1+z2, 不失一般性,可设 z1+z20,并且 z1 z2,此时该不等式化为 z1-z2 z z1+z2. 当 z2=0时,必须 z=z1,于是 ze- iargz=z1e- iargz1,z=z1e- i(argz1- argz),此时结论 显然成立.当 z=0,即z=0时,必须 z1 -z2= 0,即z1e- iargz1-z2e- iargz2= 0,此时结 论仍然成立.下面假设 z1、 z2 和 z 都大 于0. 若 z1-z2=z,则 z1e- iargz1-z2e- iargz2=ze- iargz, z=z1e- i(argz1- argz)-z2e- i(argz2- argz), 此时结论是成立的.同理可证,当 z1+z2 =z 时,结论也是成立的.这样我们可设 z1-z2zz1+z2, 图1 这时z1、 z2 和z 可以 构成 A A1A2的三条边 (如图1).在 A A1A2中, 由正弦定理得到 z1sin2=z2sin1. 由射影定理得到 z=z2cos1+z1cos2. 由上面两式组合得到 z=z2 (cos 1+isin1 ) + z1 (cos2-isin2) =z2ei1+z1e- i2, 从而得到 ze- iargz=z2e- iargz2ei1+z1e- iargz1e- i2 z=z2e i( 1+ argz- argz2) +z1ei(argz- argz1- 2) 这样我们完成了定理的证明. 定理1的几何意义是明显的:圆环 z z1-z2 z z1+z2 的 每 个 向 量 均 可 由 两 个 圆 周C1:= zz=z1 和C2: =zz=z2 上 的相应向量相加得到,反之亦然.结合定理1 的证明思路,我们不难给出该定理的一个几 何证明. 接下来,我们要把定理1推广成如下的形 式. 定理2 设z1,z2,zn和z是n+ 1个复 数,满足 m axa1,a2,an, 0 z n j= 1 zj, 其中aj=zj- lj zl (1 jn ) , 则存 在n个模为1的复数t1,t2,tn,使得 z=t1z1+t2z2+tnzn. 证明 我们在定理1的基础上进行,不 妨设 z1 z2 zn,此时容易验证 a1a2 an,于是定理2的条件变为 m ax (a1= z1- n j= 2 zj , 0) z n j= 1 zj. 令 k= m inr r j= 1 zj n j=r+ 1z j,显 44中学数学 2003年第7期 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved. 然1 kn +1 2 . 下面分两种情况进行讨论. (1)若 z k j= 1 zj- n j=k+ 1z j,再结合 定理2的条件可得 0 k j= 1 zj- n j=k+ 1z j z k j= 1 zj+ n j=k+ 1z j, 根据定理1知,存在模等于1的复数c1和c2,使 得 z=c1 k j= 1 zj+c2 n j=k+ 1z j, 对1jk,记tj=c1e- iargzj, 对k+1jn, 记 tj=c2e- iargzj,明显地,tj=1,并且 z=c1 k j= 1 zj+c2 n j=k+ 1z j =c1 k j= 1 zje- iargzj+c2 n j=k+ 1z je- iargzj =t1z1+t2z2+tnzn. (2)若 z k j= 1 zj- n j=k+ 1z j,从定理 2的条件知必须k2,并且 k- 1 j= 1 zj- n j=k zj0 z k j= 1 zj- n j=k+ 1z j, 这个不等式可以化为 k- 1 j= 1 zj-zk z+ n j=k+ 1z j k- 1 j= 1 zj+zk, 根据定理1知,存在模等于1的复数d1和d2, 使 z+ n k+ 1 zj=d1 k- 1 j= 1 zj+d2zk, 再次运用情况(1)的推理,即可完成这种情况 的证明. 综合上述,我们可以看到,本文对中学教 师和中学生理解复数的特征是有帮助的. 参考文献 1 W. Rudin著,赵慈庚等译.数学分析原理.北京: 高等教育出版社, 1983 2 D. S. M itrinovic著,张小萍等译.解析不等式.北 京:科学出版社, 1987 (收稿日期: 20030512) 顺水 推舟 三角形垂心的一个 性质的三个推论 641400 四川省简阳市教师进修学校 黄长清 文1给出了三角形垂心的一个性质: 定理 如图1,若A B C的垂心为H,且 D、E、F分别为H在B C、CA、A B边所在直线 上 的 射 影,H1、H2、H3分 别 为 A EF、 BD F、 CD E的垂心,则 D EF H1H2H3. 若以上题设不变,则有以下推论. 推论1 H1EF D H2H3; H2D F EH1H3; H3D E FH1H2. 证明 如图1,由定理知,EF=H2H3, 连 结FH2、H2D、D H、H F、H1E、EH、EH3、 H3D,由三角形垂心的定义,可知四边形 FH2D H、 四边形FH1EH均为平行四边形, H2D=H1E. 同理FH1=D H3. H1EF D H2H3. 同理可证H2D F EH1H3, H3D E FH1H2. 推论2 设D、E、F是 A B C的垂心H在B C、 A C、A B边所在直线上的 射 影,H1、H2、H3分 别 是 A EF、 FDB、 ECD 的垂心,则 S六边形H1FH2DH3E=2SH1H2H3.图1 证明 如图1,由推论1的证明知,四边 形FH1EH,EH3D H,D H FH2均为平行四边 形,且FE、ED、D F分别为它们的对角线,易 知 S六边形H1FH2DH3E=2SH1H2H3. 由以上的三个平行四边形,又易得 推论3 图1中的H H1与EF、H H2与 F