凸函数的Hadamard不等式及其应用(硕士学位论文）.pdf

重庆理工大学 硕士学位论文 凸函数的Hadamard不等式及其应用 姓名：张强 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：王良成 2011-05-21 摘要 I 摘要 与凸函数有关的不等式在数学基础理论和数学应用中起着非常重要的作用。 1893 年，Hadamard 在 Jensen 凸函数的定义下，给出了经典的不等式 Hadamard 不等式。Hadamard 不等式随着凸函数的发展而发展，它是凸函数重要的理论和 应用。凸函数的凸性和其本身的定义是建立在不等式基础上的这一事实，使凸函 数成为了证明不等式的重要工具，由此建立、改进和推广了大量的不等式。关于 凸函数 Hadamard 不等式的改进、加细、扩展、推广和应用也一直是数学家们研 究的热点问题。 本文第一部分介绍了凸函数的 Hadamard 不等式的研究背景和前人所做的一 些工作，提出了在前人研究的基础上本文所主要研究的方向。 第三部分首先根据1720和第二部分，建立了关于 Hadamard 不等式一重积 分的 2 个映射，又根据20，建立了关于 Hadamard 不等式重积分的 3 个映射，研 究了这些映射的性质，得到了一些新的不等式，且发现了一些新的凸函数。 最后，给出了 Hadamard 不等式的一些应用，又获得了一些新的不等式。 本文丰富了 Hadamard 不等式， 为促进 Hadamard 不等式的发展起到一定的作 用。 关键字：凸函数，Hadamard 不等式，映射，加细，改进。 Abstract II Abstract Inequalities related to convex function play a very important role in the basic theory and application of mathematics. In 1893, of the Jensen convex function definition Hadamard gave the classic inequalities Hadamard inequality. Hadamard inequality was developed along with convex function. It is very important for theoretical and applied of convex function. The fact that the convexity of convex function and its definition is based on inequality makes convex function become a very important tool to prove inequality so that a lot of inequalities were established, reformed and extended. And the reform, refinement, expansion, extension and application of Hadamard inequality of convex function have become a hot research issue for mathematicians. In the first part of this paper, we introduced the research background and some previous work of Hadamard inequality for convex function. On the base of previous work, we propose main research direction in this paper. According to the premise of 1720 and the second part of the paper, the third part of the paper establish two mappings about one definite integral of Hadamard inequality. Also, on the base of 20, we establish three mappings about multiple integral of Hadamard inequality. We investigate the mappings properties, discover some new convex functions and some new inequalities. Finally, this paper gives some applications of Hadamard inequality, also gets some new inequalities. This paper enriches Hadamard inequality and will play a certain role in promoting the developments of the Hadamard inequality. Key words: convex function, Hadamard inequality, mappings, refinements, improve. 重庆理工大学 学位论文原创性声明 重庆理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的成果。 除文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成 果、作品。对本文的研究做出重要贡献的集体和个人，均已在文中以明确方式标明。 本人承担本声明的法律后果。 作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文使用授权声明 学位论文使用授权声明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权重庆理工大 学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于（请在以下相应方框内打“” ） ： 1.保密，在 年解密后适用本授权书。 2.不保密。 作者签名： 日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日 1 绪论 1 1 绪论 1.1 研究背景及意义 凸理论基础包括凸集、凸函数、凸锥、正解理论、赋范空间的凸性等内容。 有关凸性的一些结果可追溯到 18 世纪中期，但是近代人们所谓的凸分析则是在 20 世纪初由 H.Minkowski 等人创始， 它的研究对象主要是凸函数、 凸泛函和凸集。 近些年由于最优化理论的快速发展、线性学科和非线性学科的刺激需要，凸分析 日趋重视，从而凸理论也得到了空前的深入和广泛的发展。由于凸理论的广泛应 用，对凸分析的研究是非常有必要的。 大约在十九世纪末至二十世纪初，不等式理论在欧洲国家就开始发展起来， 最早由 C. F. Gauss，A. L. Cauchy 等人利用不等式的近似求值的方法奠定了不等 式在数学各个方面的基础。在这期间许多不等式被证明了，其中有一些为经典不 等式，如 Jensen 不等式（12） 、Hadamard 不等式（34） 、Young 不等式 （4） 、 Hlder 不等式 （4） 、 Minkowski 不等式 （4） 、 Chebyshew 不等式 （4） 等等。 凸函数是现代数学中最广泛使用的概念之一，其概念很重要，我们不妨在这 里引用 Jensen 的已被完全证明是正确的话： “我觉的凸函数的概念和正函数、增 函数一样也是基本的。如果这一点我没弄错的话，这个概念应该在初等的实变函 数理论陈述中占有自己的位置。 ”凸函数的概念与方法在数学的各分支中得到了 广泛的应用：例如最优化理论，极值问题的理论，特别是凸规划理论与古典变分 法理论，以及数学物理，整函数论，数理统计等等分支中。它与几何也有非常密 切的联系（例如几何测度论，边界结构等） ，同时还在不动点理论、逼近论和临 界点理论等许多学科中也时常遇到。在 20 世纪中后期，世界上的数学家们对凸 函数进行了广泛深入的研究和讨论，它有许多很好的性质，其凸性就是证明不等 式的重要工具。 数学不等式的研究存在并应用于数理科学的方方面面，1934 年由剑桥大学出 版社出版的， G. H. Hardy,J. E. Littlewood 和 G.Polya 的名著 不等式（Inequalities） （5）把孤立、离散的不等式汇编成了一门系统的科学。这无疑是在不等式领 域中最早的一本关于不等式纯粹的理论。自名著不等式出版之后，很多数学 科研工作者都投身于对不等式的研究，而且发表了关于不等式的许多论文，其中 重庆理工大学硕士学位论文 2 一些论文建立了一些新的比较重要的不等式，另外一些论文是对如上所述的一些 经典不等式进行改进、推广和加细等。有关数学不等式的论文和专著大量发表和 出版， 国际学术会议频繁召开， 不等式的研究日新月异、 不等式的发展方兴未艾。 特别是 18 世纪 90 年代不等式研究空前活跃，研究的深度、广度、方法和论题的 范围都在迅速的扩大。 近代数学的发展是离不开凸函数的。例如熟知的 Hlder 不等式和 Minkowski 不等式是建立 p L 空间的基本工具； 在复变函数论、 函数空间嵌入理论、 变分计算、 黎曼流形、近代调和分析等分支的发展中都离不开几何不等式；甚至从一个量的 非负何时导致另一个量的非负的问题看来十分简单，却发展成正算子理论和微分 不等式理论，而拟线性理论则是动态规则理论和正算子理论的融合(6)。 与凸函数有关的不等式在数学的基础理论和应用研究中起着非常重要的作 用。 人们对凸函数不等式的研究， 最早应该追溯到 19 世纪末。 1905 年， J. L. W. V. Jensen 第一个用不等式定义凸函数，到本世纪初，王良成等又更深入地讨论了凸 函数的幂平均不等式。在这一百多年中，人们对凸函数不等式的讨论十分活跃， 其内容也特别的丰富。 与凸函数相关的不等式在规划论、泛函分析、逼近论、对策论、微积分方程、 随机过程、矩阵论、算子理论、最优化理论、运筹学、不动点理论、零界点理论、 控制论及数理经济学等应用数学领域都有很多应用。 对于凸函数不等式的研究，产生于 18 世纪，发展于 19 世纪。下面我们将介 绍 Jensen 不等式的几种形式和 Hadamard 不等式及其近代发展情况。 Jensen 不等式的定义如下（124） ：如果对 12 ,x xa b, 有 ()() 12 12 22 f xf xxx f + , （1.1） 则称f在ba,上是 Jensen 意义下的凸函数， 简称 J 凸函数(也称其为中点凸函数) （4） 。 显然 J 凹函数就是 （1.1） 式中的不等号反向成立。 严格 J 凸函数为 （1.1） 中严格等号不成立，类似可以定义严格 J 凹函数。Jensen 还将(1.1)式推广为如 下结果（4） ： ( ) 11 nn iiii ii frxr f x = , （1.2） 其中，baxi,，ir()1,2,in=L为正有理数且满足 1 1 n i i r = = .后来， 人们又将(1.2) 式推广为（4中定义(1.3)式） ：设E是实线性空间X中的子凸集， 12 ,x xE， f是E上的凸函数，当且仅当对(0,1)t ，有 1 绪论 3 ()()()() 1212 1(1)f txt xtf xt f x+. （1.3） 其中， 当 1 2 t =时， 则f在, a b上是J凸函数或为中点凸函数 （4） 。 同时将(1.3) 式推广: 设f是定义在实线性空间子凸集E上的凸函数，对 i xE， ()01,2, i tin=L且 1 n in i tT = = ，有 ( ) 11 11 nn iiii ii nn ft xt f x TT = . （1.4） 显然，如果f为凸函数，则f也为中点凸函数。人们统称(1.1)-(1.4)式为 凸函数的Jensen不等式。我们不难看到，(1.1)式到(1.4)式都是讲凸函数在两个 平均值之间的一种关系。问题自然产生了，我们是否可以在它们之间再插入一些 平均值呢？答案当然是可以的。1893 年Hadamard对(1.1)式进行了平均值的插 值（3） 。 若f是, a b上的连续凸函数，则有 ( ) ( )( )1 22 b a f af bab ff x dx ba + . （1.5） 注：最近据王搀澜教授考证，该不等式在 1893 年前已由Hermite提出，故称 上述不等式称为Hermite-Hadamard不等式，我们简称Hadamard不等式。 (1.5)式是(1.1)式之间插入了一个区间上的积分平均值，由此可以看出， Jensen不等式与Hadamard不等式有着紧密的联系。 数学工作者们在凸分析上进行了大量的研究，对J凸函数的条件加强或者削 弱， 便得到了不同的凸概念。 大量的参考文献对凸函数的概念作了若干推广: h凸 函数4，n阶凸函数（7） ，类可凸（7） ，f关于g凸（7） ，次调和凸函数 （7） ，双凸函数（7） ，平均凸函数（7） ，调和凸函数（7） ，几何凸函数 （7） ，伪凸（7）, 拟凸（7）, 强凸（7）, 弱凸（7）, 显凸（7） ， 严格凸（7） ，( )r-凸函数（78） ，M凸函数（9） ，M凸函数中的r- 平均凸函数（10） ，理想凸泛函（11） ，kersBrec凸函数（12） ，非负对 数凸函数（13） ，非负拟凸函数,t凸函数（14） ，()m,-凸函数（15）等等, 且数学研究者给出了它们的性质及应用。而几乎每一种凸概念都有相应的 Hadamard型不等式。 例如: 非负对数凸函数的Hadamard型不等式 （13） , t函 数的Hadamard型不等式（14）等等。 重庆理工大学硕士学位论文 4 1.2 国内外研究现状 国内外对Hadamard型不等式的研讨主要有以下几个方面： 1. J 凸性的Hadamard型 （1）1981 年，王中烈和王兴华把(1.1)式从区间I上的任意两个变量推广到 区间I上的任意n个变量（4517） 。 设( )f x是区间, a b上连续的凸函数，则对于任何0 k p ， k x , a b， 0,1,2,kn=L，以及, kk 满足01 kk . （7）2003 年，Liangcheng Wang对(1.5)式进行了更进一步的推广，并且获 得了(1.5)式不等式的一个无穷加细（22） ： ()()( )()()() 111 1 222 f tat bABf uCACBC+L ( ) 121121121 222222 nnn nnnnnn f uCACBC + ( ) 1 11 121 22 n nn f uC + + + 1 绪论 7 ( ) ()( )1Ctf at f b+L. (1.23) 其中 ()() ()() 2 1 1 1 ub au Af txt y dy dx ttba =+ , ()() ()() () 2 1 1 ub au by xyu u Bfdy dx t ba tba + = () ()() ()() 2 1 1 ub au ux uxa y fdy dx tba t ba + + ， ()() ( ) () ( ) 1 1 ub au tt Cf x dxf x dx tbat ba =+ . （8）2004 年，Liangcheng Wang对(1.5)式变积分上下限，利用两端作差 （2324） ，建立新映射，得到(1.5)式不等式的加细（25） ： ( )( )( )( ) 2 1121 22 a b bb aaa ab f x dxf aff x dxf x dx bababa + + + ( ) () ( ) () ( ) () ( ) 222 1122 2 bbbx aaaa ba f axf x dxf x dxf t dtdx bababa + ( )( ) 2 f af b+ ， ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11 22 bx aa f xf bf af bbx f t dtf t dt bababa + + ， ( )( ) 11 222 bb xa abbxxbab ff t dtfff t dt bababa + + . 注 这又为我们研究(1.5)式不等式开辟了一条全新的道路。这种方法要比 （26）的方法好的多。 （9）2006 年，Liangcheng Wang得到了关于(1.5)式不等式的加细（23） ： ( )()( ) ()( )( )()()( )(); , ;,1; , ;,; , ;, xa C t a b f sstf at f xC t a x f ssC t a b f ss ba + ( ) ()( )1,tf at f b+ ()()( )()()()()()()1; , ;,11 xa f tat bC t a x f ssf tat xf tat b ba + ( )(); , ;,C t a b f ss 重庆理工大学硕士学位论文 8 ( )(); , ;,C t a b f ss ( ) ()()()()( )()( )()11; ,1;,; , ;,tf at fabC t aab f ssC t a b f ss+ ( ) ()() ()( )() 1 ; , ;, 1 t tf aCa bxa f xs ba + ()() ()( )()()( )() 1 ; , ; , ;,; , ;, 1 Ca bxa C t a x f sssC t a b f ss ba + ( ) ()( )1tf at f b+. 其中( )() ()() ( ) () ( ) () ()1 1 1 ; , ;, 1 txt yy xtxt y tt C t x y f ssf s dsf s ds tyxt yx + + =+ . （10）2009 年，G. Zabandan构建了 2 个离散点集映射，对(1.5)式进行了无 穷的加细（27） ： 01 133 2244 ababab fxffx + =+= n xLL ( ) 1 b n a f x dxy ba LL ( )( ) ( )( ) 0 1 2 422 f af bab f aff by + =+= . (1.24) 其中 2 1 11 222 n n nn i ba xfai = =+ ， ( )( ) 21 1 1 1 21 222 n n nnn i ii yf af bfab + = =+ . 2 kersBrec凸函数的Hadamard型不等式（6） f是区间D上的kersBrec凸函数，0,)D ,01s，则 ( ) ( )( ) 1 1 2 21 b s a f af bab ff x dx bas + + . (1.25) 3 非负对数凸函数的Hadamard型不等式（13） f是区间D上的非负对数凸函数，,a bD，ab，则 1 绪论 9 ( )()( )( ) 1 2 1 2 b a ab ff x f abxdxf a f b ba + + . (1.26) 4 保序线性泛函的Hadamard型不等式（6） X为实线性空间，D为X的凸子集，f是区间D上的凸函数，E为非空集， L为实值函数的线性类， 1 :A LR为保线性泛函，使得 ( )11A=. 1 :h ER,( )01h t，tE，hL, 有 ()()()()1,1f hxh yfh xhyL+，(), x yD， 则 ( )( )()()()()()11fA h xA hyA f hxh y+ ( )( )( )()( )1A h f xA hfy+. 1993 年，S. S. Dragomir进一步给出了(1.33)式Hadamard型不等式的加细 （28） ： ( )( )()()( )()( )() 1 11 22 xy ffA h xA hyfA hxA h y + + ()()()() ( )( )1 11 22 f xfy A f hxh yA fh xhy + + . 5 t凸函数的Hadamard型（14） 1 ,fL a b是0,)+上的t凸函数，01t ，0ab ，则 ( ) 11 22 b a abx ff xtf bat + + ( )( )1 422 ab ff f af bt tt t + + + . (1.27) 重庆理工大学硕士学位论文 10 1.3 课题的来源和问题的提出 本文就在 （1.9） 式、（1.10） 式和 （1.19） 式的前提下， 根据 （14182223 2528）的思想方法的基础上，对(1.9)式、(1.10)式和(1.19)式进行变积分 上下限，也就是把积分上下限当做未知数来处理，进而建立一些新的映射，根据 这些映射的性质，对Hadamard型不等式进行了深入的研究（29-34） ，得到 了第三部分和第四部分的新结果。 2 预备知识 11 2 预备知识 本文将在第三章和第四章中使用如下几个引理，其中引理 6 和引理 7 是作者 自己证明所得。 引理 14 若f是 , a b上的凸函数，对bax,，()ba,，则( )f + 和 ( )f 存在，且 ( )( )( )()f xffx + +， ( )( )( )()f xffx +. 引理 24 设f在,a b上连续,f + 在(),a b内存在且单调递增， 则f在,a b上 是凸函数。 引理 34 设f在,a b上连续凸函数，对 12 , , x xa b， 12 xx，有下式成立 ()() 12 fxfx + 且()() 12 fxfx . 引理 44 设f在,a b上连续凸函数，对 12 , , , x x xa b， 12 xxx，则有 ()( )( )() 21 21 f xf xf xf x xxxx . 引理 5 4 设 f在,a b上连续凸函数，对 12 , , x xa b， 12 xx, 在(3.3)式中,取xa=, 1 yy=, 2 zy=， 并由() 12 ,0B y y, 则有 ()()()() 21121 ,B a yB a yB y yB a y+. (3.8) （）如果 1 ya=,由B的定义可得 ()()() 21 ,0B a yB a yB a a=. (3.9) 综合(3.8)式和(3.9)式可得：(),B a y关于y在,a b上是单调递增函数。 用证明(),B a y关于y在,a b上是单调递增函数的方法，可证得(),B x b关于 x在,a b上是单调递减函数。 （3）对00和，根据(),B a y和(),B x b在区间,a b上分别单调递增 与单调递减，可得下述两式： ()()()0,B a aB a yB a b= (3.10) 和 ()()()0,B b bB x bB a b=. (3.11) 将(3.10)式和(3.11)式分别化简整理，可得 ()()()1,1 22 bb aa abab ftstdsB a yftstds + + ( ) b a f s ds （3.12） 和 ()()()1,1 22 bb aa abab ftstdsB x bftstds + + ( ) b a f s ds . (3.13） 由1+=，将(3.12)式加上(3.13)式整理得(3.4)式。 定理3.1.1得证。 定理3.1.2的证明：（1）对, ,x ya bxy, 11 0, )( ,1 22 tU，由(3.2)式及 (),P x y的定义知：(),P x y非负显然，则(),P a y和(),P x b也是非负的，且 3 凸函数 Hadamard 不等式的新结果 17 ()( ) ()( ),Pa yf aya fy + =+ 11111 22222 y a ttttt fayfys ds + + + . 对 1212 ,y ya byy， （）当 12 ysy时，由引理 3 知： ()() 2211 1111 0 2222 tttt fyfysfysfy + + + . （3.14） （）当 1 asy时，由引理 3 知： () 22 11 0 22 tt fyfys + + + . （3.15） 由引理 3、(3.14)式和(3.15)式，有 ()() 21 ,Pa yPa y + ()()() () ()()() 121212122 111 222 ttt yafyfyyyfyyyfay + + =+ 2 1 21 11111 22222 y y ttttt fysfysds + + + 1 2 111 222 y a ttt fys ds + + + ()() 2 1 2211 11111 22222 y y ttttt fyfysfysfyds + + =+ ()()() () ()() 1212122 1111 2222 tttt yafyfyyyfyfay + + + () 1 22 111 222 y a ttt fyfysds + + + 0. 根据引理 2 及(),P a y关于y在,a b上连续 （由(),P a y的定义可得） ， 则(),P a y关 于y在,a b上是凸函数。 对 1212 ,( , ,y ya byy, 在(3.22)式中， 取xa=, 1 yy=, 2 zy=， 并由() 12 ,0H y y, 则有 ()()()() 21121 ,H a yH a yH y yH a y+. (3.29) （）如果 1 ya=,由H的定义可得 ()()() 21 ,0H a yH a yH a a=. (3.30) 综合(3.29)式和(3.30)式可得：(),H a y关于y在, a b上是单调递增函数。 用证明(),H a y关于y在, a b上是单调递增的方法，可证得(),H x b关于x在 , a b上是单调递减函数。 根据引理6，将(),H a y对y求导数，可得 (),Ha y ()( )()() () 1 yyy aaa d yaf s dsf tst u dsdu dy =+ ( )()( )()()()()11 yyy aaa f s dsya fyf tst y dsf tyt s ds=+ ， 不妨设 1 1 2 t ， 3 凸函数 Hadamard 不等式的新结果 23 情形 1 当 12 ysy时，有 ()()()() 222 1,1ytyt stst ys+， 且 ()()()() 222 11ystyt stst y+=+， 由引理 7 可得 ()()()()()( ) 222 110fyf tyt sf tst yf s+. （3.31） 情形 2 当 1 asy时， （）若 ()()()()()() 21221 1,11ytyt ytyt styt s+， 且 ()()()()()() 21122 111ytyt styt ytyt s+=+， 由引理 7 有 ()()()()()()() 21221 1110fyf tyt yf tyt sf tyt s+. （3.32） （）若 ()()()()()() 12211 11,1tyt ytst yytst y+， 且 ()()()()()() 12121 111tyt ytst ytst yy+=+， 由引理 7 有 ()()()()()()() 12211 1110f tyt yf tst yfyf tst y+. （3.33） 对 1 0 2 t 时，用像上述情形1与情形2的证明方法，我们亦可以得到(3.31)式、 (3.32)式和(3.33)式。 对 12 ,ayyb 由(3.31)式、(3.32)式和(3.33)式可得 ()() 21 ,Ha yHa y ( )() () ()()()() 2 1 212121 y y f s dsyyfyyafyfy=+ ()()()()()()()()() 1 1122 1111 y a f tst yf tyt sf tst yf tyt s ds+ ()()()()() 2 1 22 11 y y f tst yf tyt sds+ ()()()()()()()() 1 21221 111 y a fyf tyt yf tyt sf tyt s ds=+ 重庆理工大学硕士学位论文 24 ()()()()()()()() 1 12211 111 y a f tyt yf tst yfyf tst yds+ ()()()()()( )() 2 1 222 11 y y fyf tyt sf tst yf sds+ 0. 则(),Ha y 关于y在, a b上是单调递增函数，所以(),H a y关于y在, a b上是凸 函数。 使用像证明(),H a y关于y在, a b上是凸函数的方法，可证得(),H x b关于x 在, a b上是凸函数。 （3） 对,x ya b，0,0,运用函数(),H a y,(),H x b在, a b上分别 单调递增与单调递减，可得下述两式： ()()()0,H a aH a yH a b= (3.34) 和 ()()()0,H b bH x bH a b=. (3.35) 将(3.34)式和(3.35)式，分别化简整理得 ()() () () ()()() 2 2 ; ,; ,1; ,; , ya F t a bF t a bFa yF t a y ba + ()( )()1; ,0; , b a Fa bf s dsFa b ba = （3.36） 和 ()() () () ()()() 2 2 ; ,; ,1; ,; , bx F t a bF t a bFx bF t x b ba + ()( )()1; ,0; , b a Fa bf s dsFa b ba = . （3.37） 当1+=时，将(3.36)式加上(3.37)式,整理得到(3.23)式。 定理3.2.1得证。 定理3.2.2的证明：（1）对,s ua b，由(1.3)式，我们有 ()()()()() 1 11 2 f tst uft stu+ ()()()()() 1 11 2 ftst ut stu + 3 凸函数 Hadamard 不等式的新结果 25 2 su f + = . （3.38） 根据(3.20)式和(3.38)式,对, ,x y za bxyz,有 ()()()(),G x zG x yG y z+ ()() ()() ()() () 2221 ; ,; ,; , 2 zxF t x zyxF t x yzyF t y z= ()() ()() ()() () 2221 1; ,1; ,1; , 2 zxFt x zyxFt x yzyFt y z+ ()()() 222111 ; ,; ,; , 222 zxFx zyxFx yzyFy z + ()()()()()() 111 111 222 yzyzzy xyxyyx f tst u dsduft stu dsduf tst u dsdu=+ ()() 1 1 2 zy yx ft stu dsdu+ 22 yzzy xyyx susu fdsdufdsdu + ()()()() 11 11 222 yz xy su f tst uft stfdsdu + =+ ()()()() 11 11 222 zy yx su f tst uft stfdudsdu + + 0. 上式即为(3.24)式。 （2）对,x ya bxy,由(3.21)式及(),G x y的定义知：(),G x y非负显然， 则(),G a y和(),G x b也是非负的。对 12 ,x xa b 12 xx, 由(),G x y非负，则 () 12 ,0G x x. （） 如果 2 xb, 在(3.24)式中,取 1 xx=, 2 yx=, zb=， 并由() 12 ,0G x x, 则有 ()()()() 12122 ,G x bG x bG x xG x b+. (3.39) （）如果 2 xb=,由H的定义可得 ()()() 12 ,0,G x bG b bG x b=. (3.40) 综合(3.39)式和(3.40)式可得：(),G x b关于x在, a b上是单调递减函数。 重庆理工大学硕士学位论文 26 使用像证明(),G x b关于x在, a b上是单调递减的方法，可证得(),G a y关于 y在, a b上是单调递增函数。 （3） 对,x ya b，0,0,运用函数(),G a y,(),G x b在, a b上分别 单调递增和单调递减，可得下述两式： ()()()0,G a aG a yG a b= (3.41) 和 ()()()0,G b bG x bG a b=. (3.42) 将(3.41)式和(3.42)式分别化简可得 () () () 2 2 111 ; ,; ,; ,; , 222 ya Fa bFa bF t a yFa y ba + (); ,F t a b （3.43） 和 () () () 2 2 111 ; ,; ,; ,; , 222 bx Fa bFa bF t x bFx b ba + (); ,F t a b. （3.44） 当1+=时, 将(3.43)式加上(3.44)式,整理得到(3.25)式。 定理3.2.2得证。 定理3.2.3的证明：（1）对, ,x y za bxyz，根据(3.20)式和积分性 质有 ()()() 222111 ; ,; ,; , 222 zxFx zyxFx yzyFy z 2 2 zy yx su fdsdu + = . （3.45） 由引理 1、(3.45)式和E的定义，我们有 ()()()(),E x zE x yE y z+ ()()() 222111 ; ,; ,; , 222 zxFx zyxFx yzyFy z = 3 凸函数 Hadamard 不等式的新结果 27 () ()()()() 2 22 222 xzxyzy zyyxfyxfzyf + + () 2 2 222222 yz xy xzsuxzxzxyxz fdsduyxf + + () 2 222 xzyzxz zyf + ()()()() () 211 2 2222 xzxz zyyxyxz fyxyz f + =+