函数的单调性与二次函数.doc

函数的单调性与二次函数重难点知识归纳（一）函数的单调性1、单调增函数的定义：在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么，就称函数y=f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的2、单调减函数的定义：在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2A，当x1f(x2)，那么，就称函数y=f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的3、单调性：如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数.那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y=f（x）的单调区间说明：（1）增（减）函数等价形式：x1，x2a，b，那么f(x)在a，b上是增函数；f(x)在a，b上是减函数（2）函数增减性（单调性）的几何意义，反映在图像上，若f(x)是区间D上的增（减）函数，则图像在D上的部分从左到右是上升（下降）的4、函数单调性的证明证明函数的单调性主要是利用定义来证明，其步骤为：（1）取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1x2；（2）做差变形：作差f(x1)f(x2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；（3）定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可考虑分类讨论；（4）判断：根据定义得出结论（二）二次函数性质的再研究1、二次函数在R上的最值问题求二次函数y=ax2bxc(a0)在R上的最值常用方法有：一是配方法，即化为，从而求出它的最值；二是公式法，即利用性质中的结论来确定最值2、二次函数在闭区间的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题，由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴位置（在区间上还是在区间左边，还是在区间右边）来决定当开口方向和对称轴位置不确定时，则需要进行分类讨论三、典型例题剖析例1、证明函数f(x)=x3x在R上单调递增解析：任取x1、x2R，且x1x2，则有x1x20，f(x1)f(x2)=x13x1x23x2=(x1x2)(x12x1x2x221)=即f(x1)f(x2)故f(x)=x3x在R上单调递增例2、如果二次函数f（x）=x2（a1）x5在区间上是增函数，求f（2）的取值范围.解析：二次函数f（x）在区间上是增函数，由于其图象（抛物线）开口向上，故其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，于是，解之得a2，故f（2）2211=7，即f（2）7例3、讨论函数解析：设1x1x21，则f（x1）f（x2）=.1x1x21，x2x10，x1x210，（x121）（x221）0.又a0，f（x1）f（x2）0，函数f（x）在（1，1）上为减函数.f（x）=（a0）在x（1，1）上的单调性.例4、已知二次函数f(x)，当x=2时有最大值16，它的图像截x轴所得的线段长为8，求解析式分析：由于二次函数f(x)的最值给出，即顶点坐标给出，可设顶点式，再由待定系数法求出所要定的系数，也可由对称轴方程及图像截x轴所得的线段的长，利用f(x)=0的两根来表示解：设f(x)=a(x2)216，即f(x)=ax24ax164a，方程ax24ax164a=0的两根x1，x2，满足|x1x2|=8，而|x1x2|2=(x1x2)24x1x2=，a=1故f(x)=x24x12例5、定义在R上的函数y=f（x），f（0）0，当x0时，f（x）1，且对任意的a、bR，有f（ab）=f（a）f（b）.（1）求证：f（0）=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f（x）0；（3）求证：f（x）是R上的增函数；（4）若f（x）f（2xx2）1，求x的取值范围.解析：（1）证明：令a=b=0，则f（0）=f2（0）.又f（0）0，f（0）=1（2）证明：当x0时，x0，f（0）=f（x）f（x）=1.f（x）=0.又x0时f（x）10，xR时，恒有f（x）0.（3）证明：设x1x2，则x2x10，f（x2）=f（x2x1x1）=f（x2x1）f（x1）.x2x10，f（x2x1）1.又f（x1）0，f（x2x1）f（x1）f（x1）.f（x2）f（x1）.f（x）是R上的增函数.（4）解：由f（x）f（2xx2）1，f（0）=1得f（3xx2）f（0）.又f（x）是R上的增函数，3xx20.0x3.例6、设是R上的偶函数（）求a的值；（）证明f（x）在（0，+）上是增函数（I） 解析：依题意，对一切有，即 所以对一切成立. 由此得到即a2=1. 又因为a0，所以a=1. （II）证明一：设0x1x2， 由 即f（x）在（0，+）上是增函数 证明二：由得 当时，有此时 所以f（x）在（0，+）上是增函数例7、已知在R上是减函数，求的取值范围.解析：函