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文档简介

函数的单调性与二次函数重难点知识归纳(一)函数的单调性1、单调增函数的定义:在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2A,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递增的2、单调减函数的定义:在函数y=f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2A,当x1f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减少的,有时也称函数y=f(x)在区间A上是递减的3、单调性:如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数.那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间说明:(1)增(减)函数等价形式:x1,x2a,b,那么f(x)在a,b上是增函数;f(x)在a,b上是减函数(2)函数增减性(单调性)的几何意义,反映在图像上,若f(x)是区间D上的增(减)函数,则图像在D上的部分从左到右是上升(下降)的4、函数单调性的证明证明函数的单调性主要是利用定义来证明,其步骤为:(1)取值:设x1,x2为该区间内任意的两个值,且x1x2;(2)做差变形:作差f(x1)f(x2),并通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差值符号的方向变形;(3)定号:确定差值的符号,当符号不确定时,可考虑分类讨论;(4)判断:根据定义得出结论(二)二次函数性质的再研究1、二次函数在R上的最值问题求二次函数y=ax2bxc(a0)在R上的最值常用方法有:一是配方法,即化为,从而求出它的最值;二是公式法,即利用性质中的结论来确定最值2、二次函数在闭区间的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题,由它的单调性来确定,而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴位置(在区间上还是在区间左边,还是在区间右边)来决定当开口方向和对称轴位置不确定时,则需要进行分类讨论三、典型例题剖析例1、证明函数f(x)=x3x在R上单调递增解析:任取x1、x2R,且x1x2,则有x1x20,f(x1)f(x2)=x13x1x23x2=(x1x2)(x12x1x2x221)=即f(x1)f(x2)故f(x)=x3x在R上单调递增例2、如果二次函数f(x)=x2(a1)x5在区间上是增函数,求f(2)的取值范围.解析:二次函数f(x)在区间上是增函数,由于其图象(抛物线)开口向上,故其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧,于是,解之得a2,故f(2)2211=7,即f(2)7例3、讨论函数解析:设1x1x21,则f(x1)f(x2)=.1x1x21,x2x10,x1x210,(x121)(x221)0.又a0,f(x1)f(x2)0,函数f(x)在(1,1)上为减函数.f(x)=(a0)在x(1,1)上的单调性.例4、已知二次函数f(x),当x=2时有最大值16,它的图像截x轴所得的线段长为8,求解析式分析:由于二次函数f(x)的最值给出,即顶点坐标给出,可设顶点式,再由待定系数法求出所要定的系数,也可由对称轴方程及图像截x轴所得的线段的长,利用f(x)=0的两根来表示解:设f(x)=a(x2)216,即f(x)=ax24ax164a,方程ax24ax164a=0的两根x1,x2,满足|x1x2|=8,而|x1x2|2=(x1x2)24x1x2=,a=1故f(x)=x24x12例5、定义在R上的函数y=f(x),f(0)0,当x0时,f(x)1,且对任意的a、bR,有f(ab)=f(a)f(b).(1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的xR,恒有f(x)0;(3)求证:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)f(2xx2)1,求x的取值范围.解析:(1)证明:令a=b=0,则f(0)=f2(0).又f(0)0,f(0)=1(2)证明:当x0时,x0,f(0)=f(x)f(x)=1.f(x)=0.又x0时f(x)10,xR时,恒有f(x)0.(3)证明:设x1x2,则x2x10,f(x2)=f(x2x1x1)=f(x2x1)f(x1).x2x10,f(x2x1)1.又f(x1)0,f(x2x1)f(x1)f(x1).f(x2)f(x1).f(x)是R上的增函数.(4)解:由f(x)f(2xx2)1,f(0)=1得f(3xx2)f(0).又f(x)是R上的增函数,3xx20.0x3.例6、设是R上的偶函数()求a的值;()证明f(x)在(0,+)上是增函数(I) 解析:依题意,对一切有,即 所以对一切成立. 由此得到即a2=1. 又因为a0,所以a=1. (II)证明一:设0x1x2, 由 即f(x)在(0,+)上是增函数 证明二:由得 当时,有此时 所以f(x)在(0,+)上是增函数例7、已知在R上是减函数,求的取值范围.解析:函

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