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_凸函数一、【知识提纲】1、凸函数的定义一般的，设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数x1，x2都有则称f(x)是(a,b)内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如y=x2，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。如果对于某一函数上述不等式的等号总是不能成立，则称此函数为严格凸函数。注：凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。这个方法经常使用。此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数，凸函数的二阶导数是非负数。2、凸函数具有的常用性质性质一：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有 注：此即常说的琴生不等式性质二：加权的琴生不等式对于(a,b)内的凸函数，若，则注：加权琴生不等式很重要，当时，即为原始的琴生不等式。注：另外，对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分，如果将不等号全部反向，则得到的便是凹函数，以及凹函数的琴生不等式。二、应用例1、证明：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有例2、证明：例3、在中求证：（1）；（2）；例3、（变量和为常量型）（1） 设，求证：；（2） 设,且，求证：（3） 若为三角形的三边，且，求证：例4、条件为的不等式证明问题（1） 若且，求证：（2）若且，证明：同步训练A B C D 2、设，证明：3、在中，求证：，其中且4、已知正实数（，）满足求证：答案2、设，证明：证明：考查函数（），其二阶导数，故其为凸函数所以，即4、已知正实数（，）满足求证：证明：考查函数，因，故该函数为凸函数而（，），所以（）去掉对数符号立得在中求证：（1）；（2）；证明：（1）考查函数，其在上为凸函数；（2）考查函数，在上是凸函数证明如下：即证证毕Wel
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