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第二章 连续时间系统的 时域分析 第二章 连续时间系统的 时域分析 信号与系统信号与系统信号与系统 信号与系统 Signals and SystemsSignals and Systems 本章主要内容 (1) 微分方程的建立与求解 (2) 起始点的跳变-从0- 到0+ 状态的转换 (3) 零输入响应和零状态响应 (4) 冲激响应和阶跃响应 (5) 卷积及其性质 (6) 用算子符号表示微分方程 本章教学要求 (1) 掌握系统微分方程的建立与求解方法. (2) 掌握起始点跳变的判断方法. (3) 掌握连续系统的零输入响应、零状态响应、 冲激响应与阶跃响应的求解方法. (4) 掌握卷积积分及其主要性质,了解卷积积分 的图解. 并会利用卷积及其性质求解系统响应. (5) 了解算子符号基本规则,会用算子符号表示 微分方程. 2.1 引言引言 线性连续时间系统的分析，归结为建立并且求解线 性微分方程。 在系统的微分方程中，包含有表示激励和 响应的间函数以及他们对于时间的各阶导数的线性组合。 因此，在分析过程中，如果不经过任何变换， 则所涉及 的函数的变量都是时间t，这种分析方法称为时域分析法。 如果为了便于求解方程而将时间变量变换成其他变量， 则相应的称为变换域分析法。例如在傅立叶变换中，将 时间变量变换为频率变量去进行分析，就称为频域分析 法。 本章介绍二种时域分析法:求解微分方程法与卷积法. 2.2 微分方程式的建立与求解微分方程式的建立与求解 进行系统分析时，首先要建立系统的数学模型。对 于电的系统，这一工作并不难。 只要利用理想电路元件 的约束特性(伏安关系)及系统结构的约束特性(基尔霍夫 定律)， 就可以列出一个或者一组描述电路工作的线性微 分方程。 三种基本元件的伏安关系 +- R i u RuiRiu/, + - L i u t du L ti dt tdi Ltu)( 1 )(, )( )( +- C i u t di C tu dt tdu Cti)( 1 )(, )( )( 例2-1:求下图所示RLC并联电路的端电压u(t)与激励源is(t) 间的关系. is(t) u(t) + - iRiLiC 解:以u(t)为变量,根据 元件的伏安关系有: R tu tiR )( )( t L du L ti)( 1 )( dt tdu CtiC )( )( 对整个电路,根据基尔霍夫电流定律(KCL)有 )()()()(titititi SCLR 将式(1)(2)(3)代入式(4)并化简,有 (1) (2) (3) (4) )()( 1 )( 1 )( 2 2 ti dt d tu L tu dt d R tu dt d C S (5) 对于复杂系统,设激励信号为e(t),系统响应为r(t),则可 以用一高阶微分方程表示 )()()()( )()()()( 1 1 1 10 1 1 1 10 teEte dt d Ete dt d Ete dt d E trCtr dt d Ctr dt d Ctr dt d C mm m m m m nn n n n n 由微分方程的古典解法可知，完全解由两个部分组成，一为与该 方程对应的齐次方程的通解，另一为满足此非齐次方程的特解。 作为系统的响应来说，通解就是自然响应或称自由响应。特解就 是受迫响应。 (一)对应的齐次方程的通解 式(2-1)对应的齐次方程如下 (2-1) 0)()()()( 1 1 1 10 trCtr dt d Ctr dt d Ctr dt d C nn n n n n )(trh (2-2) 式(2-1) 的特征方程如下 0 1 1 10 nn nn CCCC(2-3) 式(2-3)的n个根:1 ,2, n称为微分方程的特征根. (1) 在特征根各不相同(无重根)的情况下, 微分方程的齐次解为 n i t i t n tt h in eAeAeAeAtr 1 21 21 )( (2-4) (2) 若特征根有重根, 例如1是k阶重根,则对应于1的重根部分将 有k项,形如 k i tik i t kk kk etAeAtAtAtA 1 1 2 2 1 1 11 )()( 其中常数A1,A2,An由初始条件决定. (3) 特征根有共轭复根情况 例如1,2=pj,则对应于复根1,2部分将有二项,形如 pt etAtA)sin()cos( 21 (二)微分方程的特解 )(trp 微分方程的特解的函数形式与激励函数形式有关.将激励e(t)代入 微分方程式(2-1)教材上为p45式(2-9),化简,观察右端自由项选择 特解函数式,代入方程后求出待定系数,即可求出特解. 激励函数e(t)特解函数 E(常数)B p t 1 1 21 pp pp BtBtBtB t e t Be )sin(或)cos(tt)sin()cos( 21 tBtB B为待定系数 (三)微分方程的完全解 完全解: )()()()( 1 treAtrtrtr p n i t iph i 根据初始条件: (2-5) )1, 1 ,0)(0( )( nkr k 确定式(2-5)中常数A. 例2-2:给定系统的微分方程 )(3)()(2)(3)( 2 2 tete dt d trtr dt d tr dt d 若激励信号为 , 初始状态为 t ete 4 )( 求系统的响应r(t). 2)0(, 1)0( rr 解：1)求对应齐次方程的通解 系统的特征方程为 )(trh 023 2 特征根为: 1=-1 ,2=-2 对应的齐次解为: tt h eAeAtr 2 21 )( 2)求特解 )(trp 将 t ete 4 )( 代入方程右端,得 t etrtr dt d tr dt d 4 2 2 )(2)(3)( 选特解函数式 t p Betr 4 )( B为待定系数,代入方程后有: tttt eBeBeBe 4444 21216 6 1 B 特解为: t p etr 4 6 1 )( 3)求完全解r(t) ttt ph eeAeAtrtrtr 42 21 6 1 )()()( 由初始条件确定常数A1,A2. 2 3 2 2)0( 1 6 1 )0( 21 21 AAr AAr 2 5 3 11 2 1 A A 得 所以,系统响应为 ttt eeetr 42 6 1 2 5 3 11 )( t0 完全解中的齐次解称为系统的自由响应,特解称 为系统的强迫响应.特征方程根i (i=1,2,n)称为系 统的固有频率(或自由频率) ttt eeetr 42 6 1 2 5 3 11 )( 完全响应自由响应强迫响应 上例中完全解的分解如下: 2.3 起始点的跳变从起始点的跳变从0-到到0+状态的转换状态的转换 一般激励e(t)是从t=0时刻加入,系统响应区间为 t0. 1) 起始状态(简称0-状态)是指激励e(t)加入之前 瞬间系统的状态. )0(,),0(),0()0( 1 1 )( r dt d r dt d rr n n k 2) 初始条件(简称0+状态)是指激励e(t)加入之后 瞬间系统的状态. )0(,),0(),0()0( 1 1 )( r dt d r dt d rr n n k 用时域经典法求解系统响应时,为确定自由响应 部分的常数,需要知道0+状态. 一般0-状态是已知的或很容易求出的,如何由0- 状态和激励信号求出0+状态?分二种情况进行 1)对于一个具体电路 先求出储能元件C和L上的起始电压uC (0-)和起 始电流iL (0-),当电路中无冲激电流(或阶跃电压)作用 于电容以及无冲激电压 (或阶跃电流)作用于电感时, 则换路前后电容两端的电压和电感中电流不会发生 突变. uC (0+)= uC (0-), iL (0+)= iL (0-).然后根据元件伏安 特性和网络拓扑约束求出0+时刻其它电流或电压值 例2-3:电路见图(1).t0开关S处于1的位置且已经达 到稳态;t=0时, S由1转向2,求 )0(和)0( i dt d i 解: i(t) 1 2 C 换路前 A RR ii L 5 42 )0 ()0 ( 21 0)0 ( i dt d VRiu LC 5 6 2 3 5 4 )0 ()0 ( 2 换路后,作出0+时刻等效电路,见图(2). 图(1) 图(2) 0+时刻等效电路 i(0+) Aue R i C 5 14 ) 5 6 4 ( 1 1 )0 ()0 ( 1 )0 ( 1 sA ii C e dt d R u dt d e dt d R i dt d L C /2) 5 4 5 14 ( 1 1 0 1 1 )0()0( 1 )0( 1 )0()0( 1 )0( 1 1 2)对于用微分方程表示的系统 系统的0-状态到0+状态有无跳变决定于微分方程 右端自由项中是否包含(t)及其各阶导数.如果包 含(t)及其各阶导数,则0-到0+状态发生了跳变, 即 .等等)0 ()0 (或)0 ()0 ( rrrr .可用冲激函数匹配法 求出0+状态. 冲激函数匹配法的原理是根据t=0时刻微分方程 左右两端的(t)及其各阶导数应该平衡相等. 下面举例说明冲激函数匹配法确定0+状态方法. 例2-4:给定系统的微分方程 )(3)()(2)(3)( 2 2 tete dt d trtr dt d tr dt d 若激励信号为 , 起始状态为 )()(tute 求0+状态 2)0(, 1)0( rr ).0(),0( r r 解:将e(t)=u(t)代入方程式(1),求得t=0时微分方程表示为 )(3)()(2)(3)( 2 2 tuttrtr dt d tr dt d u(t)为0-到0+相对单位跳变函数,方程(2)右端自由项中含有(t),故 从0-到0+状态发生跳变. 方程(2)右端的冲激函数项最高阶次是(t),因而可以设 (1) (2) 0)( )()( )()()( 2 2 tr tuatr dt d tubtatr dt d )(3)(02)(3)()(tuttuatubta 33 1 ab a 0 1 b a 0)0()0( 1)0()0( 0)0()0( 2 2 2 2 br dt d r dt d ar dt d r dt d rr (0-t0+) 代入式(2) 求得 因而有 321)0(1)0( 1)0()0( r dt d r dt d rr 0+状态为 )()()()()( )()()()( 1 1 1 10 1 1 1 10 tuEtEt dt d Et dt d Et dt d E trCtr dt d Ctr dt d Ctr dt d C mmm m m m m nn n n n n 一般情况,t=0时微分方程为 (0-0时,微分方程为 3)(2)(3)( 2 2 trtr dt d tr dt d zszszs (4) 方程式(4) 的特解为 2 3 )(trp 零状态响应的形式 2 3 )( 2 21 tt zs eCeCtr 代入求出常数 2 1 2 2 1 C C 零状态响应为 2 3 2 1 2)( 2 tt zs eetr 3)系统的完全响应为 2 3 2 5 2 2 3 2 1 234)()()( 2 22 tt tttt zszi ee eeeetrtrtr 零状态响应 零输入响应 自由响应强迫响应 (t0) 对响应的另一种划分是瞬态响应和稳态响应. 瞬态响应: 时,响应趋于零的那部分响应分量 . t 稳态响应: 时,保留下来的那部分响应分量 .t 上例中的响应,其瞬态响应和稳态响应划分如下: 2 3 2 5 2)( 2 tt eetr 瞬态响应稳态响应 用常系数线性微分方程描述的系统只有在起始状态为 零(x(0-)=0)的条件下,系统才是线性时不变的,而且是 因果的.否则,若x(0-)0,系统是非线性时变的,而且是 非因果的. 2.5 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 冲激响应:系统在单位冲激信号(t)的激励下产生的零状 态响应.记作h(t). 阶跃响应:系统在单位阶跃信号u(t)的激励下产生的零状 态响应.记作g(t). H (t)h(t)=H (t) H u(t)g(t)=H u (t) 对于LTI系统,h(t)与g(t)之间关系: t dhtg tg dt d th )()( )()( 对于线性系统对于线性系统,冲击响应冲击响应h(t) 满足方程满足方程 )()()()( )()()()( 1 )1( 1 )( 0 1 1 1 10 tEtEtEtE thCth dt d Cth dt d Cth dt d C mm mm nn n n n n 及起始状态 及起始状态 .其形式为其形式为(nm) ) 1,.,1 , 0(0)0( )( nkh k )()()( 1 tueAth n k t k k 若nm,则表达式中还含有(t)及其相应阶的导数. 用冲激函数匹配法可求出系统的0+状态 ,再求出常数A.)0( )( k h 冲激响应h(t)是系统分析中极为重要的函数,它的性 质可以表示系统的因果性和稳定性,h(t)的变换域表示更 是分析LTI系统的重要手段. 例2-6:给定系统的微分方程 )(4)(6)()(10)(7)( 2 2 2 2 tete dt d te dt d trtr dt d tr dt d 求系统的冲激响应h(t). 解: h(t)满足方程 )(4)(6)()(10)(7)( 2 2 tttthth dt d th dt d 它的齐次解形式为 )0()( 3 2 2 1 teAeAth tt (1) 利用冲激函数匹配法求h(0+)和h (0+). 设 )()()( )()()()( )()()()()( 2 2 tubtath tuctbtath dt d tudtctbtath dt d (0-0即0为右移，为右移， t 0为左移；为左移； (4)将将e( ) 与与h(t- )重叠部分重叠部分相乘相乘e( ) h(t- ) ； (5)完成相乘后图形的积分。完成相乘后图形的积分。 f2 () 0 2 -2 f2 (t) 0 2 t-2t f1 () f2 (t-) 0 2 t-2 t1 (t0) 0 2 1 0 2 2 (1)t0时时, f1 ( ) f2 (t- )=0 f1 (t)*f2 (t)=0 f2 (t)或或f2 ( )f1 (t)或或f1 ( ) t或或t或或 例例2-8:求图示求图示f1(t) 和和f2(t)的卷积的卷积 f1 () f2 (t-) 0 2 t-2 t 1 (1t2) t 1 f1 () f2 (t-) 0 2 t2t (2t3) t-1 f1 () f2 (t-) 0 2 t2t1 (0t1) t (3) 1t2时时 (4) 2t3时时 (2) 03) . 3 , 0 ; 32 ),3)(1( ; 21 , 12 ; 10 , ; 0 , 0 )()()( 2 21 t ttt tt tt t tftfty 0123 1 3 y(t) t 0)(*)( 21 tftf 若若f1(t), f2(t)都为时限信号则卷积后仍为时限信号，其 都为时限信号则卷积后仍为时限信号，其 左边界为原两信号左边界之和，右边界为原两信号右边 界之和 左边界为原两信号左边界之和，右边界为原两信号右边 界之和.卷积结果所占有的时宽等于两个信号各自时宽的 总和 卷积结果所占有的时宽等于两个信号各自时宽的 总和. 据卷积的定义和积分的性质，可推知卷积有如 下的运算规律 据卷积的定义和积分的性质，可推知卷积有如 下的运算规律 : 1交换律:1交换律:)()()()( 1221 tftftftf* 2分配律:2分配律: )()()()()()()( 3121321 tftftftftftftf* 2.7 卷积的性质2.7 卷积的性质 3结合律3结合律 )()()( )()()()()()( 231 321321 tftftf tftftftftftf * * (一一) 卷积代数卷积代数 (二)卷积的微分和积分(二)卷积的微分和积分 (2) 积分(2) 积分 f1 (t)* *f2 (t) -1 = f1-1(t)* *f2 (t)= f1 (t)* *f2-1(t) (3) 微分-积分(3) 微分-积分 f1 (t)* *f2 (t)=f1 (t)* *f2-1(t)=f1-1(t)* *f2 (t) )(*)()(则 )(*)()(若 )( 2 )( 1 )( 21 tftfts tftfts jij i dftf t )()( 1 注:注: (1)微分 若 微分 若 f1 (t)， ， f2 (t)左收敛，即左收敛，即 0)( ; 0)( 21 ff 则则 f1 (t)* *f2 (t) = f1 (t)* *f2 (t)= f1 (t)* *f2 (t) (三)卷积时移(三)卷积时移 设设f1 (t)* *f2 (t)=y(t)，则：，则： f1 (t-t1 )* *f2 (t-t2 )=y(t-t1 -t2 );推论：推论： f1 (t)* *f2 (t-t0 )=f1 (t-t0 )* *f2 (t)=y(t-t0 ) (四)与冲激函数或阶跃函数的卷积(四)与冲激函数或阶跃函数的卷积 (1) (1) f(t)*(t)=f(t),即即f(t)与与(t)卷积等于卷积等于f(t)本身本身 f(t)*(t-t0)=f(t-t0) )()()( )()()(*)( tfdtf dtfttf (t-t1)*(t-t2)= (t-t1-t2) f(t-t1)*(t-t2)=f(t-t1-t2) )()()()( 1 fdftutf t (2) (2) f(t)*(t)=f(t) ,即即f(t)与冲激偶与冲激偶(t)卷积等于卷积等于f(t) 导数。 (3) 导数。 (3) )()()( )()()( 0 )( 0 )( )()( ttftttf tfttf kk kk 一般情况一般情况 例例2-9:求求u(t)*u(t). )(1 )()()(*)( 0 ttud dtuututu t 例例2-10:利用卷积性质重做例利用卷积性质重做例2-8的卷积的卷积. )1()( 2)( 1 tututf )2()()( 2 tututtf )2() 1(2)() 1(2- )2()(2)()(2)()( 21 ttututtutu ttututtututftf 解：解： (卷积时的卷积时的u(t)的存在只是确定被积信号的起始位置，卷积结果要 考虑起始位置 的存在只是确定被积信号的起始位置，卷积结果要 考虑起始位置,即加即加u(上限上限-下限下限) )3(2)1(2- )2(2)(2)()( 1 2 1 0 2 0 21 tudtud tudtudtftf tt tt 所以有所以有 ) 3() 32() 1() 12( - ) 2() 4()( 2222 tutttutttuttut 0123 1 3 y(t) t )3() 2()32( )2() 1()12 ()1()( 22 tututttututtutut 结果与前面图解法所得的分段 表达式一致。 结果与前面图解法所得的分段 表达式一致。 ) 3( 2 1 2) 1( 2 1 2- ) 2( 2 1 2)( 2 1 2 1 2 1 0 2 2 2 0 2 tutututu tttt 若若f1 (t)，f2 (t)收敛，收敛，利用微分-积分性质使被卷 积的一个信号尽量化为 利用微分-积分性质使被卷 积的一个信号尽量化为冲激信号以及其延时冲激信号以及其延时，再 利用任一信号与 ，再 利用任一信号与 (t)卷积等于该信号本身及其时 移性质，可使计算简化。 卷积等于该信号本身及其时 移性质，可使计算简化。 例例2-8中两信号都有界，因此可利用微分-积分性质中两信号都有界，因此可利用微分-积分性质 )2()()1(2)(2 )()( )()( 1 2121 dudutt tftftftf tt )2()2 2 1 ()( 2 1 )1(2)(2 22 tuttuttt 结果与前面一致结果与前面一致 ) 3( 4) 1() 1() 1( - ) 2() 4()( 2222 tuttuttuttut 2.8 用算子符号表示微分方程2.8 用算子符号表示微分方程 (一一)微分算子、积分算子与微分算子方程微分算子、积分算子与微分算子方程 引入如下算子：引入如下算子： 微分算子微分算子: t p d d 积分算子积分算子: t p p 1 d) ( 1 )()( d d )( tfptf t tf 则：则： )()( d d )( )( tfptf t tf n n n n )()( 1 d )( 1 tfptf p f t 对于微分方程对于微分方程 )(5 d )(d )(6 d )(d 5 d )(d 2 2 te t te tr t tr t tr 算子形式算子形式 )(5)()(6)(5)( 2 tetpetrtprtrp 微分算子方程：微分算子方程：)() 5()() 65( 2 teptrpp 它是微分方程的一种表示，含义是在等式两边 分别 它是微分方程的一种表示，含义是在等式两边 分别对变量对变量r(t)和和e(t)进行相应的微分运算进行相应的微分运算。形式上 是代数方程的表示方法。可用来在时域中建立与 。形式上 是代数方程的表示方法。可用来在时域中建立与 变换域变换域相一致的分析方法。相一致的分析方法。 (二)微分算子的运算性质 性质1 (二)微分算子的运算性质 性质1 以以p的正幂多项式出现的运算式，在形式 上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。 如： 的正幂多项式出现的运算式，在形式 上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。 如： 性质2 性质2 微分算子方程等号两边微分算子方程等号两边p的公因式不能 随便消去 的公因式不能 随便消去。 例如： 。 例如：py(t)= pf(t) y(t)= f(t)+c( (c为常数) 为常数) y(t)= f(t) 性质3 性质3 设设A(p)、B(p) 和和D(p)都是都是p的正幂多项式的正幂多项式 )() 3)(2()() 65( 2 trpptrpp )( )( )( )( )()( )( )(tf pB pA tf pBpD pA pD )( )( )( )()( )()( )( tf pB pA tfpD pBpD pA 但是 ：但是 ： )(d)( d d )( 1 tff t tf p p t )()()(d)( d d )( 1 tfftfftfp p t 例如：例如： 函数乘、除算子函数乘、除算子p的顺序不能随意颠倒，对函数进行 的顺序不能随意颠倒，对函数进行 “先除后乘先除后乘”(先积分后微分先积分后微分) 算子算子p的运算的运算时，分式的分 子与分母中 时，分式的分 子与分母中公共公共p算子(或算子(或p算式)才允许消去算式)才允许消去。 电路元件伏安关系(电路元件伏安关系(VAR)的微分算子形式称为 )的微分算子形式称为 算子模型算子模型，电压、电流比为，电压、电流比为算子感抗算子感抗和和算子容抗算子容抗 元件名称电路符号ui关系 (VAR) VAR的算子 形式 算子模型 电阻 u(t)=Ri(t) u(t)=Ri(t) 电感u(t)=pLi(t) 电容 电路元件的算子模型电路元件的算子模型 i(t) Ri(t) R i(t)L i(t) 1/pC i(t) C i(t)pL (三)LTI连续系统的算子方程与系统的传输算子(三)LTI连续系统的算子方程与系统的传输算子 u(t) u(t) u(t) dt tdi Ltu )( )( t di C tu)( 1 )( )( 1 )(ti pC tu u(t) u(t) u(t) LpL;C 1/(pC)画出算子模型，按照电路理 论中的列写方程方法列写。 画出算子模型，按照电路理 论中的列写方程方法列写。 例2-11：例2-11：电路如图(电路如图(a)所示，激励为)所示，激励为f(t)，响应 为 ，响应 为i2 (t)。试列写其微分算子方程。试列写其微分算子方程。 (a) 1 + e(t) - i1 5 3F i2 2H4H 1 + e(t) - i1 5 1 3p i2 2p4p (b) 1 2 解：解：画出其画出其算子模型电路算子模型电路如如图(图(b) )所示。由所示。由回路 法 回路 法可列出方程为 ：可列出方程为 ： 0)()54 3 1 ()( 3 1 )()( 3 1 )() 3 1 21 ( 21 21 tip p ti p teti p ti p p 化简微分方程组时要化简微分方程组时要考察电路的阶数考察电路的阶数以便确定 公共因子是否可消去。 化简后所求微分算子方程为： 以便确定 公共因子是否可消去。 化简后所求微分算子方程为： )()() 27148 ( 3 2 23 tetippp 对于激励为对于激励为e(t)，响应为，响应为r(t)的的n阶阶LTI连续系统， 其微分算子方程为： 连续系统， 其微分算子方程为： )()( )()( 01 1 1 01 1 1 tebpbpbpb trapapap m m m m n n n 将其在形式改写为将其在形式改写为 )()()()( 01 1 1 01 1 1 tepHte apapap bpbpbpb tr n n n m m m m )( )( )( )( )( 01 1 1 01 1 1 pD pN apapap bpbpbpb te tr pH n n n m m m m 式中： 它代表了系统将激励转变为响应的作用，或 系统对输入的传输作用，故将 式中： 它代表了系统将激励转变为响应的作用，或 系统对输入的传输作用，故将H(p)称为称为响应响应r r( (t t) 对激励 ) 对激励e e( (t t)的传输算子)的传输算子或或系统的传输算子系统的传输算子 系统传输算子与系统微分算子方程是对系统 的等价表示。它们之间可以可以转化。 系统传输算子与系统微分算子方程是对系统 的等价表示。它们之间可以可以转化。