二次函数与一元二次方程_2

1 / 8 二次函数与一元二次方程 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第三十课时二次函数与一元二次方程 【学习导航】 知识网络 学习要求 1能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间； 3体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想 自学评价 1.二次函数的零点的概念 一元二次方程的根也称为二次函数（ 0 ）的零点 2.二次函数的零点与对应一元二次 方程根的关系 （ 1）一元二次方程（ 0 ）有两个不相等的实数根，判别式对应的二次函数（ 0 ）的图象与轴有两个交点为，对应的二次函数（ 0 ）有两个不同的零点，； （ 2）一元二次方程（ 0 ）有两个相等的实数根 =判别式对应的二次函数（ 0 ）的图象与轴有唯一的交点为（， 0）对应的二次函数（ 0 ）有两个相同零点 =； 2 / 8 （ 3）一元二次方程（ 0 ）没有实数根判别式对应的二次函数（ 0 ）的图象与轴没有交点对应的二次函数（ 0 ）没有零点 3.推广 函数的零点的概念 一般地，对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点 函数的零点与对应方程的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 【精典范例】 例 1：求证：一元二次方程有两个不相等的实数根 【解】证法 1 = 一元二次方程有两个不相等的实数根 证法 2 设， 函数的图象是一条开口向上的抛物线，且 函数的图象与轴有两个不同的交点，即一元二次方程有两个不相等的实数根 点评 :例 1 还可用配方法将方程化为再证明也可仿照证法2，由抛物线开口向上及来推证 例 2：右图是一个二次函数的图象 （ 1）写出这个二次函数的零点； （ 2）写出这个二 次函数的解析式； 3 / 8 （ 3）试比较，与的大小关系 【解】（ 1）由图象可知此函数的零点是：， （ 2）由（ 1）可设 = 即这个二次函数的解析式为 （ 3） ， ， ， 点评 :例 2 进一步体现了利用函数图象研究函数性质的思想 例 3：当关于的方程的根满足下列条件时，求实数的取值范围： （ 1）方程的两个根一个大于 2，另一个小于 2； （ 2）方程的两根都小于； （ 3）方程的两根都在区间上； （ 4）方程的一个根在区间上，另一根在区间上； （ 5）方程至少有一个实根小于 分析： 可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定的不等式（组） 【解】 设，其图象为开口向上的抛物线若要其与轴的两个交点在点的两侧，只需，即， 当时，满足题意 4 / 8 当时，设 .若要 方程两根都小于 1，只要 综上，方程的根都小于 1 时， 设则方程两个根都在上等价于： （ 4）设，则方程一个根在上，另一根在上等价于 或 （ 5）设，若方程的两个实根都小于，则有 若方程的两个根一个大于，另一个小于 1，则有 , 若方程的两个根中有一个等于，由根与系数关系知另一根必为 ， ， 综上，方程至少有一实根小于时， 点评：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于5 / 8 课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力 追踪训练一 1.函数的最大值是，则（ D） A B c D 2.设， ,，则（ B） A B c D 3.若关于的方程有一根在内，则 _ 4.若二次函数在区间上是增函数，则的取值范围是_ 【选修延伸】 一、二次函数与一元二次方程根的关系 例 4:已知，是方程 ()的两个实根，求的最大值和最小值 分析 :一元二次方程与二次函数有很多内在联系要求的最值，首先要考虑根与系数的关系，并由此得到以为自变量的的函数解析式 【解】因为方程 ()有两个实根，所以 ，解得 又， 所以 6 / 8 而是减函数，因此当时，取最大值，当时，取最小值 点评：这是 一个与一元二次方程根有关的问题，必须先确定的取值范围，否则无法确定函数的单调性 追踪训练二 1若方程在内恰有 一解，则的取值范围是（ B） A B c D 2已知，并且、是方程的两个根，则实数、的大小关系可能是（ A） A B c D 3不等式对一切实数都立，则的取值范围是 . 4已知二次函数和一次函数，其中，且， （ 1）求证：两函数、的图象交于不同两点、； （ 2）求线段在轴上投影长度的取值范围 答案：（ 1） ， , 由得， 因为 所以两函数 、的图象必交于不同的两点； （ 2）设，则 ， 7 / 8 （，） 第 30课二次函数与一元二次方程 分层训练： 1函数的零点是（） A， B， c， D不存在 2关于的不等式的解集是，则等于（） A B c D 3不等式对恒成立，则的取值范围是（ ） A B c D 4已知函数的图象在轴的上方，则实数的取值范围是 5已知函数 （ 1）求函数的图象与轴的交点坐标，并结合图象指出当取何值时，函数值大于； （ 2）设函数图象的顶点为，它与轴的交点 为、，求的面积 6若函数在区间上是减函数，那么的取值范围是（） A B c D 7已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（） A B 8 / 8 c D 8已知实数、满足，则的最大值是 9已知函数， （ 1）若，求的最大值与最小值，并指出相应的的值； （ 2）若恒成立，求的取值范围 拓展延伸 10已知函数 (1)当时，其值为正；时，