一元二次方程的应用（1）导学案 （新版新人教版）

1 / 22 一元二次方程的应用（ 1）导学案 （新版新人教版） 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第 8 课时一元二次方程的应用（ 1） 一、学习目标会列出一元二次方程解应用题； 学会用列一元二次方程的方法解决传播问题、增长率问题和几何图形问题； 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力 二、知识回顾 1解一元二次方程有哪些方法？ 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 2列一元一次方程解应用题的步骤是什么？ （ 1）审：弄清题意和题目中的数量关系； （ 2）设：用字母表示题目中的一个未知数； （ 3）找：找出能够表示应用题全部含义的一个等量关系； （ 4）列：根据这个等量关系列出代数式，从而列出方程； （ 5）解：解所列的方程，求出未知数的值； （ 6）验：检验方程的解是否符合题意； （ 7）答：写出答案（包括单位名称） 三、新知讲解列一元二次方程解应用题的一般步骤 审：指读懂题目，审清题意，明确哪些是已知量，哪些是未2 / 22 知量，以及它们之间的等量关系； 设：指设元，即设未知数，设元分直接设元和间接设元，直接设元就是问什么设什么，间接设元是间接地设 一个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量； 列：指列一元二次方程，这是非常重要的步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程； 解：指解方程，即求出所列方程的解； 验：指检验方程的解能否保证实际问题有意义，符合题意，应注意的是，一元二次方程的解有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于 100%，等等 答：写出答案 列一元二次方程解应用题的常见题型 传播问题、增长率问题、几何图形问题、数字问题 、营销问题、利息问题等 四、典例探究 1一元二次方程的应用 传播问题 【例 1】（ XX秋 剑阁县校级期中） “ 埃博拉 ” 病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生 “ 出血热 ” 的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“ 埃博拉 ” 病毒，经过两轮传染后，共有 121人受到感染， （ 1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 3 / 22 （ 2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？ 总结： 传播问题的基本特征是：以相同速度逐轮传播 . 解决此类问题的 关键是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数 练 1（ XX秋 集美区校级期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请 n 个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有 111人参与了传播活动，则 n 的值是多少？ 2一元二次方程的应用 增长率问题 【例 2】（ XX珠海）白溪镇 XX 年有绿地面积公顷，该镇近几年不断 增加绿地面积， XX年达到公顷 （ 1）求该镇 XX至 XX年绿地面积的年平均增长率； 若年增长率保持不变， XX 年该镇绿地面积能否达到 100 公顷？ 总结： 增长率问题会涉及到最后产量、基数、平均增长率或平均降4 / 22 低率 . 若平均增长（或降低）百分率为 x，增长（或降低）前基数为 a，增长（或降低） n 次后的最后产量是 b，则它们的数量关系可表示为 a(1x)n=b ，其中增长取 “+” ，降低取 “ -” ，注意 1 与 x 的位置不能调换 . 增长率问题中，解方程一般用直接开平方法，注意方程根的取舍问题 练 2（ XX秋 丹江口市校级月考）一种药品经过两次降价，由每盒 60 元调至元，平均每次降价的百分率是多少？ 3一元二次方程的应用 与图形有关的问题 【例 3】（ XX秋 番禺区校级月考）如图，在宽为 20m，长为 32m的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路（如图），把耕地分成大小相等的 6 块作为试验田，要使试验田面积为504m2，求每条道路的宽度为多少米 . 总结： 解决几何图形问题的关键是掌握常见几何图形的面积、体积公式，并能熟练计算由基本图形构成的组合图形的面积 . 对于不规则图形的面积 问题，往往通过平移、割补等方法把不规则图形转化为规则图形，运用规则图形的面积公式列出方程 练 3（ XX金湾区校级一模）某幼儿园有一道长为 165 / 22 米的墙，计划用 32 米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪 ABcD （ 1）当矩形草坪面积为 120平方米时候，求该矩形草坪 Bc边的长 （ 2）怎样围能得到面积最大的草坪？ 五、课后小测一、选择题 1（ XX山西模拟）九（ 1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（ 1）班 的人数是（ ） A 39B 40c 50D 60 2（ XX兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有 49 人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 x人，则 x 的值为（ ） A 5B 6c 7D 8 3（ XX泰安模拟）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了 x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（ ） A 2x%B 1+2x%c（ 1+x%） x%D（ 2+x%） x% 4（ XX江岸区校级模拟）为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降6 / 22 了 36%假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则第一次降价后的价格为（ ） A 18元 B 36元 c 64元 D 80元 5（ XX槐荫区三模）如图，矩形 ABcD是由三个矩形拼接成的如果 AB=8，阴影部分的面积是 24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为（ ） A 7B 6c 5D 4 二、填空题 6（ XX春 信州区校级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有 人被传染 7（ XX 春 富阳市校级月考）甲菜农计划以每千克 5元的价格对外批发某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克元的单价对外批发销售，则他平均每次下调的百分率是 8（ XX东西湖区校级模拟）如图，某广场一角的矩形花草区，其长为 40m，宽为 26m，其间有三条等宽的路，一条直路 ，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为 864m2，求路的宽度为 m 7 / 22 三、解答题 9（ XX襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是 91，每个支干长出多少小分支？ 10（ XX东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有 49人患了流感 （ 1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （ 2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 11（ XX泗县校级模拟）某公司一月份营业额为 100万元，第一季度总营业额为 331万元，问：该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？ 12（ XX 春 淮阴区校级月考）前一阶段，我校成功的举办了首届数学节，某种活动所需材料经过两次降价后，从原来的 20 元减少到元，若两次降价的百分率相同，请你求出降价的百分率 13（ XX香洲区校级一模）据媒体报道，我国 XX 年公民出境旅游总人数约 5000 万人， XX 年公民出境旅游总人8 / 22 数约 7200万人，若 XX年、 XX年公民出 境旅游总人数逐年递增，请解答如下问题： （ 1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （ 2）如果 XX 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 XX年我国公民出境旅游总人数约多少万人？ 14（ XX红塔区模拟）如图，在长为 80米，宽为 60米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为 4524米 2，则道路的宽应为多少米？ 15（ XX长宁区二模）如图，为了给小区居民增加锻炼场所，物业拟在一宽为 40 米、长为 60米的矩形 区域内的四周修建宽度相同的鹅卵石小路，阴影部分用作绿化当阴影部分面积为 800平方米时，小路宽 x 为多少米 16（ XX赣州模拟）如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题 （ 1）问：依据规律在第 6 个图中，黑色瓷砖有 28 块，白色瓷砖有 42 块； （ 2）某新学校教室要装修，每间教室面积为 68m2，准备定9 / 22 制边长为米的正方形白色瓷砖和长为米、宽为米的长方形黑色瓷砖来铺地面按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成 铺设已知白色瓷砖每块 20 元，黑色瓷砖每块 10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？ 典例探究答案： 【例 1】（ XX秋 剑阁县校级期中） “ 埃博拉 ” 病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生 “ 出血热 ” 的烈性传染病毒，传染性极强，一日本游客在非洲旅游时不慎感染了“ 埃博拉 ” 病毒，经过两轮传染后，共有 121人受到感染， （ 1）问每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （ 2）如果得不到控制，按如此的传播速度，经过三轮后将有多少人受到感染？ 分析：（ 1）设每轮传染中平均每人传染了 x 人，根据经过两轮传 染后共有 121 人患病，可求出 x， （ 2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数 解答：解：（ 1）设每轮传染中平均每人传染了 x 人， 1+x+x（ x+1） =121， x=10或 x= 12（舍去） 答：每轮传染中平均一个人传染了 10个人； （ 2） 121+12110=1331 （人） 答：第三轮后将有 1331人被传染 10 / 22 点评：本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人是解题关键 练 1（ XX秋 集美区校级期末）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发 的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请 n 个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有 111人参与了传播活动，则 n 的值是多少？ 分析：设邀请了 n 个好友转发倡议书，第一轮传播了 n 个人，第二轮传播了 n2 个人，根据两轮传播后，共有 111 人参与列出方程求解即可 解答：解：由题意，得 n+n2+1=111， 解得： n1= 11（舍去）， n2=10 故 n 的值是 10 点评：本题考查了一元二次方程的应用，解答 时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为 111人建立方程是关键 【例 2】（ XX珠海）白溪镇 XX 年有绿地面积公顷，该镇近几年不断增加绿地面积， XX年达到公顷 （ 1）求该镇 XX至 XX年绿地面积的年平均增长率； （ 2）若年增长率保持不变， XX年该镇绿地面积能否达到 10011 / 22 公顷？ 分析：（ 1）设每绿地面积的年平均增长率为 x，就可以表示出 XX年的绿地面积，根据 XX年的绿地面积达到公顷建立方程求出 x 的值即可； （ 2）根据（ 1）求出的年增长率就可以求出结论 解答： 解：（ 1）设绿地面积的年平均增长率为 x，根据意，得 （ 1+x） 2=， 解得 x1=， x2=（不合题意，舍去） . 答：增长率为 20%； （ 2）由题意，得（ 1+） =（万元） 答： XX年该镇绿地面积不能达到 100公顷 点评：本题考查了增长率问题的数量关系的运用，关键是运用增长率的数量关系建立一元二次方程求解 练 2（ XX秋 丹江口市校级月考）一种药品经过两次降价，由每盒 60 元调至元，平均每次降价的百分率是多少？ 分析：设该药品平均每次降价的百分率为 x，根据降价后的价格 =降价前的价格（ 1降价的百分率），则第一次降价后的价格是 60（ 1 x），第二次后的价格是 60（ 1 x） 2，据此即可列方程求解 解答：解：设平均每次降价的百分率是 x，依题意得： 60（ 1 x） 2=， 12 / 22 解方程得： x1=10%， x2=（舍去）， 答：平均每次降价的百分率是 10% 故答案为： 10% 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用增长率（下降率）问题，关键是读懂题意，掌握公式： “a （ 1x ） n=b” ，理解公式是解决本题的关键 【例 3】（ XX秋 番禺区校级月考）如图，在宽 为 20m，长为 32m的矩形耕地上，修筑宽度一样的三条道路（如图），把耕地分成大小相等的六块作为试验田，要使试验田面积为504m2，求每条道路的宽度为多少米？ 分析：试验田的面积 =矩形耕地的面积三条道路的面积 +道路重叠部分的两个小正方形的面积如果设道路宽 x，可根据此关系列出方程求出 x 的值，然后将不合题意的舍去即可 解答：解：设道路为 x 米宽， 由题意得 2032 20x2 32x+2x2=504， 整理得 x2 36x+68=0， 解得 x=2， x=34， 经检验 x=2， x=34 都是原方程的 解，但是 x=34 20，因此不合题意舍去 答：每条道路的宽度为 2m 13 / 22 点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式另外应熟悉以下关系：整体面积 =各部分面积之和；剩余面积 =原面积截去的面积本题也可通过平移，把分散的小路集中到一起，得到的试验田为一个矩形，由此可得出方程（ x-2x）（ 20-x） =504，并求解 . 练 3（ XX金湾区校级一模）某幼儿园有一道长为 16米的墙，计划用 32 米长的围栏利用一面墙如图围成一个矩形草坪 ABcD （ 1）当矩形草坪面积 为 120平方米时候，求该矩形草坪 Bc边的长 （ 2）怎样围能得到面积最大的草坪？ 分析：（ 1）可设矩形草坪 Bc边的长为 x 米，则 AB 的长是，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解； （ 2）根据配方法即可得到怎样围能得到面积最大的草坪 解答：解：（ 1）设矩形草坪 Bc边的长为 x 米，则 x=120， 解得 x1=12， x2=20（舍去） 故该矩形草坪 Bc边的长为 12米， （ 2） s=x= x2+16x=（ x 16） 2+128， 故当矩形草坪长为 16 米，宽为 8 米 的时候，所围的草坪面积最大 14 / 22 点评：本题考查了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解注意本题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键 课后小测答案： 一、选择题 1（ XX山西模拟）九（ 1）班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照相片780张，则九（ 1）班的人数是（ ） A 39B 40c 50D 60 解：设九（ 1）班共有 x 人，根据题意得： x（ x 1） =780， 解之得 x1=40， x2= 39（舍去）， 答：九（ 1）班共有 40名学生 故选 B 2（ XX兰州二模）有一人患了流感，经过两轮穿然后共有 49 人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了 x人，则 x 的值为（ ） A 5B 6c 7D 8 解：根据题意得： 1+x+x（ 1+x） =49， 解得： x=6或 x= 8（舍去）， 则 x 的值为 6 故选： B 15 / 22 3（ XX泰安模拟）某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了 x%，则第三季度的产值比第一季度增长了（ ） A 2x%B 1+2x%c（ 1+x%） x%D（ 2+x%） x% 解：根据题意得：第三季度的产值比第一季度增长了（ 2+x%）x%， 故选 D 4（ XX江岸区校级模拟）为提高民生，让人民更好的享受经济和社会发展的成果，今年多数药品生产的企业对某些药品实行降价，其中某种药品经过再次降价，每盒下降了 36%假设每次降价的百分率相同，降价前的药品价格为100元，则第一次降价后的价格为（ ） A 18元 B 36元 c 64元 D 80元 解： 原价为 100 元的药品 经过两次降价后下降了 36%， 降价后的药品价格为 100（ 1 36%） =64元， 设平均每次降价的百分率是 x，依题意得： 100（ 1 x） 2=64， 解方程得： x1=20%， x2=（舍去）， 第一次降价的价格为 100 （ 1 20%） =80元 故选 D 5（ XX槐荫区三模）如图，矩形 ABcD是由三个矩形拼接成的如果 AB=8，阴影部分的面积是 24，另外两个小16 / 22 矩形全等，那么小矩形的长为（ ） A 7B 6c 5D 4 解：设小矩形的长为 x，则小矩形的宽为 8 x， 根 据题意得： xx（ 8 x） =24， 解得： x=6或 x= 2（舍去）， 故选 B 二、填空题 6（ XX春 信州区校级月考）有一人患了流感，经过两轮传染后共有 81 人患了流感，如果不及时控制，第三轮将又有 648 人被传染 解：设一个患者一次传染给 x 人，由题意，得 x（ x+1） +x+1=81， 解得： x1=8， x2= 10（舍去）， 第三轮被传染的人数是： 818=648 人 故答案为： 648 7（ XX 春 富阳市校级月考）甲菜农计划以每千克 5元的价格对外批发 某种蔬菜，由于部分菜农盲目扩大种植这种蔬菜，造成这种蔬菜滞销甲菜农为加快销售，减少损失，对这种蔬菜的价格经过两次下调，最后以每千克元的单价对外批发销售，则他平均每次下调的百分率是 20% 解：设平均每次下调的百分率是 x 17 / 22 由题意，得 5（ 1 x） 2= 解得 x1=， x2=（不符合题意）， 符合题目要求的是 x1=20% 答：平均每次下调的百分率是 20% 故答案为： 20% 8（ XX东西湖区校级模拟）如图，某广场一角的矩形花草区，其长为 40m，宽为 26m，其间有三条等宽的 路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为 864m2，求路的宽度为 2 m 解：设路的宽度是 xm根据题意，得 （ 40 2x）（ 26 x） =864， x2 46x+88=0， （ x 2）（ x 44） =0， x=2或 x=44（不合题意，应舍去） 答：路的宽度是 2m 三、解答题 9（ XX襄阳区校级模拟）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是 91，每个支干长出多少小分支？ 解：设每个支干长出的 小分支的数目是 x 个， 根据题意列方程得： x2+x+1=91， 18 / 22 解得： x=9或 x= 10（不合题意，应舍去）； x=9 ； 答：每支支干长出 9 个小分支 10（ XX东海县模拟）有一人患流感，经过两轮传染后，共有 49人患了流感 （ 1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （ 2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 解：（ 1）设每轮传染中平均每人传染了 x 人， 1+x+x（ x+1） =49 x=6或 x= 8（舍去） 答：每轮传染中平均一个人传染了 6 个人； （ 2） 49 6=294（人） 答：第三轮将又有 294人被传染 11（ XX泗县校级模拟）某公司一月份营业额为 100万元，第一季度总营业额为 331万元，问：该公司二、三月份营业额的平均增长率是多少？ 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率是 x 根据题意得 100+100（ 1+x） +100（ 1+x） 2=331， 解得 x1=， x2=（不合题意，舍去） 答：该公司二、三月份营业额平均增长率是 10% 12（ XX 春 淮阴区校级月考）前一阶段，我校成功的举办了首届数学节，某种活动所 需材料经过两次降价后，19 / 22 从原来的 20 元减少到元，若两次降价的百分率相同，请你求出降价的百分率 解：设平均每次降价的百分率为 x，根据题意得： 20（ 1 x） 2= 解得： x1=， x2=（不符合题意舍去） 答：每次降价的百分率为： 20% 13（ XX香洲区校级一模）据媒体报道，我国 XX 年公民出境旅游总人数约 5000 万人， XX 年公民出境旅游总人数约 7200万人，若 XX年、 XX年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答如下问题： （ 1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （ 2）如 果 XX 年仍保持相同的年平均增长率，请你预测 XX年我国公民出境旅游总人数约多少万人？ 解：（ 1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 x 根据题意得： 5000（ 1+x） 2=7200， 解得 x1=20%， x2=（不合题意，舍去） 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20% （ 2）如果 XX年仍保持相同的年平均增长率， 则 XX 年我国公民出境旅游总人数为 7200（ 1+x） =7200（ 1+20%） =8640（万人次） 答：预测 XX年我国公民出境旅游总人数约 8640万人次 20 / 22 14（ XX红塔区模拟）如图，在长为 80米，宽为 60