高等数学总复习

高等数学总复习,2009年6月7日,机动目录上页下页返回结束,高等数学复习简介,向量的运算及方向余弦，平面与直线（包括坐标轴）的位置关系；平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程；二元函数的极限;二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系；多元隐函数求导，曲面的切平面方程；复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）；方向导数，多元函数的条件极值问题；二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换；利用三重积分计算空间立体的体积，三重积分的“先二后一”计算方法；曲线积分与曲面积分，格林公式和高斯公式的应用；常数项级数的收敛与绝对收敛，傅立叶级数的收敛性定理，幂级数的收敛域与和函数。,机动目录上页下页返回结束,向量的方向余弦,机动目录上页下页返回结束,与三坐标轴的夹角,为其方向角.,机动目录上页下页返回结束,方向角的余弦称为其方向余弦.,向量的运算,设,1.向量运算,加减:,数乘:,点积:,叉积:,机动目录上页下页返回结束,2.向量关系:,平面与直线（包括坐标轴）的位置关系,主要通过向量间的关系来衡量线线关系，线面关系，面面关系；问题根源仍然是对向量关系的正确理解；,面与面的关系,平面,平面,垂直:,平行:,夹角公式:,1、线面之间的相互关系,机动目录上页下页返回结束,直线,2、线与线的关系,直线,垂直:,平行:,夹角公式:,机动目录上页下页返回结束,平面:,垂直：,平行：,夹角公式：,3.面与线间的关系,直线:,机动目录上页下页返回结束,实例分析,例1.求与两平面x4z=3和2xy5z=1的交线,提示:所求直线的方向向量可取为,利用点向式可得方程,平行,且过点(3,2,5)的直线方程.,机动目录上页下页返回结束,例2.求直线,在平面,上的投影直线方程.,提示：过已知直线的平面束方程,从中选择,得,这是投影平面,即,使其与已知平面垂直：,从而得投影直线方程,机动目录上页下页返回结束,例3.设一平面平行于已知直线,且垂直于已知平面,求该平面法线的,的方向余弦.,提示:,已知平面的法向量,求出已知直线的方向向量,取所求平面的法向量,机动目录上页下页返回结束,所求为,平面曲线绕坐标轴旋转而成的旋转曲面的方程,主要利用书中结论:即绕着哪个轴旋转,这个轴对应的字母不变,变化的是另一个字母;,例1,求曲线,绕z轴旋转的曲面与平面,的交线在xoy平面的投影曲线方程.,解：,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向xoy面的投影柱面方程为,此曲线在xoy面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,机动目录上页下页返回结束,例2.直线,绕z轴旋转一周,求此旋转,转曲面的方程.,提示:,在L上任取一点,旋转轨迹上任一点,则有,得旋转曲面方程,机动目录上页下页返回结束,二元函数的极限,方法:主要根据定义求极限、讨论极限；利用定义求导数；,机动目录上页下页返回结束,例1.设,求证：,证：,故,总有,要证,机动目录上页下页返回结束,例2证明不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的方法：,二元函数的连续，偏导数存在，可微及偏导数连续之间的关系,多元函数连续、可导、可微的关系,根据定义,必要条件,充分条件,反例,思考题,提示:利用,故f在(0,0)连续;,知,在点(0,0)处连续且偏导数存在,但不可微.,1.证明:,机动目录上页下页返回结束,而,所以f在点(0,0)不可微!,机动目录上页下页返回结束,多元隐函数的求导（二阶混合偏导）、多元函数的微分,隐函数的一阶求导方法：公式法;推导法;注意两者的区别;隐函数求二阶导数时,只能利用推导法;,机动目录上页下页返回结束,复合函数求导（特别是抽象函数的求导问题）,1.复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2.全微分形式不变性,不论u,v是自变量还是因变量,机动目录上页下页返回结束,思考题,思考题解答,例1.设,其中f与F分别具,解法1方程两边对x求导,得,有一阶导数或偏导数,求,机动目录上页下页返回结束,解法2,方程两边求微分,得,化简,消去即可得,机动目录上页下页返回结束,例2.设,有二阶连续偏导数,且,求,解:,机动目录上页下页返回结束,有连续的一阶偏导数,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,(2001考研）,机动目录上页下页返回结束,练习3.设,例3.设,解法1利用隐函数求导,机动目录上页下页返回结束,再对x求导,解法2利用公式,设,则,两边对x求偏导,机动目录上页下页返回结束,为简便起见,引入记号,例4.设,f具有二阶连续偏导数,求,解:令,则,机动目录上页下页返回结束,曲面的切平面方程,求曲面的切平面及法线(关键:抓住法向量),机动目录上页下页返回结束,设有光滑曲面,在其上一定点,的切平面的法向量是?,曲面在点M的法向量,法线方程,切平面方程,复习目录上页下页返回结束,曲面,时,则在点,故当函数,法线方程,令,特别,当光滑曲面的方程为显式,在点,有连续偏导数时,切平面方程,机动目录上页下页返回结束,法向量,用,将,法向量的方向余弦：,表示法向量的方向角,并假定法向量方向,分别记为,则,向上,复习目录上页下页返回结束,例1.求球面,在点(1,2,3)处的切,平面及法线方程.,解:,所以球面在点(1,2,3)处有:,切平面方程,即,法线方程,法向量,令,机动目录上页下页返回结束,方向导数与梯度问题,三元函数,在点,沿方向l(方向角,的方向导数为,二元函数,在点,的方向导数为,沿方向l(方向角为,机动目录上页下页返回结束,2.梯度,三元函数,在点,处的梯度为,二元函数,在点,处的梯度为,3.关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,机动目录上页下页返回结束,指向B(3,2,2)方向的方向导数是.,在点A(1,0,1)处沿点A,1.函数,提示:,则,(考研),机动目录上页下页返回结束,2.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意x,y,z具有轮换对称性,(考研),机动目录上页下页返回结束,解,令,故,方向余弦为,故,多元函数的条件极值问题,例1.在第一卦限作椭球面,的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小,并求切点.,解:设,切点为,则切平面的法向量为,即,切平面方程,机动目录上页下页返回结束,问题归结为求,在条件,下的条件极值问题.,设拉格朗日函数,机动目录上页下页返回结束,切平面在三坐标轴上的截距为,令,由实际意义可知,为所求切点.,机动目录上页下页返回结束,唯一驻点,例2.,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,机动目录上页下页返回结束,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在,故,机动目录上页下页返回结束,二重积分的计算，对称性的应用，及积分次序的交换,交换积分次序（X型、Y型、极坐标）选择或填空题目,大题里也可能有,需要先交换次序然后在计算积分二重积分计算（直角坐标和极坐标）奇偶对称性的运用,机动目录上页下页返回结束,计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(先积一条线,后扫积分域),充分利用对称性,应用换元公式,机动目录上页下页返回结束,作题注意事项,确定积分次序是选定坐标系后紧接要认真考虑的问题，总的原则还是兼顾积分区域和被积函数特征全面考虑，一般应避免分区积分和对某个变量不可先积分的情形出现。坐标变换后区域的对应主要由它们边界的对应所确定。若二次积分限是常数，则可直接交换积分次序，积分限不变。,总结规律,选择适当的坐标系，是二重积分中应当首先考虑的重要问题。一般来说，应根据积分区域和被积函数的特征来综合考虑：（1）当区域D为中心在原点的圆形、扇形或圆环形等；被积函数为x2+y2的函数时选用极坐标系；（2）当区域为矩形、三角形等直线形区域时选用直角坐标系。,例1.,如图所示,交换下列二次积分的顺序:,解:,机动目录上页下页返回结束,例2.计算二重积分,其中D为圆周,所围成的闭区域.,提示:利用极坐标,原式,机动目录上页下页返回结束,例3,解,先去掉绝对值符号，如图,例4.计算二重积分,其中:,(1)D为圆域,(2)D由直线,解:(1)利用对称性.,围成.,机动目录上页下页返回结束,(2)积分域如图:,将D分为,添加辅助线,利用对称性,得,机动目录上页下页返回结束,利用三重积分计算立体体积,三重积分的”先二后一”计算方法,被积函数为1的三重积分几何上表示立体的体积方法:投影法(先单后重),例1,解,例2.计算三重积分,其中是由,xoy平面上曲线,所围成的闭区域.,提示:利用柱坐标,原式,绕x轴旋转而成的曲面与平面,机动目录上页下页返回结束,例3.,解:在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,机动目录上页下页返回结束,曲线积分、格林公式,曲线积分,第一类(对弧长),第二类(对坐标),(1)统一积分变量,定积分,用参数方程,用直角坐标方程,用极坐标方程,(2)确定积分上下限,第一类:下小上大,第二类:下始上终,机动目录上页下页返回结束,(1)利用对称性简化计算;,(2)利用积分与路径无关的等价条件;,(3)利用格林公式(注意加辅助线的技巧);,(4)利用两类曲线积分的联系公式.,基本技巧,机动目录上页下页返回结束,例1.计算,其中L是沿逆,时针方向以原点为中心,解法1令,则,这说明积分与路径无关,故,a为半径的上半圆周.,机动目录上页下页返回结束,解法2,它与L所围区域为D,(利用格林公式),思考:,(2)若L同例2,如何计算下述积分:,(1)若L改为顺时针方向,如何计算下述积分:,则,添加辅助线段,机动目录上页下页返回结束,思考题解答:,(1),(2),机动目录上页下页返回结束,曲面积分、高斯公式,曲面积分,第一类(对面积),第二类(对坐标),二重积分,(1)统一积分变量代入曲面方程,(2)积分元素投影,第一类:始终非负,第二类:有向投影,(3)确定二重积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,机动目录上页下页返回结束,基本技巧,(1)利用对称性简化计算,(2)利用高斯公式,注意公式使用条件,添加辅助面的技巧,(辅助面一般取平行坐标面的平面),(3)两类曲面积分的转化,机动目录上页下页返回结束,例1.设是曲面,解:取足够小的正数,作曲面,取下侧,使其包在内,为xoy平面上夹于,之间的部分,且取下侧,取上侧,计算,则,机动目录上页下页返回结束,第二项添加辅助面,再用高斯公式计算,得,机动目录上页下页返回结束,例2.,证明:设,(常向量),则,单位外法向向量,试证,机动目录上页下页返回结束,例3.计算曲面积分,其中,解:,思考:本题改为椭球面,时,应如何,计算?,提示:,在椭球面内作辅助小球面,内侧,然后用高斯公式.,机动目录上页下页返回结束,数项级数收敛性的判别，幂级数的收敛区间、收敛半径，幂级数求和函数、傅立叶级数的收敛定理,判别是针对选择题，绝对收敛与条件收敛；收敛区间、收敛半径是针对填空题；幂级数求和函数是针对大题中的计算题；傅立叶级数的收敛定理使用一般是最后一道大题，计算时验证是否满足条件，满足后才进行展开（注意收敛点和非收敛点的不同）,机动目录上页下页返回结束,数项级数的审敛法,1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2.正项级数审敛法,必要条件,发散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收敛,发散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动目录上页下页返回结束,任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz判别法:若,且,则交错级数,收敛,概念:,且余项,机动目录上页下页返回结束,求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数:先求收敛半径R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性.,求下列级数的敛散区间:,练习:,机动目录上页下页返回结束,解:,当,因此级数在端点发散,时,时原级数收敛.,故收敛区间为,机动目录上页下页返回结束,解:因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,机动目录上页下页返回结束,例1.,解:分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在,原级数=,其收敛半径,注意:,机动目录上页下页返回结束,求部分和式极限,幂级数和函数的求法,求和,映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和:直接变换,间接求和:转化成幂级数求和,再代值,求部分和等,初等变换法:分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数求和,机动目录上页下页返回结束,例2.求幂级数,法1易求出级数的收敛域为,机动目录上页下页返回结束,练习:,解:(1),显然x=0时上式也正确,故和函数为,而在,x0,求下列幂级数的和函数：,级数发散,机动目录上页下页返回结束,(4),机动目录上页下页返回结束,显然