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初中圆的知识拓展提高整理人：孙亮鑫 2017.12.17一、基础知识回顾圆 定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 （2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360，留下的轨迹叫圆。 圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心 （2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。 （3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。 （4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。 注：圆心一般用字母O表示 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母表示。计算时，通常取它的近似值，3.14。 直径所对的圆周角是直角。90的圆周角所对的弦是直径。 圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。r2，用字母S表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 周长计算公式 1.、已知直径：C=d 2、已知半径：C=2r 3、已知周长：D=c 4、圆周长的一半:12周长(曲线) 5、半圆的长：12周长+直径 面积计算公式： 1、 已知半径：S=r平方 2、已知直径：S=（d2）平方 3、已知周长：S=(c2)平方 点、直线、圆和圆的位置关系 1. 点和圆的位置关系 点在圆内点到圆心的距离小于半径 点在圆上点到圆心的距离等于半径 点在圆外点到圆心的距离大于半径 2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。3. 外接圆和外心经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。4. 直线和圆的位置关系相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。 5. 直线和圆位置关系的性质和判定如果O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么 直线和O相交； 直线和O相切； 直线和O相离。圆和圆定义：两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切。两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。原理：圆心距和半径的数量关系：两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r两圆相交 R-rdr) 两圆内切 d=R-r(Rr)两圆内含 dr)3 正多边形和圆 1、 正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。(2)这个圆是这个正多边形的外接圆。3、正多边形的有关概念：(1)正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心。(2)正多边形的半径正多边形的外接圆的半径。(3)正多边形的边心距正多边形中心到正多边形各边的距离。(4)正多边形的中心角正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。4、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆。(2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。(3)边数相同的正多边形相似。4 弧长和扇形面积 知识点1、弧长公式因为360的圆心角所对的弧长就是圆周长C2R，所以1的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n的圆心角所对的弧长l的计算公式：，说明：（1）在弧长公式中，n表示1的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R10，计算20的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。（2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。知识点2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1的扇形面积是，由此得圆心角为n的扇形面积的计算公式是。又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。知识点3、弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。（2）弓形的周长弦长弧长（3）弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。2、 题目分析难题透视例1如图7-1，在中，弦平行于弦，若，则_度【考点要求】本题主要考查圆中圆心角与圆周角之间的关系【思路点拔】B=AOC，B=40ADBCB =40【答案】填：40【方法点拨】本题部分学生不能很快发现所求角与已知角之间的关系突破方法：抓住题中的所在条件，如本题中的两条弦平行，由此可将DAB转化为ABC，然后再利用圆周角与圆心的角关系求解解题关键：本题要求学生要熟悉同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，即同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，同时还要根据平行线的性质进行解题例2如图8-2，AB是的O的直径，BC、CD、DA是O的弦，且BC=CD=DA，则BCD=（ ）A1000 B1100 C1200 D1350 【考点要求】本题考查了圆中弧、弦、圆心（周）角之间的关系，以及直径所对的弧是半圆等基本知识 【思路点拔】AB是的O的直径度数是1800BC=CD=DA=BCD=1200【答案】选填C【方法点拨】本题要求学生要能比较熟悉圆中的弧、弦和圆心角之间的有关系，即同圆中相等的弦所对的弧相等，所对的圆心角也相等，同时还要知道直径是圆的一条特殊的弦，其所对的圆心角等于180，以及圆心角与圆周角之间的关系，综合运用这些知识，容易理解要求某个圆周角，只需求得其所对的弧的度数例3已知：AB和CD为O的两条平行弦，O的半径为5cm，AB=8cm，CD=6cm，求AB、CD间的距离是 【考点要求】本题考查圆中弦、弦心距等与弦有关的计算问题【思路点拔】由于圆内的的两条弦均小于圆的直径，因此可确定出圆中的两条平行弦的位置关系有两种：一是位于圆心的同侧；二是位于圆心的异侧如图8-3：过O作EFAB，分别交AB、CD于E、F，则AE=4，CF=3，由勾股定理可求出OE=3，OF=4故当AB、CD在圆心异侧时，距离为7，在圆心同侧时，距离为1【答案】填：7或1【方法点拨】本题难点有两个：一是有不少学生容易只考虑其中的一种情形，而忽视另一情形；二是辅助线的添加突破方法：一般几何填空题中，如果不配图，在自己作图时，应全面考虑各种可能情况圆中与弦有关的计算或证明问题，往往需要连结半径和弦心距，以构造直角三角形，从而应用勾股定理进行计算例4用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，如图7-5图是水平放置的破裂管道有水部分的截面（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径【考点要求】本题考查圆内心的确定，及与弦有关计算问题，同时考查学生动手操作图形的能力和利用基本知识解决简单问题的能力【思路点拔】（1）正确作出图形，如图7-6并做答 （2）过O作OCAB于D ，交弧AB于C，OCAB ， BDAB168cm由题意可知，CD4cm 设半径为x cm，则OD（x4）cm在RtBOD 中，由勾股定理得：OD2BD2OB2， ( x4)282x2 x10【答案】这个圆形截面的半径为10cm 【方法点拨】这是一道作图与解答相结合的中考题，部分学生不会补全整个圆面或者补全之后不知如何进行计算突破方法：补全圆面的关键在于确定圆心，然后再利用勾股定理进行计算解题关键：确定圆心时，主要根据圆的定义，取弧上的两条弦，作出两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，然后连结半径构造直角三角形例6如图7-9，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交O与点F（1）AB与AC的大小有什么关系?为什么?（2）按角的大小分类， 请你判断ABC属于哪一类三角形，并说明理由【考点要求】本题考查与圆有关的性质在三角中的应用【思路点拔】（1）（方法1）连接DO ，OD是ABC的中位线， DOCA，ODBC，ODBO ，OBDODB，OBDACB，ABAC（方法2）连接AD， AB是O的直径，ADBC， BDCD，ABAC （方法3）连接DOOD是ABC的中位线，OD=AC ，OB=OD=AB，AB=AC（2） 连接AD，AB是O的直径，ADB90 BACB90CACB90B、C为锐角AC和O交于点F，连接BF， ABFC90ABC为锐角三角形【答案】（1）ABAC；（2）ABC为锐角三角形【方法点拨】部分学生第（1）题会做出判断，但不知如何证明，而第（2）题又容易将问题结果简单、特殊化，易错误的判断为等边三角形突破方法：判断或证明线段的大小关系时，一般结论是相等，在同一个三角形中可根据等角对等边证明，如果在两个三角形中，往往会根据三角形全等证明，同时还要看清题目要求，如本题就是要求按角的大小分类进行判断，而不是边的大小关系解题关键：证明同一个三角形中的两边相等，一般根据等角对等边进行证明难点突破方法总结在求解有关圆的中考试题，尤其是难题时，应尽量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把题目由繁化简，变难为易归纳下来，有这样几个方面值得考生们注意：1.掌握解题的关键点（1）有直径，常作其所对的圆周角；（2）有切线，常将切点与圆心连结起来；（3）有关弦的问题，常需作弦心距联系垂径定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究两圆位置关系时，常作公切线和连心线；（5）有关切线的判定问题，根据题目条件，主要是两条思路，连半径证明垂直，或者是作垂直证明半径2.重视基本定理与基本图形相结合，计算与推理相结合，灵活运用各种方法3.重视数学思想方法的应用运用分析法、演绎法、截补法，结合方程思想、分类讨论思想、数形结合思想解有关圆的应用题，探索开放性题和方案设计拓展演练一、选择题1已知O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm，点A与O的位置关系时（ ）A点A在O内 B点A在O 上 C点A在O 外 D不能确定2已知O1与O2的半径分别为3cm和4cm，圆心距=10cm，那么O1与O2的位置关系是（ ）A内切 B相交 C外切 D外离3下列语句中正确的有（ ）相等的圆心角所对的弧相等 平分弦的直径垂直于弦 长度相等的两条弧是等弧 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴A1个 B2个 C3个 D4个 4已知圆的半径为65cm，如果一条直线和圆心的距离为9cm，那么这条直线和这个圆的位置关系是（ ）A相交 B相切 C 相离 D相交或相离5AB是O的直径，点DE是半圆的三等分点，AEBD 的 延长线交于点C，若CE=2，则图中阴影部分的面积是（ ）A BC D二、填空题6直角三角形的两条边长分别为6和8，那么这个三角形的外接圆半径等于 7如图，已知AB是O的直径，CD是弦，且CDAB，BC=6，AC=8，则sinABD的值是 8用48m长的竹篱笆在空地上，围成一个绿化场地，现有两种设计方 案，一种是围成正方形场地；另一种是围成圆形场地现请你选择，围成 （圆形正方形两者选一）场地的面积较大10某落地钟钟摆的摆长为05m，来回摆动的最大夹角为20，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为am，最大高度为bm，则 m（不取近似值）11如图，圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为 12“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图8，CD为O的直径，弦ABCD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”根据题意可得CD的长为 三、解答题13如图，在ABC中，C=900，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若O的圆心在线段BP上，且O与ABAC都相切，求O的半径16如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G（1）求证：点F是BD中点；（2）求证：CG是O的切线；（3）若FB=FE=2，求O的半径习题答案专题七圆1.【答案】A 点拨：根据圆的定义及点和圆的位置关系进行分析2.【答案】D 点拨：根据圆与圆的位置关系进行判断3.【答案】A 点拨：这是一道概念辨析题，正确理解等弧的概念是解此类题目的关键等弧只能在同圆中，长度相等或度数相等的两条弧都不能判断是等弧，因此 都是错误的，圆内任意两条直径都互相平分，但不一定垂直，故不正确 4.【答案】C 点拨：根据已知条件圆心到直线的距离为9cm，大于圆的半径6.5cm，所以直线与圆相离5.【答案】A 点拨：， A=ABC=600，ABC是等边三角形，又 AB是O的直径，AEB=900 ，即 BEAE，AC=2CE=4=AB， S阴=S扇形OBE SABE=6.【答案】5 点拨：直角三角形外接圆的圆心在斜边的中点上，且半径等于斜边的一半7.【答案】 由已知已知AB是O的直径，得ACB=90O，AB垂直平分CD，BCD为等腰三角形，ABD=ABC，sinABD=sinABC=8.【答案】圆 点拨：用同样长度的材料，圆形场地的面积较大10.【答案】 点拨：根据垂径定理计算11.【答案】216o （cm），C=2r=12，n=12.【答案】26 点拨：由垂径定理可知，CD平分弦AB，所以，设O的半径为R，连结OA，在RtAOE中，所以，解之，得R=13，所以CD=2R=2613.【答案】解：由题意，BC=6， 过O分别作ODAB，OEOE，则DE分别是ABAC与O相切的切点，则AD=AE，OD=OE，EP=OE，设OE=x，则BD=AB-AD=AB-AE=10-(2+x)=8-x，OB=BP-OP=， (8-x)2+x2=2(6-x)2 ，x=1，O的半径为116.【答案】解：（1）CHAB，DBAB，AEHAFB，ACEADF ，HEEC，BFFD （2）方法一：连接CBOC，AB是直径， ACB90，F是BD中点，BCF=CBF=90CBA=CAB=ACO，OCF=90，CG是O的切线方法二：可证明OCFOBF （3）解：由FC=FB=FE得：FCE=FEC，可证得：FAFG，且ABBG，由切割线定理得：2FG2BGAG=2BG2 在RtBGF中，由勾股定理得：BG2FG2BF2由、得：FG24FG12=0，解之得：FG16，FG22（舍去）ABBG，O半径为2三 巩固练习1下列命题中，正确命题的个数为（ ）.平分弦的直径垂直于弦；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；的圆周角所对的弦是直；圆周角相等，则它们所对的弧相等A1个 B2个 C 3个 D 4个2如图，ABC内接于O，AC是O的直径，ACB500，点D是弧BAC上一点，则D的度数_.3如图，AB是O的弦，半径OA2，则弦AB的长是（ ） A B C D4如图所示，AB是直径，弦于点，且交于点，若（1）判断直线和的位置关系，并给出证明；（2）当时，求的长5已知和的半径分别是一元二次方程的两根，且则和的位置关系