单位圆与正余弦函数的定义.doc

_1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数1.4.2 单位圆与周期性主备人：刘红岩一、 教学目标1、 理解利用单位圆定义的正弦函数、余弦函数的概念2、 通过借助单位圆讨论正弦函数、余弦函数的过程，感悟数形结合思想方法是学习数学的重要思想方法之一二、 教学重、难点1、 正、余弦函数的定义及正、余函数值的符号；会利用单位圆求三角函数值；2、 利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法三、情感态度与价值观1、由锐角的正、余弦函数推广到任意角的正、余弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；2、通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。 四、教学过程尝试回忆1、1弧度的角；2、角度制与弧度制的互化；3、弧长公式及扇形面积公式；4、用弧度制表示第一象限内的角的集合和x轴上的角的集合。2、特别注意：角度与弧度不要混用。如，应写成或3、初中所学的锐角的正、余弦函数是如何定义的？ 由锐角三角函数推广到任意角的三角函数，由直角中的边之比定义，推广到直角坐标系中的坐标定义。问题引入如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发（如图1所示），则（1）过了30秒后，你离地面的高度为多少？（2）过了45秒呢？过了t秒呢？【设计意图】从学生感兴趣的实际问题出发，发现问题，解决问题。探究新知1、单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆，称为单位圆。单位长：可以是1cm、1m、1km、1光年等。单位圆可根据需要移到其它地方。2、任意角的正、余弦函数定义在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角，使角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)，则交点P的纵坐标v叫作角的正弦函数，记作v=sin; 点P的横坐标u叫作角的余弦函数,记作u=cos. 通常，用x表示自变量，用x表示角的大小，用y表示函数值，因此定义任意角的三角函数y=sinx和y=cosx,定义域为R，值域为-1，1。【设计意图】升华概念，加深对概念的理解。3、 三角函数值的符号思考：以小组为单位讨论当角的终边分别在第一、第二、第三、第四象限时，角的正弦函数值、余弦函数值的正、负号，幷将讨论的结果填入下表： 象限 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 【设计意图】使学生掌握根据定义，三角函数值的符号仅与点P的纵、横坐标的符号有关。sin在一、二象限为正，三、四象限为负；cos在一、四象限为正，二、三象限为负.轴线角的正余弦函数值也有符号。练习1、求 的正弦函数值和余弦函数值.【设计意图】通过例1和练习1，使学生加深对三角函数概念的理解。总结提升：若角的终边经过点P(x，y),则角的正弦函数值、余弦函数值分别为： 【设计意图】加深认识：已经角终边的一个点P ，利用三角函数的定义求其三角函数，需要确定三个量：角的终边上点P的横坐标x、纵坐标y、点P到原点的距离r.例2：已知角的终边经过点P0(-3,-4),求角的正弦函数值、余弦函数值.练习2: 已知角的终边经过点P(-1,2)，求角的正弦函数值、余弦函数值.变式1：已知角的终边过点P(3a,4a)(a 0)，求sin 的值变式2：已知角的终边落在直线y-2x上，求cos 的值【设计意图】通过例2和练习使学生掌握一下方法：1已知角的终边在直线上，求的三角函数值，常用的解题方法有以下两种:(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值(2)注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sin ，余弦值cos .2当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论例3：确定下列各式的符号(1) cos 250；(2)sin(/4)练习3：判断下面各式的符号：sin 2cos3【思路探究】由角的终边所在象限分别判断三角函数值的符号；进一步确定各式符号【设计意图】使学生掌握一下规律：1判断三角函数值的符号关键是看角的终边所在的象限位置，若角的终边位置难以判断应先利用2k(kZ)进行转化2判断三角函数值的符号的步骤：(1)先观察角所在终边所在象限；(2)判断角各个三角函数值的符号；(3)给出最后的结论高考链接：（2011江西，14） 已知角 的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角终边上一点， 且 则y = .【设计意图】通过高考真题，让学生了解本节课在高考中的考察方向，把握重点。五、归纳整理，整体认识（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？（2）在本节课的学习过程中，还