北京理工大学2005-2009级数学专业最优化方法期末试题A卷(07000203,MTH17085).doc

课程编号: 07000203 北京理工大学2007-2008学年第二学期2005级数学专业最优化方法终考试卷（A卷）1(20分)某化工厂有三种资源A、B、C，生产三种产品甲、乙、丙，设甲、乙、丙的产量分别为x1,x2,x3,其数学模型为：请回答如下问题：（1）给出最优生产方案；（2）假定市场信息表明甲产品利润已上升了一倍，问生产方案应否调整？（3）假定增加一种添加剂可显著提高产品质量，该添加剂的资源限制约束为：问最优解有何变化？2(12分)用Newton法求解，初始点取为，迭代一步。3(10分)用FR共轭梯度法求解三个变量的函数的极小值，第一次迭代的搜索方向为，沿做精确线搜索，得， 设，求从出发的搜索方向。4(15分) 给定下面的BFGS拟Newton矩阵修正公式：，其中用对应的拟Newton法求解：，初始点取为，。5(15分)写出问题取得最优解的Kuhn-Tucker（KT）必要条件，并通过KT条件求出问题KT点及相应Lagrange乘子。6(12分)求约束问题在及处的下降方向集合、可行方向集合以及可行下降方向集合，并画图表示出来7（8分）考察优化问题，设为凸集，为上凸函数，证明：在上取得极小值的那些点构成的集合是凸集。8（8分）设，其中为对称正定矩阵，为的极小值点，又设可表示为，其中，是对应于特征值的特征向量，证明：若从出发，沿最速下降方向做精确一维搜索，则一步达到极小值点。课程编号:07000203 北京理工大学2008-2009学年第一学期2006级数学专业最优化方法终考试卷（A卷）1(15分) 用单纯形法求解线性规划问题2(10分)写出线性规划问题的对偶问题并证明该对偶问题没有可行解。3(15分)考虑用最速下降法迭代一步， 初始点取为。（1）采用精确一维搜索；（2）采用Wolfe条件进行不精确一维搜索，其中。4(15分)用DFP拟牛顿法求解 初始点取为，初始矩阵。5(15分)证明集合是凸集，并计算原点到集合的最短距离。6(15分) 考虑问题（1）用数学表达式写出在点 处的下降可行方向集。（2）假设当前点在处，求出用投影梯度法进行迭代时当前的下降可行方向（搜索方向）。7（7分）证明：在精确一维搜索条件下，共轭梯度法得到的搜索方向是下降方向。8（8分）已知线性不等式组其中，给出一种判断该不等式组是否相容（即是否有解）的方法并说明理由。课程编号:07000203 北京理工大学2009-2010学年第一学期2007级数学专业最优化方法终考试卷（A卷）1（8分）将优化问题化为标准形式的线性规划问题。2(10分) 给出一个判断任一线性不等式组是否相容（即是否有解）的一般条件，并利用其判断以下不等式组是否相容。3(12分)对于下面的线性规划（1）利用对偶单纯形法求解；（2）写出其对偶线性规划问题并利用对偶理论求出对偶问题的最优解。4(10分)考虑用最速下降法迭代一步，初始点为。5(15分)用FR共轭梯度法求解 初始点取为。6(10分) 考虑问题写出问题取得最优解的Kuhn-Tucker（KT）必要条件，并通过KT条件求出问题KT点及相应Lagrange乘子。7(15分) 用简约梯度法求解问题，初始点取为。8（10分）基于单纯形算法，试给出一个判定线性规划问题具有唯一最优解的条件，并且举例说明之。9(10分)考虑优化问题，设为问题可行域中任一点，在处前个约束为有效约束，记为，其中为行满秩矩阵，令，证明：（1）为投影阵。（2）若，则为问题的下降可行方向。课程编号:07000203 北京理工大学2010-2011学年第一学期2008级数学专业最优化方法终考试卷（A卷）1(15分)求解线性规划2(12分)给定一个线性规划问题（1）写出其对偶规划。（2）假设已知该对偶规划的最优解为，试求出原始问题的最优解。3(15分)给定Rosenbrock函数(1) 求出的驻点，并判断驻点的最优性。(2) 求出在点处的最速下降方向4(20分)无约束优化问题阻尼Newton法迭代公式为，拟Newton法的思想可以是构造一个对称正定阵近似替代，则搜索方向由求出。初始，由修正得到，要满足拟Newton方程，其中,。假定正定阵是秩2修正的，即，试推导出的一种取法满足拟Newton方程，并用相应拟Newton法计算初始点取为。5(12分) 考虑问题写出问题取得最优解的Kuhn-Tucker（KT）必要条件，并通过KT条件求出问题KT点及相应Lagrange乘子。6(8分) 利用投影矩阵求出向量在超平面上的投影向量。7(10分)利用简约梯度法求解以下问题，初始点取为，迭代一步。8（8分）证明：在拟牛顿法中，若矩阵正定，则拟牛顿法得到的搜索方向（非零向量）是下降方向。课程编号: MTH17085 北京理工大学2010-2011学年第二学期2009级数学专业最优化方法终考试卷（A卷）1(15分)求解线性规划不用重新计算，给出发生下列变化后新的最优解。（1）。（2）增加一个新约束。2(18分)给定极小化问题初始点取为 。(1)针对初始点处的负梯度方向求出满足不精确一维搜索Wolfe条件的步长区间，其中。 (2) 用PRP共轭梯度法求解上述问题。3(15分) 试推导无约束优化问题拟Newton法对称秩1公式，即，给出的取法满足拟Newton方程，其中,。并用相应拟Newton法计算初始点取为。4(10分) 用外罚函数法求解5(12分)利用广义简约梯度法求解问题。初始点取为，迭代一步。6（8分）设为凸集上的凸函数，为实数，证明水平集为凸集。7(10分)若原