北京理工大学2011微积分A期末试题答案.pdf

1 20112011 级微积分级微积分 A A第一学期期末试题第一学期期末试题 参考答案及评分标准（参考答案及评分标准（A A 卷）卷） 20122012 年年 1 1 月月 1313 日日 一、一、 填空（每小题填空（每小题 4 4 分，共分，共 2020 分）分） 1. ;, 2 1 2 e 2. ; 1 sec)(tan, 12 2 2 2 dx x x xxfdy x x dx dy = + = 3. ; 3 , 1 4. ; 0,)1ln( 2 1 arctan 21 2 =+ +=yyCxCxxxy 5. . 4 , 2=ba 二、(8 分)令令tdtdxtxtx2, 1,1 2 =+ 2 2 分分 原式= + + +x dx x xdxx 11sin1 cossin 4 + + + = t tdt x xd 1 2 sin1 sin 2 1 4 2 4 4 分分 Cttx+=|1 |ln22)arctan(sin 2 1 2 6 6 分分 Cxxx+=)11ln(212)arctan(sin 2 1 2 8 8 分分 （注：两个积分各（注：两个积分各 4 4 分）分） 三、 （三、 （8 8 分）分）. ) 1( )1 (2 , ) 1( 1 5 2 2 2 2 + = = t t dx yd tdx dy .4.4 分分 2, 10 2 2 = dx yd dx dy t时。有当 . .6 6 分分 2 曲率：曲率：. 2 2 )1 ( | 2 3 2 = + = y y k . .8 8 分分 四、 （8 分） 证明：dtdxtbax=+=,做定积分换元，令 )()()( +=+= b a a b b a dttbafbdttbafdxxf += b a dxxbaf)( 4 4 分分 对 3 , 6 =ba用前一部分结果，有 = 3 6 2 3 6 2 )2( sin )2( cos dx xx x dx xx x 6 6 分分 += = 3 6 3 6 2 21 2 1 )2( 1 2 1 dx xx dx xx 2ln 1 2 ln 2 1 3 6 = = x x 8 8 分分 五、(8 分) 特征方程：02 2 =+ rr 特征根：1, 2 21 =rr 对应齐次方程通解为： xx eCeCxY 2 2 1 )(+= .2.2 分分 设非齐次方程) 1 (2 2x eyyy =+ 的特解为： x Axey 2* 1 = 代入方程(1)，得, 3 1 =A x xey 2* 1 3 1 = .4.4 分分 设非齐次方程)2(cos2xyyy=+ 的特解为： xCxBysincos * 2 += 代入方程(2)，得 10 1 , 10 3 =CB xxysin 10 1 cos 10 3 * 2 +=.6.6 分分 由解的叠加原理知原非齐次方程的通解为： 3 .sin 10 1 cos 10 3 3 1 )( 2 2 2 1 xxxeeCeCxy xxx += .8.8 分分 六、(8 分) 满足微分方程：时，当)(0, 0)0(xfxf= xxf x xf6)( 3 )(=，一阶线性非齐次方程。 += 6)( 33 Cdxxeexf dx x dx x 323 6) 6 (CxxC x x+=+= 2 2 分分 += 1 0 232 )6(dxCxxV ) 7 2 5 36 ( 2 C C += 4 4 分分 ) 7 2 2( C dC dV +=，令7, 0=C dC dV 得唯一驻点 又因为0 7 2 2 2 = dC Vd ，所以当7=C时，旋转体的体积最小，此时 32 76)(xxxf=，平面图形 D 的面积为： 6 6 分分 . 1372 521 |76| 1 0 32 =dxxxS 8 8 分分 y 七、(8 分)建立如图所示坐标系 圆方程为:1)2( 22 =+yx 2 2 分分 选x为积分变量，3 , 1 x 考虑典型小区间,dxxx+， x 则压力微元为：dxxxdxyxdp 2 )2(12|2= 4 4 分分 = 3 1 2 )2(12dxxxp tdtdxtxtxcos,sin2,sin2=+=令 4 += 2 2 2 cos)sin2(2tdtt 6 6 分分 .2cos8 2 0 2 = tdt 8 8 分分 （注：本题也可取圆心为坐标原点建立坐标系 += 1 1 2 1)2(2dxxxp.2=） 八、(8 分) 设设理的条件，有上满足拉格朗日中值定在则,)(,ln)( 2 baxfxxf= )()(lnln 22 baabfab= 2 2 分分 而而 x x xf ln2 )(=，所以，所以)()( ln2 lnln 22 baabab =证毕证毕 8 8 分分 （注：本题也可以构造辅助函数（注：本题也可以构造辅助函数)( 4 lnln)( 2 22 ax e axxf=，然后利用，然后利用 单调性进行证明）单调性进行证明） 九、 （九、 （8 8 分）由题意知：分）由题意知： = + 0 2 0 22 )( 2 1 2)()(dd.2.2 分分 求导，得两边对 222 += 1 2 = 4 4 分分 5 分离变量：分离变量：= d d 1 2 C+= 1 arcsin，由，由得, 1)0(= 2 =C 6 6 分分 即即= = cos) 2 sin( 1 ，即，即1cos= 即曲线的方程为：即曲线的方程为：1=x 8 8 分分 十、 （十、 （8 8 分）方程两边对分）方程两边对 x x 求导，得求导，得 , 03333 22 =+yxyyyx （1 1） 2 2 yx yx y = 4 4 分分 令令 2 , 0 xyy=得, ,再代入原方程，得驻点：再代入原方程，得驻点： 3 2=x 此时，此时， 3 4=y， （， （1 1）式两端再求导，得）式两端再求导，得 6 6 分分 022 22 = +yxyyyyyyx 2 2 222 yx yyyx y = ，0 162 22 33 3 4 2 3 3 = = = y xy ：取得极大值，极大值为时yx 3 2= 3 4=y 8 8 分分 十一、(8 分) 构造辅助函数： = x dttftxxF 0 )()()(， .2.2 分分 则= 1 0 )()1 () 1 (, 0)0(dttftFF 1 0 )( dttf0)( 1 0 = dtttf ),1 ()0() 1 , 0( 1 , 0)(FFxF=内可导，且上连续，在在 由 罗 尔 定 理 ， 有 ) 1 , 0(