复变函数与积分变换第二章

第二章复变函数的积分,2.1复变函数的积分,2.2Cauchy积分定理,2.3Cauchy积分公式,2.4解析函数的原函数,主要内容,本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质.重点是Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、Cauchy(高阶)导数公式.,2.1复变函数的积分,1积分的概念,2积分存在条件及性质,3积分的计算,2.1.1积分的概念,定义2.1设C是复平面上以z0为起点,Z为终,在C上依次取分点,把曲线C分割为n个小段.,(如图),一点,做和数,其中，,令,如果分点的个数无限增多，并且极限,存在,则称该极限值为函数在曲线C上的积分,如果C是闭曲线，经常记作,为实值函数，那么这个积分就是定积分.,2.1.2积分存在的条件及积分性质,定理2.1设C是分段光滑(或可求长)的有向,存在，并且,从形式上可以看成,定理2.2设光滑曲线,复变函数的积分具有如下一些性质.,(4)设C1的终点是C2的起点,C=C1+C2,则,(k是复常数);,估值不等式,事实上,(5)设曲线C的长度为L,函数f(z)在C上满足,则,例2.1设C是复平面上以z0为起点,z为终,点的分段光滑(或可求长)曲线，则,解根据积分的定义,2.1.3积分的计算,解,积分路径的参数方程为,其中C是圆周:,的正向.,重要结论：积分值与圆周的中心、半径无关.,解,(1)积分路径的参数方程为,y=x,(1)从原点到1+i的直线段；,(2)抛物线y=x2上从原点到1+i的弧段；,(3)从原点沿x轴到1,再从1到1+i的折线.,(2)积分路径的参数方程为,(3)积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,都是从相同的起点到相同的终点,沿着三条不,相同的路径进行,但是积分值不同,积分值相同.是否可以讨论积分与积分,路径的关系?,注意2一般不能将函数f(z)在以a为起点,以b,为终点的曲线C上的积分记成因为,积分值可能与积分路径有关,所以记,2.2Cauchy积分定理,1Cauchy积分定理,2复合闭路定理,3典型例题,首先给出推广的,2.2.1Cauchy积分定理,则对任何D内的可求长Jordan曲线C,都有,其中G是C围成的区域，C取正向.,定理2.3(Cauchy积分定理)设f(z)是单连,说明:该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立的,它是复变函数理论的基础.,通区域D上的解析函数，则对D内的任何可求,长Jordan曲线C,都有,证明根据,由改进的Green公式,因为f(z)解析,所以u(x,y)和v(x,y)在D内可微,且,注意2若曲线C是区域D的边界,函,注意1定理中的C可以不是简单曲线.,函数f(z)在D内解析,在闭区域上连,续,则,注意3定理中D是单连通区域的假设不可缺少.,解因为函数,例2.4计算积分,在上解析,所以根据Cauchy积分定理,有,解,根据Cauchy积分定理得,例2.5计算积分,这里用到了,2.2.2复合闭路定理,都在C的内部,它们互不包含也互不相交,并且以,是D上的解析函数,那么,其中C和Ck(1kn)取正向.,若f(z),为边界的闭区域含于D内.,证明不妨设n=2.作两条辅助线(如图).,围成单连通区域.,f(z)在G所围的区域内解析,由,当n为其它值时，可同样证明.,在公共边界(辅助线)上,积分两次,方向,相反,积分值之和等于0.所以,2.2.3典型例题,解显然函数,在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.,在复平面有两个奇点0和1,并且G包含了这两个奇点.,在G内作两个互不包含也互不相交的正向,圆周C1和C2,使得C1只包含奇点0,C2只包含,奇点1.,根据,解显然C1和C2围成一,个圆环域.函数,在此圆环域及其边界上解析,并且圆环域的边界,构成复合闭路,所以根据,解因为z0在闭曲线G的内部,任意分段光滑的Jordan曲线,n为整数.,故可取充分小的正数r,使得圆周,含在G的内部.,可得,故,这一结果很重要.,与进行比较.,2.3Cauchy积分公式,1问题的提出,2Cauchy积分公式,3高阶导数公式,4典型例题,2.3.1问题的提出,定理知,当r充分小时,这个积分值与r的取值无关,设f(z)在单连通区域D上解析,z0是D内的,一个定点,则在z0不解析.,Jordan曲线,当r0充分小时,根据复合闭路,如果C是含z0在其内部区域的分段光滑的,所以这个积分值只与f(z)在z0附近的值有关.,因为f(z)在z0连续,故上函数f(z),的值将随着r的减小而接近,因此,随着r的减小,应该有,接近于,然而,2.3.2Cauchy积分公式,Cauchy积分公式,定理2.5设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是任意一条含z0在内部区域,的分段光滑(或可求长)Jordan曲线,则,取R0充分小,使得R0,存在d0,使得,当时,在C的内部,则,的值与R无关,所以由e的任意性,可知,根据,实际上,积分,关于Cauchy积分公式的说明:,可见,函数在C内部任一点的值可用它在边界上,（这是解析函数的一个重要特征）,(1)从Cauchy积分公式,的值通过积分来表示.,这表明了Cauchy积分公式不但提供了计算,(这是研究解析函数的有力工具),(2)如果曲线C上的点用z表示,C内部的,点用z表示,则Cauchy积分公式表示为,某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出,了解析函数的一个积分表达式.,正向圆周,解在C内部作正向圆周,根据,在C2围成的闭区域上解析,所以由,Cauchy积分公式,2.3.3高阶导数公式,如果各阶导数存在,并且导数运算可在积分号下,进行,则,由,解析函数的积分表达式为,(1)解析函数是否存在各阶导数?,(2)导数运算可否在积分号下进行?,我们有下面的Cauchy导数公式.,高阶导数公式,定理2.6设函数f(z)在单连通区域D上的解析,C是D内分段光滑(或可求长)的Jordan曲线,z0在,C的内部区域,则f(z)在z0处存在各阶导数,并且,其中C取正向.,证明首先考虑n=1的情形.因为z0在C的内部,故当|z|适当小时,z0+z也在C的内部.所以应用,于是,可知,因为f(z)在C上解析,所以在C上连续,故有界.,于是存在M0,使得|f(z)|M.又因为z0是C,内部区域内的点,所以存在R0,使,在C的内部区域.,因此当z在C上时,利用类似的方法可求得,证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.,高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.,例2.10求积分,解因为函数在复平面解析,在内,n=3,根据,例2.11求积分,解因为函数在复平面解析,在内,n=1,根据,2.3.4典型例题,例2.12计算积分,解由,例2.13设C表示正向圆周,求,于是而1+i在C内,所以,解根据,当z在C内时,例2.14计算积分其中,解(1)根据,(2)根据,(3)根据以及前面的结果,例2.15计算下列积分,其中C是正向圆周,解(1)因为函数在C内z=1处不解析,但在C内处处解析,所以根据,(2)函数在C内的处不解析.,在C内分别以i和-i为中心作正向圆周C1和C2,则函数在由,围成的区域内解析,所以由,于是,同理,解,(1)n0时,函数在上解析.,(2)n=1时,由得,由得,可得,(3)n1时,根据,2.4解析函数的原函数,1原函数的概念,2Newton-Leibniz公式,2.4.1原函数的概念,原函数之间的关系:,定义2.2设f(z)是定义在区域D上的复变函数,若存在D上的解析函数F(z)使得在D,内成立，则称F(z)是f(z)在区域D上的原函数.,如果f(z)在区域D上存在原函数F(z),则f(z)是,解析函数，因为解析函数的导函数仍是解析函数.,定理2.7设F(z)和G(z)都是f(z)在区域D上的原,函数,则(常数).,那么它就有无穷多个原函数,一般表达式为,根据以上讨论可知:,证明设F(z)和G(z)都是f(z)在区域D上的,根据可知,为常数.,原函数,于是,如果F(z)是f(z)在区域D上的一个原函数，,(其中C是任意复常数).,证明可利用,定理2.8设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0是D内的一个点,C是D内以z0为起点,z为终点的,分段光滑(或可求长)曲线,则积分,只依赖于z0与z,而与路径C无关.,Riemann方程以及曲线积分路径无关的充分必要,条件来证明.下面利用Cauchy积分定理证明.,中的Cauchy-,和,设C1与C2都是以D内以z0为起点,z为终点的,分段光滑曲线,又不妨设C1与C2都是简单曲线.,如果C1与C2除起点和,终点之外,再没有其他重点,则是Jordan曲线,根据Cauchy定理有,如果C1与C2除起点和,终点之外,还有其他重点,在D内再做一条以z0为起点,z为终点,除起点和终点之外,与C1与C2没有其他,重点的分段光滑曲线,则由已证明的情形,如果f(z)在单连通区域D内解析,则f(z)在以,z0为起点,z为终点的D内的分段光滑曲线C上积分,积分值与积分路径无关，即可记为,于是确定了D内的一个单值函数,证明因为z是D内的点,定理2.9设f(z)是单连通区域D上的解析函数,z0和z是D内的点,则,是f(z)在D上的原函数.,以z为中心作一个含于D内的,以圆周G为边界的圆域.,取|z|充分小,使得z+z在圆周G内.,注意,因为积分与积分路径无关,所以积分,可以先从z0到z,然后从z沿着直线再到z+z,即,因为函数f(z)在D内连续,所以e0,存在,d0,使得当|-z|d时,有,从而当|z|d时,利用,于是,即,与微积分学中对变上限积分求导定理相同.,2.4.2Newton-Leibniz公式,定理2.10设f(z)是单连通区域D上的解析函数,F(z)是f(z)在D上的原函数,z0和z1是D内的两点,则,证明因为也是f(z)在D上的原函数,根据,其中C为常数,易见,说明:有了上述定理,复变函数的积分就可以用,与微积分学中类似的方法去计算.,如果没有D是单连通区域的假设，那么,一般是一个多值函数.,复变函数的积分,积分存在的条件及计算,积分的性质,Cauchy积分定理,原函数的概念,复合闭路定理,Cauchy积分公式,高阶导数公式,Newton-Leibniz公式,本章内容总结,1.Cauchy积分定理,2.复合闭路定理,3.Cauchy积分公式与高阶导数公式,本章的重点,4.复变函数积分的计算,第二章完,GeorgeGreen(1793.7.14-1841.5.31),自学而成的英国数学家、物理学家.出色地将,数学方法应用到电磁理论和其他数学物理问题.,1928年出版了出版了小册子数学分析在电磁,学中的应用,其中有著名的Green公式.,40岁进入剑桥大学学习,1839年聘为剑桥大学,教授.,他的工作培育了数学物理学者的剑桥学派,其,中包括G.Stokes和C.Maxwell.,IsaacNewton,(1642.12.25-1727.3.20),伟大的英国物理学家和数学家.,1661年,进入剑桥大学三一学院学习.,大学毕业后,在1665和1666年期间,Newton做了,具有划时代意义的三项工作:微积分、万有引力,和光的分析.1687年发表自然哲学之数学原理.,1669年任剑桥大学教授,1703年当选为皇家学,会会长,1705年被英国女王授予爵士称号.他还担,任过造币厂厂长.,NatureandNatureslawslayhidinnight,Godsaid,“LetNewtonbe!”,andallwaslight.,Newton说:“我不知道世人怎样看我,我只觉得,自己好象是在海滨游戏的孩子,有时为找到一个光滑,的石子或比较美丽的贝壳而高兴,而真理的海洋仍然,在我的前面未被发现.”,我是站在巨人的肩上.,I.Newton,英国诗人A.Pope赞美Newton的:,GottfriedWilhelmLeibniz,(1646.6.21-1716.11.14),德国数学家.他还是外交家、哲,学家、法学家、历史学家、语言学,家和先驱的地质学家,他在逻辑学、力学、光学、,数学、流体静力学、气体学、航海学和计算机方,