函数概念与基本初等函数(最全).doc

考纲导读函数概念与基本初等函数（一）函数1了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域.2理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。4理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。5理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值.6会运用函数图像理解和研究函数的性质.（二）指数函数1了解指数函数模型的实际背景。2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。3理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。4知道指数函数是一类重要的函数模型。（三）对数函数1理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。2理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题.3知道对数函数是一类重要的函数模型.4了解指数函数 与对数函数互为反函数。（四）幂函数1了解幂函数的概念。2结合函数 的图像，了解它们的变化情况。（五）函数与方程1了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。2理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数.（六）函数模型及其应用1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。2了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型）的广泛应用。3能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。知识网络高考导航根据考试大纲的要求，结合历年高考的命题情况，我们可以预测集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.考试热点：考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.第1课时 函数及其表示基础过关一、映射1映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这样的对应叫做 到 的映射，记作 .2象与原象：如果f:AB是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的 叫做象， 叫做原象。二、函数1定义：设A、B是 ，f:AB是从A到B的一个映射，则映射f:AB叫做A到B的 ，记作 .2函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。3函数的表示法有 、 、 。4.复合函数：设 f(x)=2x-3 ，g(x)=x2+2 ，则称 fg(x)（或gf(x)）为复合函数。典型例题9413-32-21-1304560901-12-23-3149123123456开平方求正弦求平方乘以2 （1） （2） （3） （4）1对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有一个（或几个）元素与此相对应。2对应的形式：一对多（如）、多对一（如）、一对一（如、）3映射的概念（定义）：强调：两个“一”即“任一”、“唯一”。4注意映射是有方向性的。5符号：f ： A B 集合A到集合B的映射。例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. B. C. D. 解：C方法小结：函数的三要素： 对应法则、定义域、值域只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)变式训练1：下列函数中，与函数y=x相同的函数是 （ ）A.y= B.y=()2 C.y=lg10x D.y=解：C变式训练2：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 1 2。 3。 4 5 例2：已知：f(x)=x2-x+3 求：f() ；f(x+1)。 解：f()=()2-+3 f(x+1)=(x+1)2-(x+1)+3=x2+x+3变式训练3：已知，求小结归纳 1了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性2函数的解析式常用求法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法使用换元法时，要注意研究定义域的变化3在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示第2课时 函数的定义域和值域基础过关一、定义域：1函数的定义域就是使函数式 的集合.2常见的三种题型确定定义域： 已知函数的解析式，就是 . 复合函数f g(x)的有关定义域，就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域.实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1函数yf (x)中，与自变量x的值 的集合.2常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：观察法；配方法；反函数法；不等式法；单调性法；数形法；判别式法；有界性法；换元法（又分为 法和 法）例如： 形如y，可采用 法； y，可采用 法或 法； yaf (x)2bf (x)c，可采用 法； yx，可采用 法； yx，可采用 法； y可采用 法等.典型例题例1. 求下列函数的定义域：（1）y=; (2)y=; (3)y=.解：（1）由题意得化简得即故函数的定义域为x|x0且x-1.（2）由题意可得解得故函数的定义域为x|-x且x.（3）要使函数有意义，必须有即x1,故函数的定义域为1，+）.方法小结：求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.变式训练1：求下列函数的定义域：（1）y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;解：（1）由得所以-3x2且x1.故所求函数的定义域为（-3，1）(1,2).（2）由得函数的定义域为（3）由,得借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为例2. 设函数y=f(x)的定义域为0，1，求下列函数的定义域.（1）y=f(3x); (2)y=f();(3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a).解：（1）03x1,故0x,y=f(3x)的定义域为0, .（2）仿（1）解得定义域为1，+).（3）由条件，y的定义域是f与定义域的交集.列出不等式组故y=f的定义域为.（）由条件得讨论：当即0a时，定义域为a,1-a;当即-a0时，定义域为-a,1+a.综上所述：当0a时，定义域为a，1-a；当-a0时，定义域为-a，1+a.变式训练2：若函数f(x)的定义域是0，1，则f(x+a)f(x-a)（0a）的定义域是 （ ） A. B.a，1-a C.-a，1+a D.0，1解：B 例3 求函数的值域。解：（直接法）因为，所以，所以函数的值域为方法小结：对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。变式练习3:求函数的值域。例4：求函数，的值域。解：（配方法）因为=所以函数的值域为方法小结：配方法适用于二次函数及含有二次项的分式函数。变式练习4：求函数的值域。例5. 求的值域。解：（判别式法）由y=得(y-1)y=1时,，又R，必须=(1-y)2-4y(y-1)0.函数的值域为.方法小结：适用于分式函数（分子或分母中含有一个是二次项）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简。变式练习5：1.求函数的值域。 2.求函数的值域。例6：求函数y=x-的值域。解：方法一 （单调性法）定义域，函数y=x,y=-均在上递增，故y函数的值域为.方法二（换元法）令=t,则t0，且x=y=-（t+1）2+1（t0）,y（-，.方法小结：换元法适用于形如，令变式训练6:求函数的值域。 例7：求函数的值域。解：（有界性法）由y=得,ex=ex0,即0,解得-1y1.函数的值域为y|-1y1.例8：求函数的值域。解：(分离常数法)y=-，0,y-.故函数的值域是y|yR,且y-.方法小结：分离常数法，适用形如：变式训练8：求函数的值域。例9： 求函数值域。解：（反函数法）,分母不等于0,即所以函数的值域例10若函数f（x）=x2-x+a的定义域和值域均为1，b（b1），求a、b的值.解：f（x）=(x-1)2+a-. 其对称轴为x=1，即1，b为f（x）的单调递增区间.f（x）min=f（1）=a-=1 f（x）max=f（b）=b2-b+a=b 由解得 变式训练10：已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (xR).（1）求函数的值域为0，+)时的a的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.解： (1）函数的值域为0，+),=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0a=-1或a=.（2）对一切xR，函数值均非负,=8(2a2-a-3)0-1a,a+30,f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+(a).二次函数f(a)在上单调递减，f（a）min=f=-，f（a）max=f（-1）=4，f(a)的值域为.小结归纳1求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式，应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式，就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.第3课时 函数解析式求法典型例题例1 设是一次函数，且，求解：（待定系数法）设 ，则 方法小结：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。变式练习1： 已知f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试求出f(x)的解析式.例2 已知 ，求 的解析式解：（配凑法）， 方法小结：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。 变式练习2： 1、已知，求的解析式。2、已知，求解析式。例3 已知，求解：（换元法）令，则， 方法小结：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。变式练习1已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.2若,求的解析式.3.已知，求解析式。例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式解：（代入法）设为上任一点，且为关于点的对称点 则，解得： ，点在上 把代入得： 整理得 方法小结：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法变式训练：已知，求的解析式。五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。例5 设求解：（构造方程组法） 显然将换成，得： 解 联立的方程组，得：方法小结：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。变式训练：已知2，求解析式。例6 设为偶函数，为奇函数，又求的解析式解 为偶函数，为奇函数， 又 ，用替换得： 即 解 联立的方程组，得 ， 例7 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求的解析式。解：（赋值法）对于任意实数x、y，等式恒成立，不妨令，则有 再令 得函数解析式为：方法小结：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例8 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求 解：（递推法） ，不妨令，得：，又 分别令式中的 得： 将上述各式相加得：， 方法小结：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。第4课时 函数的单调性基础过关一、单调性1定义：如果函数yf (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1、x2时，都有 ，则称f (x)在这个区间上是增函数，而这个区间称函数的一个 ；都有 ，则称f (x)在这个区间上是减函数，而这个区间称函数的一个 .若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f(x)称为 .2判断单调性的方法：(1) 定义法，其步骤为： ； ； .(2) 导数法，若函数yf (x)在定义域内的某个区间上可导，若 ，则f (x)在这个区间上是增函数；若 ，则f (x)在这个区间上是减函数.二、单调性的有关结论1若f (x), g(x)均为增(减)函数，则f (x)g(x) 函数；2若f (x)为增(减)函数，则f (x)为 ；3互为反函数的两个函数有 的单调性；4复合函数yf g(x)是定义在M上的函数，若f (x)与g(x)的单调相同，则f g(x)为 ，若f (x), g(x)的单调性相反，则f g(x)为 .5奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 .典型例题例1. 已知函数f(x)=ax+ (a1)，证明：函数f(x)在(-1,+)上为增函数.证明 方法一 任取x1,x2(-1,+),不妨设x1x2,则x2-x10, 1且0,，又x1+10,x2+10,0,于是f(x2)-f(x1)=+0,故函数f(x)在（-1,+）上为增函数.方法二 f(x)=ax+1-(a1),求导数得=axlna+,a1,当x-1时，axlna0,0,0在（-1，+）上恒成立，则f(x)在（-1,+）上为增函数.方法三 a1,y=ax为增函数，又y=，在（-1，+）上也是增函数.y=ax+在（-1，+）上为增函数.方法小结：函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法： 任取x1，x2D，且x10).(2) 性质： ； 当为奇数时，； 当为偶数时，_ 2指数：(1) 规定： a0 (a0)； a-p ； .(2) 运算性质： (a0, r、Q) (a0, r、Q) (a0, r、Q)注：上述性质对r、R均适用.3指数函数： 定义：函数 称为指数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ；3) 当_时函数为减函数，当_时为增函数. 函数图像：1) 过点 ，图象在 ；2) 指数函数以 为渐近线(当时，图象向 无限接近轴，当时，图象向 无限接近x轴)；3)函数的图象关于 对称. 函数值的变化特征： 典型例题例1. 已知a=,b=9.求： （1） （2）.解：（1）原式=.a= =a.a=，原式=3.（2）方法一 化去负指数后解. a=a+b=方法二 利用运算性质解.a=a+b=变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）（2）解：（1）原式=（2）原式=-例2. 函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是 （ ）A.f(bx)f(cx) B.f(bx)f(cx)C.f(bx)f(cx) D.大小关系随x的不同而不同解：A变式训练2：已知实数a、b满足等式，下列五个关系式：0ba;ab0;0ab;ba0;a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解：B例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=3;（2）g(x)=-(.解：（1）依题意x2-5x+40,解得x4或x1,f（x）的定义域是（-，14，+）.令u=x（-，14，+），u0，即0，而f(x)=330=1,函数f(x)的值域是1，+）.u=,当x（-，1时，u是减函数，当x4，+）时，u是增函数.而31,由复合函数的单调性可知，f（x）=3在（-，1上是减函数，在4，+）上是增函数.故f（x）的增区间是4，+），减区间是（-，1.（2）由g(x)=-(函数的定义域为R，令t=(x (t0),g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2)2+99,等号成立的条件是t=2,即g(x)9,等号成立的条件是(=2，即x=-1，g（x）的值域是（-，9.由g(t)=-(t-2)2+9 (t0),而t=(是减函数，要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.g（t）在（0，2上递增，在2，+）上递减，由0t=(2,可得x-1,由t=(2,可得x-1.g（x）在-1，+）上递减，在（-，-1上递增，故g(x)的单调递增区间是（-，-1，单调递减区间是-1，+）.变式训练3：求下列函数的单调递增区间：（1）y=(;(2)y=2.解：（1）函数的定义域为R.令u=6+x-2x2,则y=(.二次函数u=6+x-2x2的对称轴为x=,在区间，+）上，u=6+x-2x2是减函数，又函数y=(u是减函数，函数y=(在，+）上是增函数.故y=(单调递增区间为，+）.（2）令u=x2-x-6,则y=2u,二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=,在区间，+）上u=x2-x-6是增函数.又函数y=2u为增函数，函数y=2在区间，+）上是增函数.故函数y=2的单调递增区间是，+）.例4设a0,f(x)=是R上的偶函数.（1）求a的值；（2）求证：f(x)在（0，+）上是增函数.（1）解： f（x）是R上的偶函数，f（-x）=f（x），（a-=0对一切x均成立，a-=0，而a0,a=1. （2）证明 在（0，+)上任取x1、x2，且x1x2, 则f(x1)-f(x2)= +-= ( x1x2,有x10,x20,x1+x20,1, -10.f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在（0,+）上是增函数. 变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x(0,1)时，f(x)=. （1）求f（x)在-1，1上的解析式；（2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.（1）解： 当x(-1,0)时，-x(0,1).f（x）是奇函数，f（x）=-f（-x）=-由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),得f(0)=f(1)=f(-1)=0.在区间-1，1上，有f（x）=(2)证明 当x(0,1)时，f(x)=设0x1x21,则f(x1)-f(x2)=0x1x21,0，2-10,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在（0，1）上单调递减.小结归纳1 a，abN，logaNb(其中N0，a0，a1)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.2处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.3含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.第7课时 对数函数基础过关1对数：(1) 定义：如果，那么称 为 ，记作 ，其中称为对数的底，N称为真数. 以10为底的对数称为常用对数，记作_ 以无理数为底的对数称为自然对数，记作_(2) 基本性质： 真数N为 (负数和零无对数)； ； ； 对数恒等式： (3) 运算性质： loga(MN)_； loga_； logaMn (nR). 换底公式：logaN (a0，a1，m0，m1，N0) .2对数函数： 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当_时，函数为减函数，当_时为增函数；4) 函数与函数 互为反函数. 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当时，图象向上无限接近y轴；当时，图象向下无限接近y轴)；4) 函数ylogax与 的图象关于x轴对称 函数值的变化特征： 典型例题例1 计算：（1）（2）2(lg)2+lglg5+;（3）lg-lg+lg.解：（1）方法