上海市实验学校2016学年高一第一学期开学摸底考试.doc

上海市实验学校2016学年高一第一学期开学摸底考试数学试卷 2016.08.27（完卷时间：90分钟 满分：100分）题号一二三四总分1101114151617181920得分一、填空题：（）1.若全集，则 .2. 用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，则 3.已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时， （4） （5） （6）4. 如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则关于的不等式的解是 5. 如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点处.若，则的度数为 6. 如图，中，为定长，以为直径的分别交、于点、连结, 已知下列结论：；其中一定正确的有 个. 7. 若将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的函数解析式是，则原来抛物线的函数解析式是 8.有一个六位数，它乘以后得六位数为，则此六位数为 9.若质数、满足：则的最大值为 10在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：若，则点与点的“非常距离”为；若，则点与点的“非常距离”为.例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）已知是直线上的一个动点，点的坐标是（0，1），则当点与点的“非常距离”取最小值时相应的点的坐标为 . 二、选择题：（）11. 已知集合，若，则满足条件的实数组成的集合是 （ ）、； 、； 、； 、12. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 和均为“和谐数”.那么，不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） 13. 三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ） 种 种 种 种14. 数与的图像恰有两个公共点，则实数的取值范围是 （ ） 、； 、； 、或； 、或三、解答题：（）15. 如图，点在以为直径的上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长线与交于点.证明:16. 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图中的一种）设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）（1）在图中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？（2）在图中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？（3）在图中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？ （第16题图）17. 已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值18. 阅读理解：对于任意正实数、，只有当时，等号成立结论：在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值根据上述内容，回答下列问题：若，只有当 时，有最小值 思考验证：如图1，为半圆的直径，为半圆上任意一点（与点、不重合），过点作，垂足为，试根据图形验证，并指出等号成立时的条件 探索应用：如图2，已知，为双曲线（）上的任意一点，过点作轴于点，轴于点求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状四、附加题：（）19. 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线yx 2x10与x轴的交点为A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动线段OC，PQ相交于点D，过点D作DEOA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F设动点P，Q移动的时间为(单位：秒)（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当（0，）时，PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；OABxyDQCFPE（4）当为何值时，PQF为等腰三角形？请写出解答过程20. 已知正实数满足： ,且 .(1) 求的值.(2) 证明:.上海市实验学校2016学年高一第一学期开学摸底考试数学试卷 2016.08.27（完卷时间：90分钟 满分：100分）题号一二三四总分1101114151617181920得分一填空题（每小题4分，满分40分。把答案填在下面的横线上)1 ； 2 ；3 ；4 ；5 ；6 ；7 ；8 ；9 ；10 二选择题（每小题4分，满分16分。把所选答案的字母写在题号后的括号内）11（ ） 12（ ） 13（ ） 14（ ）三解答题（本大题共4题，满分44分）15（本题满分10分）16（本题满分10分） 17（本题分12分）18（本题满分12分）OABxyDQCFPE19.（本题满分10分） 20.（本题满分10分）上海市实验学校2016学年高一第一学期开学摸底考试数学试卷 2016.08.27（完卷时间：90分钟 满分：100分）题号一二三四总分1101114151617181920得分一、填空题：（）1.若全集，则 .2. 用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，则 【答案】【解析】 即 又 3. 已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时， 【解析】依题意知 故 且，于是 又为整数， 故 （4） （5） （6）4. 如图，抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则关于的不等式的解是 解：当x=1时，y=x2+1=2，A（1，2）；k=xy=12=2，即y=，解方程+x2+1=0，得x=1，由图象可知，不等式+x2+10的解是1x0故答案为：1x05. 如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点处.若，则的度数为 。解：设ABE=x，根据折叠前后角相等可知，C1BE=CBE=50+x，所以50+x+x=90，解得x=206. 如图，中，为定长，以为直径的分别交、于点、连结, 已知下列结论：；其中一定正确的有 个.【解答】解：连接CD，OD，则ADC=90又A=60，则ACD=30DOE=2DCE=60，又因为OD=OE所以DOE是等边三角形则DE=OD，即BC=2DE，正确；根据上述证明过程，又因为DE=CE，知COE=DOE=60，则BOD=60，则BD=DE=CE，结合知正确故选A7. 若将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线的函数解析式是，则原来抛物线的函数解析式是 8.有一个六位数，它乘以后得六位数为，则此六位数为 答案：9.若质数、满足：则的最大值为 【解析】由得，因为质数，故的值随着质数的增大而增大，当且仅当取得最大值时，取得最大值. 又，因为质数，故的可能取值为，但时，不是质数，舍去.当时,恰为质数.故.10在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”，给出如下定义：若，则点与点的“非常距离”为；若，则点与点的“非常距离”为.例如：点，点，因为，所以点与点的“非常距离”为，也就是图1中线段与线段长度的较大值（点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点）已知是直线上的一个动点，点的坐标是（0，1），则当点与点的“非常距离”取最小值时相应的点的坐标为 .二、选择题：（）11. 已知集合，若，则满足条件的实数组成的集合是 （ ）、； 、； 、； 、12. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 和均为“和谐数”.那么，不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） 【答案】B. 【解析】 （其中为非负整数），由得， ，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为故选B.13. 三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ） 种 种 种 种 【答案】C. 【解析】设购买三种图书的数量分别为则，即，解得 依题意得，为自然数（非负整数），故有种可能的取值（分别为，对于每一个值，和都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C. 14. 数与的图像恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）D、； 、； 、或； 、或解：根据题意，y=a|x|的图在x轴上过原点是折线，关于y轴对称；分两种情况讨论，a0时，过第一、二象限，y=x+a斜率为1，a0时，过第一、二、三象限，若使其图象恰有两个公共点，必有a1；a0时，y=a|x|过第三、四象限；而y=x+a过第二、三、四象限；若使其图象恰有两个公共点，必有a1；故答案为D三、解答题：（）15. 如图，点在以为直径的上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长线与交于点.证明:. 【证明】：连接、为的直径，于点由四边形是正方形及于点可知:点在上，以点为圆心、为半径作与直线交于另一点,则与切于点,即是的切线，直线是的割线，故由切割线定理得,即点与点重合，点在上，. (注：上述最后一段得证明用了“同一法”)16. 用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图中的一种）设竖档AB=x米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD、AB平行）（1）在图中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积为3平方米？（2）在图中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？（3）在图中，如果不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档，那么当x为多少时，矩形框架ABCD的面积S最大？最大面积是多少？ （第25题图）解：（1）当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC=4-x，x（4-x）=3解得，x=1或3（2）当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC=，矩形框架ABCD的面积S=x=-x2+4x当x=-=时，S=3当x=时时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为3平方米（3）当不锈钢材料总长度为a米，共有n条竖档时，BC=，矩形框架ABCD的面积S=x=-x2+x当x=-=时，S=当x=时，矩形框架ABCD的面积S最大，最大面积为平方米17. 已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值解：(1) 假设存在实数，使成立 一元二次方程的两个实数根 ， 又是一元二次方程的两个实数根 ，但 不存在实数，使成立 (2) 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为18. 阅读理解：对于任意正实数、，只有当时，等号成立结论：在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值根据上述内容，回答下列问题：若，只有当 时，有最小值 思考验证：如图1，为半圆的直径，为半圆上任意一点（与点、不重合），过点作，垂足为，试根据图形验证，并指出等号成立时的条件 探索应用：如图2，已知，为双曲线（）上的任意一点，过点作轴于点，轴于点求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状解：阅读理解：m= 1 （填不扣分），最小值为 2 ； 思考验证：AB是的直径，ACBC,又CDAB,CAD=BCD=90-B,RtCADRtBCD, CD2=ADDB, CD= 若点D与O不重合，连OC，在RtOCD中，OCCD, ， 若点D与O重合时，OC=CD, 综上所述，当CD等于半径时，等号成立.探索应用：设,则,，化简得： ，只有当S261224，S四边形ABCD有最小值24. 此时，P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5,四边形ABCD是菱形 四、附加题：（）19. 如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线yx 2x10与x轴的交点为A，与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连结AC现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动线段OC，PQ相交于点D，过点D作DEOA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F设动点P，Q移动的时间为(单位：秒)（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当（0，）时，PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（4）当为何值时，PQF为等腰三角形？请写出解答过程OABxyDQCFPE解；（1）在yx 2x10中，令y0，得x 28x1800解得x10或x18，A(18，0) 在yx 2x10中，令x0，得y10B(0，10) BCx轴，点C的纵坐标为10由10x 2x10得x0或x8C(8，10) yx 2x10(x4)2抛物