几何圆锥曲线

1 / 14 几何圆锥曲线 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第十章圆锥曲线 知识网络 第 1 讲椭圆 知识梳理 1.椭圆定义： （ 1）第一定义：平面内与两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹叫椭圆 ,其中两个定点叫椭圆的焦点 . 当时 ,的轨迹为椭圆 ; 当时 ,的轨迹不存在 ; 当时 ,的轨迹为以为端点的线段 （ 2）椭圆的第二定义 :平面内到定点与定直线 (定点不在定直线上 )的距离之比是常数 ()的点的轨迹为椭圆 （利用第二定义 ,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相 应准线的距离相互转化） . 2.椭圆的方程与几何性质 : 标准方程 2 / 14 性 质参数关系 焦点 焦距 范围 顶点 对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称 离心率 准线 3.点与椭圆的位置关系 : 当时 ,点在椭圆外 ;当时 ,点在椭圆内 ;当时 ,点在椭圆上 ; 4.直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交 ;直线与椭圆相切 ;直线与椭圆相离 重难点突破 重点 :掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭 圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用 3 / 14 难点 :椭圆的几何元素与参数的转换 重难点 :运用数形结合，围绕 “ 焦点三角形 ” ，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数的关系 1.要有用定义的意识 问题 1 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于 A、 B 两点若，则 =_。 解析 的周长为， =8 2.求标准方程要注意焦点的定位 问题 2 椭圆的离心率为，则 解析 当焦点在轴上时，； 当焦点在轴上时， 综上或 3 热点考点题型探析 考点 1 椭圆定义及标准方程 题型 1:椭圆定义的运用 例 1(湖北部分重点中学 XX 届高三联考 )椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、 B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A 的小球（小球的半径不计），从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 A 4aB 2(a c)c 2(a+c)D以上答案均有可能 4 / 14 解析 按小球的运行路径分三种情况 : (1),此时小球经过的路程为 2(a c); (2),此时小 球经过的路程为 2(a+c); (3)此时小球经过的路程为 4a,故选 D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】 1.（ XX佛山南海）短轴长为，离心率的椭圆两焦点为 F1， F2，过 F1 作直线交椭圆于 A、 B 两点，则 ABF2 的周长为（） 解析 c.长半轴 a=3， ABF2 的周长为 4a=12 2.(广雅中学 XX XX 学年度上学期期中考 )已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则的最小值为（） A 5B 7c 13D 15 解析 B.两圆心 c、 D 恰为椭圆的焦点，的最小 值为10-1-2=7 题型 2 求椭圆的标准方程 例 2设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为 4，求此椭圆方程 . 【解题思路】将题中所给条件用关于参数的式子 “ 描述 ” 出来 5 / 14 解析 设椭圆的方程为或， 则， 解之得：， b=c 4.则所求的椭圆的方程为或 . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数的数量关系 警示易漏焦点在 y 轴上的情况 【新题导练】 3.如果方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴的椭圆，那么实数 k的取值范 围是 _. 解析 (0,1).椭圆方程化为 +=1.焦点在 y 轴上，则 2，即 k0， 0k0（ *） x1 x2 2kmk2 2， x1x2 m2 1k2 2 AP 3PB x1 3x2x1 x2 2x2x1x2 3x22 消去 x2，得 3（ x1 x2） 2 4x1x2 0， 3 （ 2kmk2 2）2 4m2 1k2 2 0 10 / 14 整理得 4k2m2 2m2 k2 2 0 m2 14时，上式不成立； m214 时， k2 2 2m24m2 1， 因 3k0k2 2 2m24m2 10， 1m 12或 12m2m2 2 成立，所以（ *）成立 即所求 m 的取值范围为（ 1， 12） （ 12， 1） 【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能 【新题导练】 14.(XX广州四校联考 )设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（） 解析 ，选 A. 15.如图，在 RtABc 中， cAB=90 ， AB=2， Ac=。一曲线E 过点 c，动点 P 在曲线 E 上运动，且保持 |PA|+|PB|的值不变，直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 m、 N 两点。 （ 1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程； （ 2）设直线 l 的斜率为 k，若 mBN 为钝角，求 k 的取值范围。 解：（ 1）以 AB所在直线为 x 轴， AB的中点 o 为原点建11 / 14 立直角坐标系，则 A（ 1， 0）， B（ 1， 0） 由题设可得 动点 P 的轨迹方程为， 则 曲线 E 方程为 （ 2）直线 mN的方程为 由 方程有两个不等的实数根 mBN 是钝角 即 解得： 又 m、 B、 N 三点不共线 综上所述， k 的取值范围是 抢分频道 基础巩固训练 1.如图所示 ,椭圆中心在原点 ,F是左焦点 ,直线与 BF交于 D,且 ,则椭圆的离心率为 () 12 / 14 ABcD 解析 B. 2.（广东省四校联合体 XX-XX 学年度联合考试）设 F1、 F2为椭圆 +y2=1的两焦点， P 在椭圆上，当 F1PF2 面积为 1 时，的值为 A、 0 B、 1 c、 2 D、 3 解析 A.， P 的纵坐标为，从而 P 的坐标为， 0， 3.(广东广雅中学 XX XX 学年度上学期期中考 )椭圆的一条弦被平分 ,那么这条弦所在的直线方程是 A B c D 解析 D.,两式相减得：， 4.在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 解析 5.已知为椭圆的两个焦点 ,P 为椭圆上一点 ,若 ,则此椭圆的离心率为 _. 解析 三角形三边的比是 6.(XX 江苏 )在平面直角坐标系中，椭圆 1(0)的焦距为 2，以 o 为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率 = 解析 综合提高训练 7、已知椭圆与过点 A(2， 0)， B(0， 1)的直线 l 有且只有一13 / 14 个公共点 T，且椭圆的离心率求椭圆方程 解析 直线 l 的方程为： 由已知 由 得： ，即 由 得： 故椭圆 E 方程为 8.(广东省汕头市金山中学 XX XX学年高三第一次月考 ) 已知 A、 B 分别是椭圆的左右两个焦点， o 为坐标原点，点 P）在椭圆上，线段 PB与 y 轴的交点 m 为线段 PB的中点。 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）点 c 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于 ABc ，求的值。 解析 （ 1） 点是线段的中点 是 的中位线 又 椭圆的标准方程为 =1 （ 2） 点 c 在椭圆上， A、 B 是椭圆的两个焦点 Ac Bc 2a， AB 2c 2 在 ABc 中，由正弦定理， 14 / 14 9.( 海珠区 XX 届 高 三 综 合 测 试 二 ) 已 知 长 方 形A