函数的性质

1 / 14 函数的性质 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 新课标高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座 第四讲 函数的基本性质 一课标要求 (例题 5，练习题 7，习题 9) 1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义； 2结合具体函数，了解奇偶性的含义； 二命题走向 从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。 预测 XX 年高考的出题思路是 ：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。 预测明年的对本讲的考察是： （ 1）考察函数性质的选择题 1 个或 1 个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题； （ 2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。 三要点精讲 1单调性 （ 1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对2 / 14 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2，当x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)），那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数）； 注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2；当x1x2 时，总有 f(x1)f(x2) （ 2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 （ 3）设复合函数 y=fg(x)，其中 u=g(x),A 是 y=fg(x)定义域的某个区间， B 是映射 g:xu=g(x) 的象集： 若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数， y=f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数 y=fg(x)在 A 上是增函数； 若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而 y=f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数 y=fg(x)在 A 上是减函数。 （ 4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤： 3 / 14 1 任取 x1， x2D ，且 x1x2； 2 作差 f(x1) f(x2)； 3 变形（通常是因式分解和配方）； 4 定号（即判断 差 f(x1) f(x2)的正负）； 5 下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）。 （ 5）简单性质 奇函数在其对称区间上的单调性相同； 偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内： 增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数； 增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。 2奇偶性 （ 1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)= f(x)，则称 f(x)为奇函数； 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f( x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性 . 如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。 注意： 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 4 / 14 例如：函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数分别在和内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即内是单调递减的，只能说函数的单调递减区间为和 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则 x 也一定是定义域内的一个自 变量（即定义域关于原点对称）。 （ 2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定 f( x)与 f(x)的关系； 3 作出相应结论： 若 f( x)=f(x)或 f( x) f(x)=0，则 f(x)是偶函数； 若 f( x)= f(x)或 f( x) f(x)=0，则 f(x)是奇函数。 （ 3）简单性质： 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称； 一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称； 若是偶函数，则 的图象关于直线对称； 若是奇函数，则的图象关于点中心对称； 设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上： 奇 +奇 =奇，奇奇 =偶，偶 +偶 =偶，偶偶 =偶，奇偶 =奇； 5 / 14 3最值 （ 1）定义： 最大值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 m 满足： 对于任意的 xI ，都有 f(x)m ； 存在 x0I ，使得 f(x0)=m。那么，称 m 是函数 y=f(x)的最大值。 最小值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 m 满足： 对于任意的 xI ，都有 f(x)m ； 存在 x0I ，使得 f(x0)=m。那么，称 m 是函数 y=f(x)的最小值。 注意： 1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0I ，使得 f(x0)=m； 2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 xI ，都有 f(x)m （ f(x)m ）。 （ 2）函数的最值的求法 若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。 利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递增，在区间 b， c上单调递减则 函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)；如果函数 y=f(x)在区间 a， b上单调递减，在区间 b， c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b处6 / 14 有最小值 f(b)； 基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。 导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法 数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。 4周期性 （ 1）定义：如果存在一个非零常数 T，使得对于函数定义域内的任意 x，都有 f(x+T)=f(x)，则称 f(x)为周 期函数； （ 2）性质： f(x+T)=f(x) 常常写作若 f(x)的周期中，存在一个最小的正数 T，则称它为 f(x)的最小正周期； 若周期函数 f(x)的周期为 T，则 f(x) （ 0 ）是周期函数，且周期为。 （ 3）周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况： 函数值之和等于零型， 即函数对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是 函数图象有，两条对称轴型。 函数图象有，两条对称轴，即，从而得，故函数的周期是 两个函数值之积等于 ，即函数值互为倒数或负倒数型 若，则得，所以函数的周期是；同理若，则的周期是 7 / 14 四典例解析 题型一判断证明函数的单调性 例 1（ 2001天津， 19）设，是上的偶函数。 （ 1）求的值；（ 2）证明在上为增函数。 解：（ 1）依题意，对一切，有，即。 对一切成立，则， ， ， 。 （ 2） (定义法 )设，则 ， 由，得， ， 即， 在上为增函数。 （导数法） ， 在上为增函数 点评：本题用了两种方法：定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。 例 2（ 1）求函数的单调区间； （ 2）已知若试确定的单调区间和单调性。 解：（ 1）函数的定义域为， 分解基本函数为、 显然在上是单调递减的，而在上分别是单调递减和单调递增8 / 14 的。根据复合函数的单调性的规则： 所以函数在上分别单调递增、单调递减。 （ 2）解：， 令，得或， 令，或 单调增区间为；单调减区间为。 点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住 “ 同向增、异向减 ” 的规则。 练习 1函数的单调增区间为（） A； B； c； D 解析 D；由得或，又函数 在上是减函数，在上是减函数，所以 函数 的单调增区间为 2（ XX天津改编）在上定义的函数是奇函数，且，若在区间是减函数，则函数（） A.在区间上是增函数，区间上是增函数 B.在区间上是增函数，区间上是减函数 c.在区间上是减函数，区间上是增函数 D.在区间上是减函数，区间上是减函数 解析 c；由知的图象关于直线对称，由在区间是减函数知在区间是增函数，又由及是奇函数，得到 ，进而得，所以是以 4 为周期的函数，故在上是减函数。 9 / 14 题型二：判断函数的奇偶性 例 3讨论下述函数的奇偶性： 解：（ 1）函 数定义域为 R， ， f(x) 为偶函数； （另解）先化简：，显然为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。 （ 2）须要分两段讨论： 设方法正确解题过程不对！ 设 当 x=0时 f(x)=0，也满足 f( x)= f(x)； 由 、 、 知，对 xR 有 f( x)= f(x)， f(x) 为偶函数； （ 3）， 函数的定义域为， f(x)=log21=0(x=1) ，即 f(x)的图象由两个点 A（ 1，0）与 B（ 1， 0）组成，这两点既关于 y 轴对称，又关于原点对称， f(x) 既是奇函 数，又是偶函数； 点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，10 / 14 一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。 例 4 (2002 天津文 .16)设函数 f（ x）在（ ， + ）内有定义，下列函数： y= |f（ x） |； y=xf （ x2）； y= f（ x）； y=f （ x） f（ x）。必为奇函数的有 _（要求填写正确答案的序号） 答案： ；解析： y=（ x） f（ x） 2 = xf（ x2） = y； y=f（ x） f（ x） = y。 可以看成 y= f（ x） ,那么 f（ x） y 所以 不正确。 点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。 题型三：最值问题 例题 5（ 2000年上海）已知函数 当时，求函数的最小值； 解题思路 当时，这是典型的 “ 对钩函数 ” ，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或导数； 解析 当时， ，。在区间上为增函数。 在区间上的最小值为。 【名师指引】对于函数若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到 而认为其最小值为，但实际上，要取 得等号，必须使得，这11 / 14 时 所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次 ,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想； 题型四：周期问题 例题 6（执信中学 09届训练题）设是定义在上的正值函数 ,且满足 .若是周期函数 ,则它的一个周期是（） .； .； .； . 解析 ；由是定义在上的正值函数及得 ， ，所以，即的一个周期是 6 例题 7（ 06 年安徽改编） 函数对于任意实数满足条件，若则 _ 解析 ；由得，进而得 所以 例题 8若 y=f(2x)的图像关于直线和对称，则 f(x)的一个周期为（） A B c D 解：因为 y=f(2x)关于对称，所以 f(a+2x)=f(a 2x)。 12 / 14 所以 f(2a 2x)=fa+(a 2x)=fa (a 2x)=f(2x)。 同理， f(b+2x)=f(b 2x)， 所以 f(2b 2x)=f(2x)， 所以 f(2b 2a+2x)=f2b (2a 2x)=f(2a 2x)=f(2x)。 所以 f(2x)的一个周期为 2b 2a， 故知 f(x)的一个周期为 4(b a)。选项为 D。 点评：考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a和 x=b对称（ ab ），则这个函数是周期函数，其周期为 2（ b a）。 例题 9已知函数是定义在上的周期函数，周期，函数是奇函数又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值。 证明：； 求的解析式； 求在上的解析式。 解： 是以为周期的周期函数， ， 又 是奇函 数， ， 。 当时，由题意可设， 13 / 14 由得， ， 。 是奇函数， ， 又知在上是一次函数， 可设，而， ， 当时， 从而当时，故时，。 当时，有， 。 当时， 。 点评：该题属于普通函数周期性应用的题目，周期性是函数的图像特征，要将其转化成数字特征。 五思维总结 1判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为 了 便 于 判 断 ， 常 应 用 定 义 的 等 价 形 式 ：f(x)=f(x)f(x)f(x)=0； 2对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在 f(-x)=f(x)和14 / 14 f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)， f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广，可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a对称的充要条件是对定义域内的任意 x，都有 f(x+a)=f(a-x)成立函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映； 3若奇函数的定义域包含 0，则 f(0)=0，因此， “f(x) 为奇函数 ” 是 f(0)=0的非充分非必要条件； 4奇函数的图象关于原