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_8.2 换元积分法与分部积分法（4时）【教学目的】熟练掌握换元积分法和分步积分法。【教学重点】换元积分法和分步积分法。【教学难点】灵活运用换元积分法和分步积分法。【教学过程】一 换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法定理84(换元积分法) 设g()在上有定义，在上可导，且，并记 (i)若在上存在原函数，则在上也存在原函数，即 (ii) 又若则上述命题(i)可逆，即当在上存在原函数F()时，g()在上也存在原函数G()，且G()=，即 证 （i） 用复合函数求导法进行验证： 所以以为其原函数，(1)式成立 ( ii ) 在的条件下，存在反函数，且 于是又能验证（2）式成立： 口 上述换元积分法中的公式(1)与(2)反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法(公式(1)与(2)分别称为第一换元公式与第二换元公式) 下面的例1至例5采用第一换元积分法求解在使用公式(1)时，也可把它写成如下简便形式： 例1 求 解 由 可令则得 例 2 求解 对换元积分法比较熟练后，可以不写出换元变量，而直接使用公式.例 3 求解 例 4 求解 例 5 求解 解法一利用例4的结果可得 解法二 = 这两种解法所得结果只是形式上的不同，请读者将它们统一起来 从以上几例看到，使用第一换元积分法的关键在于把被积表达式凑成的形式，以便选取变换，化为易于积分的最终不要忘记把新引入的变量还原为起始变量 第二换元公式(2)从形式上看是公式(1)的逆行，但目的都是为了化为容易求得原函数的形式(最终同样不要忘记变量还原)，以下例6至例9采用第二换元积分法求解例6 求.解 为去掉被积函数中的根式，取根次数2与3的最小公倍数6，并令,则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分： .例7 求 解 令 (这是存在反函数的一个单调区间)于是 例8 求.解 令,(同理可考虑的情况)，于是有借助辅助直角三角形，便于求出，故得例9 求解 令，于是有 有些不定积分还可采用两种换元方法来计算例10 求解 解法一采用第一换元积分法：解法二 采用第二换元积分法(令)：二 分部积分法由乘积求导法，可以导出分部积分法定理8.5（分部积分法）若与可导，不定积分存在，则也存在，并有 = （3）证 由 或 ，对上式两边求不定积分，就得到(3)式 公式(3)称为分部积分公式，常简写作 （4）例11 求.解 令，则有由公式（3）求得 例12 求.解 令，则，由公式（3）求得 例13 求解 令，由公式（4）则有 有时需要接连使用几次分部积分才能求得结果；有些还会出现与原不定积分同类的项，需经移项合并后方能完成求解现分别示例如下例14 求解 例15 求和解 ， .由此得到 解此方程组，求得 作业：1（2）（5）（7）（10）（1
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