华杯赛决赛第13~16届(初一组)试题及答案.pdf

第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组） 第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 决赛试卷（初一组）决赛试卷（初一组） （建议考试时间：2008 年 4 月 19 日 10:0011:30） 一、填空（每题 10 分，共 80 分） 1. 某地区 2008 年 2 月 21 日至 28 日的平均气温为-1，2 月 22 日至 29 日的平 均气温为-0.5，2 月 21 日的平均气温为-3，则 2 月 29 日的平均气温为 . 2. 已知新北京(新+奥+运)=2008，其中每个汉字都代表 0 到 9 的数字，相同的 汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则算式 )( 1 )(运奥 新 京新北= . 3. 代数和12008+2200732006420051003100610041005 的 个位数字是 . 4. 用一个平面去截一个长方体,裁面是一个多边形, 这个多边形的边数最多有 条. 5. 一列数 1,3,6,10,15,21,中,从第二个数开始,每一个数都是这个数的序号加上 前一个数的和,那么第 2008 个数是 . 6. 当 x 取相反数时,代数式 ax+bx 对应的值也为相反数,则 ab 等于 2 . 7. 已知是以x为未知数的一元一次方程,如果06)3()9( 22 xmxmma , 那么ma ma 的值为 . 8. 在 34 方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子,至少要去掉 枚围棋 子,才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点. 第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组） 二、解答下列各题(第题 10 分,共 40 分,要求写出简要过程) 9. 如果一个锐角三角形的三个角的度数都是正整数,且最大角是最小角的 4 倍， 那么这个三角形的最小角的度数可能是哪些值？ 10. 小明将 164 个桃子分给猴子,余下的几个留给了自己,每只猴子得到了数目相 同的桃子,小明留给自己的桃子数是一只猴子的四分之一,问共有多少只猴子? 11. 下图中,E,F 为三角形 ABC 边上的点,CE 与 BF 相交于 P. 已知三角形 PBC 的 面积为12, 并且三角形EBP, 三角形FPC及四边形AEPF的面积都相同,求三角形EBP 的面积. C P B E F A 12. 现有代数式 x+y, x-y, xy 和 y x ,当 x 和 y 取哪些值时,能使其中的三个代数式 的值相等? 三、解答下列各题(每题 15 分,共 30 分,要求写出详细过程) 13. 对于某些自然数 n, 可以用 n 个大小相同的等边三 角形拼成内角都为120的六边形. 例如, n=10时就可以拼出 这样的六边形,见右图,请从小到大,求出前 10 个这样的 n. 14. 对于有理数 x,用x表示不大于 x 的最大整数, 请解方程 0 25 25 10320 2 y y 第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组） 第十三届第十三届“华罗庚金杯华罗庚金杯”少年数字邀请赛少年数字邀请赛 决赛试题参考答案（初一组） 一、填空（每题 10 分，共 80 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1 29 8 6 2017036 0 6 4 二、解答下列各题（每题 10 分，共 40 分，要求写出简要过程） 9. 答案:20,21,22. 解答: 设最小角为 x, 最大角为 4x, 另一个角为 y. 则由题目的条件得 1804 xyx, xyx4, 904 x 由的前两个式子得到: xxyxx918046, 解得3020 x; 又由的第三 个式子得到, 所以. 5 . 22x2220 x 评分参考: 1) 给出三个关系给4分; 2)得出范围给4分; 3)给出答案给2分. 10. 答案:10. 解答: 设有n只猴子, 小明留给自己p个桃子. 每只猴子分到了4p个桃子. 则 pnp4164, 所以p是4的倍数, 令 1 4pp , 则npp 11 441, 是4的倍数. 令, 则 1 41p 14 1 kpnkk) 14(4440, k k n 1 10 4 , 因为n是正整数, 所以. 当 时, . 0k 0kn10 评分参考: 1)给出p, n的关系给3分; 2)得到n, k的最终关系给4分; 3)得到答案给3分. 11. 答案: 4 三角形EBP的面积为X, 连接AP. 若令 A F E B C P 解答: 设 三角形APF的面积为Y, 则三角形AEP的 第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组） 面积为YX . 因为 YXSSSS APFFPCBFABCF : , )( :YXXSSSS AEPEBPAECBCE 而, BCFBCE SS XXXSS AECBFA 2 , 所以有)( :YXXYX, 解得 2 X Y , 即1:2 2 :2: )12(: SS BFABCF X XXX, 所以X=4. 三角形EBP的面积为4. 评分参考: 1)引出辅助线给2分; 2)得到X与Y的关系给4分; 3)得到答案给4分. 12. 答案: 2 1 x, 1y, 2 1 x, 1y. 解答: 首先必须0y, 否则 y x 没有意义. 若yxyx, 则, 矛盾. 所以 0y yxyx. 若0x, 则由xyyx, 或xyyx都得到0y, 所以, 即 . 因此, 三个相等的式子只有两种可能: 0x 0xy (1) y x xyyx. 由后一等式得到, 1y或1y, 而1y是不可能的, 因为 此时由第一个等式得到, 矛盾. 当xx11y时, 由第一个等式得到, 即, 所以 xx1 12 x 2 1 x. (2) y x xyyx. 由后一等式同样得到, 1y或1y, 同样, 是不可能 的, 而当时, 由第一个等式得到 1y 1y12x, 所以 2 1 x. 评分参考: 1) (1)之前给2分; 2) (1)和(2)各给4分. 三、解答下列各题（每题 15 分，共 30 分，要求写出详细过程） 13. 答案: 6,10,13,14,16,18,19,22,24,25. 解答: 设所用的等边三角形的边长单位为1. 任何满足条件的六边形的外接三角 形一定是一个边长为l的大等边三角形. 该六边形可以通过切去边长分别为的cba, 第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组） 等国三角形的角而得到, 其中为正整数, 并且满足, . cba, ) 12x 11 ( 2 12( 2 11 6 18 1236 6 1cba ( 22 cba 11 (4 222 16925) 2325) 1136) 2 936)12 ) bal ) 2 16)12 5 27 又由于用边长为1的等边三角形拼成的一个边长为x (正整数)的等边三角形所需 要 的 个 数 是. 因 此, , 其 中, , . 2 (531x 1 cb 2 ln 3l bala (1) 时, n可以为. 3l639)13 222 (2) 时, n可以为. . 4l10616)14 222 133 (3) 时, 与上面不同的n可以为 5l 1425)113(5 2222 , . 122(5 2222 1925)112(5 2222 , . 2111 (5 2222 (4) 时,与上面不同的n可以为 6l 1836)114(6 2222 , . 2113(6 222 24)222(6 2222 , . 22(6 222 3036)112(6 2222 , =36-3=33. 111 (6 2222 (5) 时, 与上面不同的n都比27大. 7l (6) 时, 可以证明满足要求的n都不小于26. 8l 由(1)到(6)可得,前10个满足要求的n为6,10,13,14,16,18,19,22,24,25 评分参考: 1)写出10个中的1个给1分; 2)给出足够的理由,例如(1)之前的部分给5分. 14. 答案: 3 10 y或10y. 解答: 因为方程左边的第1、3项都是整数, 所以3是整数. 注意到 y 2 25 1 25 1 2 yy 25 25 2 y , 代入方程, 得到0 25 1010320 2 y y, 0 2510 3 1 2 yy . 所以 10 3y 是整数, 第十三届全国“华罗庚庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（初一组） y3是10的倍数. 令ky103, k是整数, 代入得 1 25 2 k k 9 4 9 4 1 9 4 9 100 10 222 kk k k k, xx 其中, 对于有理数x, =. 所以有 x 9 4 9 4 1 22 kk k, 0 9 4 11 2 k k. 当k取不同整数时, 2 的情况如下表: 9 4 1 k k k 2 1 0 =1 =2 =3 3 9 4 2 k k 1 = 9 4 =1 = 9 14 9 11 =0 1 1 K的可能值是和3, 相应的1 3 10 y和y =10. 代入验算得到 3 10 y或. 10y 评分参考: 1) 得到 10 3y 是整数给3分; 2)得到关于k的不等式给5人; 3)得到列表的结果 给5分; 3)每个答案各给1分. WWW.HUABEISAI.CNWWW.HUABEISAI.CN 守惇寶呪酘椨紾婉桿鈑喃瀺岪髃袴髃嗎佳 C*降埴+ 菅 苅 満 煎 潮 鳳 臼 稗 A 宿穆襖系 襖埒亢洪 隸掮: 2009 桿 4 鶇 11 陞 10:0011:30 (10, 80) 1. *+ *+*+625 . 6 13 4 3 1 3 4 2 /-/ / ? . 2. 僲鶫鈑 a, b, c 覇鈑昡35奧棗7/12洛虹罕学校法人, 鉱鰯鈑歡|bccaab/-/-/ = . 3. 僲 m, n 韋螌蹻鉉鈑nm23, 鉱 n 尞籾鼏歡 2m 尞籾鼏歡 声韋 尞籾鼏歡. 4. 譲皿炊槀峺丈, 緯峺約梗晶, 峺吨圾 10 朱, 薰婀隸 3 朱; 穀峺黰醸初吨峺, 峺薰婀隸 5 朱, 榺押皿炊峺35桷 賠氊楾韋薰婀隸 朱. 容迷_ 薬声_ 貼呷銀 5. 攸sb韋鶫鈑. 鶫印歡 a p , |baba/- q , 0 0 1| 22 -baba r , 1|2|2 22 -/-baba 券圀縟35韋 (倣弦棧障). 6. 彐形尞鑷埴 /?- /?/ 1334 324 myx nyx 35 x 声 y 僇21/x, 42/y, 鉱nm -35沼還慼軟 . 7. 胥 2006200720082009 惇鈑紅麹倣激歡 / 35惇鑷蔣, 鉱歡35鵝弥詔忘還韋 8. 鶫茜鬘鈑0韋緯艮湫醸嵇榰韋緯醸湫艮嵇, 嵇梗35聴畐Y蒸, 榺珊35 鬘鈑衝嬉9豚錮鈑:, 貨洛3, 55, 14741 . 覇弥 0 婀 10000 35豚 錮鈑, 3 35乾鈑35鈑訒 7 35乾鈑35鈑籾 . - 1 - WWW.HUABEISAI.CNWWW.HUABEISAI.CN 守惇寶呪酘椨紾婉桿鈑喃瀺岪髃袴髃嗎佳 C*降埴+ (10, 40, ) 菅 苅 満 煎 潮 鳳 臼 稗 9. 印x学校法人乑棙 x 35鵝弥鉉鈑, 鑷 2x+3x = 95 宿穆襖系 襖埒亢洪 10. 僲 x, y 蕉忘沼鬘鈑 1, 2, 3, ;, 梏禾歡 111 10 xy /? 縟, x 沼夷 還隸, y 梫穀鵝弥還? 11. 圾鑷濤 ABCDBEFGEOPQ 洛醤虹蛬郊, 噪淫35 圾埓訒畐韋, 鵝弥圾鑷濤35螞韋 17, 鵝婀圾鑷 濤35螞 5. 捓: 虹惇梘濤 CDGF 35螞惇梘 濤 FGQP 35螞声韋籾婉? 3:2 12. 覇鑷灼躑35薰婀鑷灼献情鶫橫鈑, 榺茜橫鈑僇: 88 1) 薰緯攀 2 鑷灼鬱臨, 薰灼啀 35鈑券攀梘Y狳灼啀35鈑攴畐Y蒸; 2) 薰郊緯 2 鑷灼鬱臨, 薰灼啀 35鈑畐韋券螞Y灼啀35鈑35 q 乾. 捓: 覇醤虹餌梗35鈑35發濤, 奧舜 35 8 鈑声韋籾婉? 容迷_ 薬声_ 貼呷銀 ( 15 , 30 , ) 13. 洛醤虹罕学校法人, 任趨鶫 2009 7/12, 擲障 1 穀 2009. 畏緯擲障 1 357/12鬱臨, 薰痡 6 7/12唱蛄 7/12. 貨洛, 1 尞唱蛄擲障韋 8 357/12, 2 尞唱 蛄擲障韋 15 357/12. 覇Y狳婀鑷灼35 穴件梘餌鶫鈑隸, 榰 洽敺穀梫 C 芭隸, 敺穀梫 D 芭. 攸s敺35氊楾声韋薰婀隸 220 朱, 25 36 AB AD ?, &敺35氊楾. 11. 攸s倦35鑷 x2-? axx 蕉鶫蹻鈑屢&35沼還慼軟. a 12. 厄#声u掮鶫惇梓毚擺剣栂黝2/7敺旔兟圾殮a敺岸鸚紒 喉押蒸喃唱u閘尞奧券35鵜碆押蒸喃唱u隸罕 35梓毚擺剣情Y蒸緯u豚隸罕35梓毚擺剣情Y蒸鉱 榺茜蒸喃鵝籾鶫籾婉押? 容迷_ 薬声_ 貼呷銀 ( 15 , 30 , ) 13. 覇螞35歡, 薰鈑啗姉55q横, 姉55蕉餌梗q横35鈑啗35猶 軌, 岪弦梗妋歡. 14. 虹桷惇梘濤35螞韋 1, EF 紅麹韋 ABCD 357/12, AF DE 梓 G. 攸s ABCD a b FC DF ?, c d EB AE ?捓濤 DFG 35螞韋籾婉 - 2 - WWW.HUABEISAI.CNWWW.HUABEISAI.CN ? A ? ? ? A ? ? ? ? WWW.HUABEISAI.CNWWW.HUABEISAI.CN ? B ? ? ? B ? ? ? ? !#$% !#$% !#$% !#$%& ? WWW.HUABEISAI.CNWWW.HUABEISAI.CN ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 初中七年级组 A卷 - 1 - 江苏教育出版社时代学习报杯 第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷（七年级组 A 卷） （时间: 2011 年 4 月 16 日 10:0011:30） 注意事项： 1、请选手先填好答题纸密封线内的考生信息，并将本试卷的所有答案写在答题纸上； 2、不允许使用计算器、MP3、手机等具有记忆功能或计算功能的电子设备 选手诚信协议： 在参加本次“华杯赛”活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用 任何方式进行交流或讨论 我确定本试卷的答案均为我个人独立完成的成果， 否则愿接受本 次成绩无效的处罚 我同意遵守以上协议 选手签名： . 一、一、填空题填空题（每小题（每小题 10 分分, 共共 80 分）分） 1、公交车的线路号是由数字显示器显示的三位数, 其中每个数字是由横竖放置 的七支荧光管显示, 如下图所示. 由于其中三支应该亮的荧光管不亮了, 某公交线路号显示成了“351”路, 则该公 交线路号可能有 种. 2、27 个正奇数的平均数, 精确到 0.1 是 15.9, 精确到 0.01 是 . 3、从 20012011 这 11 个整数中, 选 3 个数使他们的和能被 3 整除, 则不同的选 数法共有 种. 4、如右图, 长方体中 J 为棱 EF 上一点, 三角形 EHJ 与三 角形 JFB 的面积都是 50 平方厘米, 四边形 BCGF 的周长 为 24 厘米, 长方体的体积是 立方厘米. 5、一水池有三个流量相同的注排两用水管, 开一个水管一个小时注排水 50 立方 米. 假设先开一个进水管注满半池水, 再同时开三个进水管注满另一半池水；排 水时, 先用 3 2 时间开三个水管同时排水, 再用 3 1 时间只开一个水管排水, 把池中 水排尽. 这样排完一池水所化时间比前面注满一池水少用 2 个小时. 水池的容积 是 立方米. 初中七年级组 A卷 - 2 - 6、有 个不同的整数 a, 使得 17 3024 2 a aa 是正整数. 7、用x表示不大于x的最大整数, xxx, 则 2011 201075 2011 375 2011 275 2011 175 的值等于 . 8、在 33 的方格图内, 填上适当的整数, 就能使每一 行、每一列和每条对角线上三个数之和都相等, 此和记 作s. 如果下列两个方格图中都要填上2, 0, 1和3四个 数, 另外至少再加 个不同的整数, 方能使得两个方格图的s不同. 二、二、解答下列各题解答下列各题 ( (每题每题 10 分分, 共共 40 分分, 要求写出要求写出解题解题过程过程) ) 9、一本书标有 2011 页, 从第一页开始每 11 页就在最后一页的页面加注一个红 圈, 直到末页. 然后从末页开始向前, 每 21 页也在最前一页加注一个红圈, 直到 第一页. 问一共有多少页加注了两个红圈, 并写出它们的页面号码. 10、 如图, NM,分别为四边形ABCD对角线BDAC、 的中点, 过NM、的直线分别交ABCD、于FE、. 如果三角形 ABE 的面积为 45, 求三角形CDF的面积. 11、设|,|,|,| 121211nnn xSSxSSxS , 将2011, 3, 2, 1这些数适当地分 配给 2011321 ,xxxx, 使得 2011 S尽量大, 那么 2011 S最大是多少？ 12、求所有正整数 x, y, 使得 x23y 与 y23x 都是完全平方数 三、解答下列各题三、解答下列各题（每小题（每小题 15 分分, 共共 30 分分, 要求写出详细过程）要求写出详细过程） 13、 在ABC 中, BAC=90 , AB=AC, L 是过 A 的一条直线, BDL 于 D, CEL 于 E, 给出 BD=a, DE=b, 求 CE 的长度. 14、设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数, 问这个月的 20 日可能是 星期几? 初中七年级组 A卷 - 3 - 第十六第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题参考答案决赛试题参考答案（初中（初中组）组） 一、 填空题填空题 (每小题 10 分，共 80 分) 题号题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案答案 11 15.89 57 1200 420 6 1005 4 二、解答下列各题二、解答下列各题 (每题 10 分，共 40 分, 要求写出简要过程) 9. 答案：答案：9 解：第一次从前向后加注红圈时，设加红圈的页面号码为 m，则 11 1 ,1, 2 , 3,2 0 1 1mkkm （1） 由 11 12 0 1 12 0 1 11 11 8 29k， 1182k 第二次从后向前加注红圈时，由 2011 219516，可知这时加红圈的页面 号码 m 就是从第 16 页开始向后每隔 20 页加注红圈的页面号码，除了第 16 页和最末的一页（第 2011 页）是例外，于是第二次加注红圈的页面号码就是 1621 ,0,1,2,94mkk （2） 结合（1）和（2）于是得到 11 11 62 11 1()1 01 54mkkkkkk 于是 1621 4100m 是两圈重合的页面号码之最小者，注意到 11 和 21 的最大公约数 11,21231，因此，两圈重合的页面号码一般是 100231mk， 由 1 0 02 3 12 0 1 108kk。 所以，两圈重合的页面有 9 页。 10. 答案：答案：45 解： 因为M是AC的中点， 所以EFCA到与的距离相等， 因此 CEFAEF SS 。 同理： DEFBEF SS 。 两式相加可得 CDFABE SS 。 初中七年级组 A卷 - 4 - 故三角形CDF的面积是 45。 11. 答案：答案：2010 解答： 注意到任何非零正整数 x、 y、 z， 总有|yx 小于x并且小于y， 即|yx 小于,yx中最大值。|zyx小于|yx 并且小于z，而x-y|小于,yx 中最大值，故|zyx小于,zyx中最大值。所以有小于 2011321 ,xxxx 中最大值。易知 2011 S的奇偶性与和 10062011201121 2011321 xxxx的奇偶性相同，为偶数。 所以它不能等于 2011，最大可能为 2010。 另一方面，对于任意四个连续的自然数3, 2, 1,nnnn，有 0| ) 1(| ) 3(| )2( -|nnnn，故有 2010|2011|1|2|2008|2010|2009|2007| | ) 34(| )64(| )54(| ) 34(|4|6|53| |2011 kkkk 个 综上所述 |x|x|xx| 2011321 个“|”2011 的最大值为 2010。 12. 答案：答案：所有解为所有解为(1，1)，(11，16)，(16，11) 解：若 xyN*，且 x23x 为完全平方数， 而 (x1)2x22x1x22xxx23xx24x4(x2)2 当且仅当 x1 时等号成立， xy1； 若 xy，则