函数的基本性质(含答案).doc

教师辅导讲义年 级： 高一 辅导科目： 数学 课时数：3课 题函数的基本性质教学目的 通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法教学内容【知识梳理】 函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）【典型例题分析】例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、yR，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x0时，f（x）0，f（1）=2.（1）证明f（x）是奇函数；（2）证明f（x）在R上是减函数；（3）求f（x）在区间3，3上的最大值和最小值.（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得fx+（x）=f（x）+f（x），f（x）+ f（x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），f（0）=0.从而有f（x）+f（x）=0.f（x）=f（x）.f（x）是奇函数.（2）证明：任取x1、x2R，且x1x2，则f（x1）f（x2）=f（x1）fx1+（x2x1）=f（x1）f（x1）+f（x2x1）=f（x2x1）.由x1x2，x2x10.f（x2x1）0.f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），从而f（x）在R上是减函数.（3）解：由于f（x）在R上是减函数，故f（x）在3，3上的最大值是f（3），最小值是f（3）.由f（1）=2，得f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）=3f（1）=3（2）=6，f（3）=f（3）=6.从而最大值是6，最小值是6.例2、关于x的方程|x24x+3|a=0有三个不相等的实数根，则实数a的值是_.解析：作函数y=|x24x+3|的图象，如下图.由图象知直线y=1与y=|x24x+3|的图象有三个交点，即方程|x24x+3|=1也就是方程|x24x+3|1=0有三个不相等的实数根，因此a=1.答案：1例3、已知二次函数f（x）=x2+bx+c（b0，cR）.若f（x）的定义域为1，0时，值域也是1，0，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.解：设符合条件的f（x）存在，函数图象的对称轴是x=，又b0，0.当0，即0b1时，函数x=有最小值1，则或（舍去）.当1，即1b2时，则（舍去）或（舍去）.当1，即b2时，函数在1，0上单调递增，则解得 综上所述，符合条件的函数有两个，f（x）=x21或f（x）=x2+2x.变式练习：已知二次函数f（x）=x2+（b+1）x+c（b0，cR）.若f（x）的定义域为1，0时，值域也是1，0，符合上述条件的函数f（x）是否存在？若存在，求出f（x）的表达式；若不存在，请说明理由.解：函数图象的对称轴是x=，又b0，.设符合条件的f（x）存在，当1时，即b1时，函数f（x）在1，0上单调递增，则 当1，即0b1时，则（舍去）.综上所述，符合条件的函数为f（x）=x2+2x.例4、设f（x）是定义在1，1上的奇函数，且对任意a、b1，1，当a+b0时，都有0.（1）若ab，比较f（a）与f（b）的大小；（2）解不等式f（x）f（x）；（3）记P=x|y=f（xc），Q=x|y=f（xc2），且PQ=，求c的取值范围.解：设1x1x21，则x1x20，0.x1x20，f（x1）+f（x2）0.f（x1）f（x2）.又f（x）是奇函数，f（x2）=f（x2）.f（x1）f（x2）.f（x）是增函数.（1）ab，f（a）f（b）.（2）由f（x）f（x），得 x.不等式的解集为x|x.（3）由1xc1，得1+cx1+c，P=x|1+cx1+c.由1xc21，得1+c2x1+c2，Q=x|1+c2x1+c2.PQ=，1+c1+c2或1+c1+c2，解得c2或c1.例5、建筑一个容积为8000 m3、深6 m的长方体蓄水池（无盖），池壁造价为a元米2，池底造价为2a元米2，把总造价y元表示为底的一边长x m的函数，其解析式为_，定义域为_.底边长为_ m时总造价最低是_元.解析：设池底一边长x（m），则其邻边长为（m），池壁面积为26x2612（x）（m2），池底面积为x（m2），根据题意可知蓄水池的总造价y（元）与池底一边长x（m）之间的函数关系式为y12a（x）a.定义域为（0，）.x2（当且仅当x=即x=时取“=”）.当底边长为 m时造价最低，最低造价为（160aa）元.答案：y=12a（x+）+a （0，+） 160a+a【课堂小练】1已知是定义上的奇函数，且在上是减函数下列关系式中正确的是 ( )ABCD2如果奇函数在区间3，7上是增函数且最小值为5，那么在区间上是 ( )增函数且最小值为 增函数且最大值为减函数且最小值为 减函数且最大值为3下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是 ( )A B C D4对于定义域是R的任意奇函数有 ( )A BC D5求函数的最大值，最小值6将长度为l的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_7函数的单调性是_8函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并加以证明9如果二次函数在区间上是增函数，求的取值范围10求函数的最大值11已知函数判断在区间(0，1和1，+)上的单调性，说明理由12已知函数是偶函数，且时，求(1) 的值，(2) 时的值；(3)当0时，的解析式13作出函数的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间答案：【课后练习】（可作为单元测试卷）一、选择题1下面说法正确的选项（ ）A函数的单调区间可以是函数的定义域B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2在区间上为增函数的是（ ）A BC D3函数是单调函数时，的取值范围（ ）A B C D 4如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有（ ）A最大值 B最小值 C 没有最大值D 没有最小值5函数，是（ ）A偶函数B奇函数C不具有奇偶函数D与有关6函数在和都是增函数，若，且那么（ ）A BC D无法确定7函数在区间是增函数，则的递增区间是（ ）AB CD8函数在实数集上是增函数，则（ ）A B CD9定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（ ）A BC D10已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是（ ）AB CD二、填空题 11函数在R上为奇函数，且，则当， .12函数，单调递减区间为 ，最大值和最小值的情况为 .13定义在R上的函数（已知）可用的和来表示，且为奇函数， 为偶函数，则= .14构造一个满足下面三个条件的函数实例，函数在上递减；函数具有奇偶性；函数有最小值为； .三、解答题 15已知，求函数得单调递减区间.16判断下列函数的奇偶性； ； 。17已知，求.18函数在区间上都有意义，且在此区间上为增函数，；为减函数，.判断在的单调性，并给出证明.19在经济学中，函数的边际函数为，定义为，某公司每月最多生产100台报警系统装置。生产台的收入函数为（单位元），其成本函数为（单位元），利润的等于收入与成本之差.求出利润函数及其边际利润函数；求出的利润函数及其边际利润函数是否具有相同的最大值；你认为本题中边际利润函数最大值的实际意义.20已知函数，且，试问，是否存在实数，使得在上为减函数，并且在上为增函数.参考答案一、CBBAB DBAA D二、11； 12和，； 13； 14 ；三、15 解： 函数，故函数的单调递减区间为.16 解定义域关于原点对称，且，奇函数.定义域为不关于原点对称。该函数不具有奇偶性.定义域为R，关于原点对称，且，故其不具有奇偶性.定义域为R，关于原点对称，当时，；当时，；当时，；故该函数为奇函数.17解： 已知中为奇