不等式的性质及一元二次不等式的解法讲义.doc

3.13.2 不等式的性质及一元二次不等式的解法一、不等关系与不等式1、不等式的定义：用不等号（“”，“”，“”，“”，“”）表示不等关系的式子。用“”，“”连接的不等式叫严格不等式，用“”，“”连接的不等式叫非严格不等式。2、实数的特征和实数大小的比较 （1）、特征：（1）任意实数的平方不小于0：即：R，则20；（2）任意两个实数都可以比较大小。3、实数比较大小的方法：（1）若b0b；（2）b0b；（3）b0b（2）当0，b0；若1b；若1b；若1b做差比较法法的一般步骤： （1）作差；（2）变形，常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是将“差“化成“积”的形式，配方是将“差”化为一个或几个完全平方的“和”，也可两种手段并用；（3）定号，就是确定是大于0，还是等于0，或是小于0(与具体的值无关)（4） 得出结论。4、不等式的性质（1）、对称性：bb （2）、传递性：b，bc c（3）、可加性：b，cR cbc（4）、可乘性：b，c0 cbc 或b，c0 cbc（5）、同向不等式相加：cbd（6）、 cbd0 （7）、nbn（8）、 （9）、例1：设、是任意实数，且，则下列结论一定成立的是( )A： c B：c C：22 D：22【解析】：D例2：已知b，dc，那么下列结论一定成立的是( )A： B： C： D：【解析】： C变式练习1：若、R，b，则下列不等式成立的是( )A： B：2b2 C： D：cbc【解析】：C变式练习2：如果0，则下列各不等式中：；3b3；lg(21)lg(21)；sinsin。一定成立的是_(请把正确的答案序号全部填写在横线上)【解析】变式练习2：已知函数f(x)（0x1）的图象为一段圆弧（如右图），若0x1x21，则（ ）A： B：C： D：【解析】：构造点A（x1，f（x1）、B（x2，f（x2），则线段OA、OB的斜率是kOA=.由图形可以看出kOAkOB，即.答案：C例3：设0，且1，则四个数、2、22中最小的数是() A： B： C：2D：22【解析】由0ab及ab1，知0a，a2a，故只需比较a2b2与a的大小即可.由0a，知a2b2aa2(1a)2a2a23a1(2a1)(a1)0，故a最小.【答案】B例4：设，则、的大小关系是（ ）A： B： C： D： 【解析】：C ，变式练习1：设，则、的大小关系是（ ）A： B： C： D： 【解析】：1，0，1 B变式练习2：设，cos3，则、的大小关系是（ ）A： B： C： D： 【解析】：A变式练习3：设(2)，(xR)，则（ ）A： B： C：D：【解析】：A变式练习4：设，则下列各式正确的是( )A： B：C： D：解析：a=sin15+cos15=sin60,b=sin16+cos16=sin61,所以ab,排除C、D又ab,因为ab=sin60sin61=sin61b,故B正确.二、一元二次不等式的解法（一）一元二次不等式的解法：二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主要结论与三者之间的关系如下：从函数的观点来看，一元二次不等式x2bxc0(a0)，就是二次函数yx2bxc(0)的图象在x轴上方部分的点横坐标x的集合；一元二次不等式x2bxc0(0)，就是二次函数yx2bxc(0)的图象在x轴下方部分的点横坐标x的集合。解一元二次不等式的步骤是：（1）把不等式化成a0的形式。（2）判定与0的关系。（3）求出相应方程的根。（4）根据函数图象写出不等式的解集。 二次函数的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R口决：化正、求根、大于取两边（小于取中间）例5：不等式x23x40的解集为_。(用区间表示)【解析】：(4,1)变式练习1：不等式2x2x10的解集为_。【解析】：变式练习2：设Ax(2x)(x3)0，Bxx23x40，则AB（ ）A：(1，2) B：(2，4) C：(3，4) D：(1，4)【解析】：A变式练习3：已知函数f(x)，则不等式f(x)1的解集是_。【解析】4,2不等式f(x)1或解得4x0或00时，x2x2，0x1.由得原不等式的解集为x|1x1法二：作出函数yf(x)和函数yx2的图像，如图，由图知f(x)x2的解集为1,1 例6：二次不等式x2bx10的解集为x1x，则的值为（ ）A：6 B：2 C：2 D：6【解析】：C变式练习1：一元二次不等式x2xb0的解集为xx2或x3，则b（ ）A：1 B：1 C：11 D：12【解析】：C变式练习2：一元二次不等式x2bx20的解集为x1x2，则不等式2x2bx0的解集为（ ）A：x1x B：xx1或xC：x2x1 D：xx2或x1【解析】：A变式练习3：若不等式x2bx10的解集是(，)，则0的解集为_。【解析】由题知，是方程ax2bx10的两根，a6，b1.把a6，b1代入0得0，解集为.（三）、分式不等式及高次不等式原理：f(x)g(x)0 f(x)g(x)0 例7：求解下列关于x的不等式。（1） （2） （3）例8：求解下列关于x的不等式：x(x3)( x2)(x1)0例9：求解下列关于x的不等式：(x2)2(x3)3(x1)0【数轴根标法（口决：奇穿偶不穿，从上往下穿）；（要求：因式分解之后每个括号里x的系数为正）】。例10：求解关于x的不等式：x25x0（0）【解析】：(x2)( x3)0当0时，x3或x3当0时，x2或x3变式练习1：求解关于x的不等式：x2(1)x10（0）【解析】：(x1)( x1)0变式练习2：x22x30【解析】：0 例11：若f(x)的定义域为R，则实数k的取值范围是_。【解析】由题意知，kx26kx80对任意实数x恒成立当k0时，80显然成立，当k0时，需满足：解得0k，综上，0k.变式练习1：已知关于x的不等式(4)x2(2)x10的解集是空集，则实数的取值范围_。【解】a2时，原不等式10无解当2a.由知2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令g(x)x24x2，x(1,4)，g(x)g(4)2，a2.16、