匀变速运动追击和相遇问题.doc

1-2-2 运动图像 相遇和追及问题 概念、规律、方法与解题技巧1. x-t图象的物理意义问题1 反映做直线运动物体的位移随时间变化的关系。问题2 图线上任一点的切线斜率值表示该时刻的速度，斜率正负表示速度的方向。问题3 图线与时间轴平行物体处于静止状态。2. v-t图像的物理意义问题4 v-t图像反映做直线运动物体的速度随时间变化的关系；问题5 图线上任一点的切线斜率值表示该时刻加速度，斜率正负表示加速度的方向。加速度由图线的切线斜率决定，与速度的大小和方向无关；问题6 图线与时间轴间的面积表示位移，位移是矢量，时间轴上方的面积表示正向位移，下方的面积表示负向位移，它们的代数和表示总位移，绝对值求和表示总路程。【特别提醒】a. 速度是矢量，v-t图像在t轴上方代表的“正方向”，t轴下方代表的是“负方向”，所以v-t图像只能描述只有两个方向的“直线运动”情况，如果做曲线运动，则画不出物体的“v-t图像”；b. v-t图像没有时间t的“负轴”，因时间没有负值，画图像要注意这一点；3. 追及和相遇问题问题7 讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置的问题。问题8 两个物体运动，各物体可列各自的运动方程，将两物体运动的时间关系，空间关系在方程中体现出来，问题基本能解决。有的题目，两物体的速度也有关系，例如：两物体距离最大或最小时，适好追上或适好追不上，适好不相撞等，这时再加上速度关系方程，问题就迎刃而解了。问题9 常见的情况有：a. 物体A追上物体B：开始时，两个物体相距，则A追上B时，必有，且b. 物体A追赶物体B：开始时，两个物体相距，要使两物体恰好不相撞，则A追上B时，必有，且问题10 追及问题的解题步骤c. 根据对两物体运动过程的分析，画出物体运动的示意图。d. 寻找问题中隐含的临界条件。例如：速度相等时是两个物体恰能追上或恰不相碰，或相距最远或最近时；位置相同时的速度关系，是判断有几次相遇的条件。e. 由运动示意图，分析清楚两物体运动的位移关系，时间关系和速度关系，列相关的运动方程。f. 检查所列方程数是否与未知数相等，相等方程组可解，不相等还需要重新审题，找隐含条件，补充方程。g. 联立方程求解后，对结果进行分析，从实际情况和数学角度看结果是否合理。【特别提醒】 用相对运动求解更简捷。即将其中一个运动物体做为参考系，分析另一个物体的运动，先确定相对速度和加速度，将两个运动物体的问题变换成一个运动物体的问题来求解。 用图像法求解更直观。注意图像的斜率、截距、与横轴所围的面积的物理意义。一、基础训练考点 v-t图像在解题中的应用例题1 摩托车在平直公路上从静止开始起动，稍后匀速运动，然后减速，直到停止，共历时130s，行程1600m。试求：摩托车行驶的最大速度vm;若摩托车从静止起动，a1、a2不变，直到停止，行程不变，所需最短时间为多少？解：整个运动过程分三个阶段：匀加速运动；匀速运动；匀减速运动。可借助v-t图像表示，如图，利用推论有：解得：（另一解舍去）借助v-t图像可以证明，当摩托车先以匀加速运动当速度达到最大时，紧接着以匀减速运动直到停止时，行程不变，而时间最短，如图所示设最短时间为tmin，则解得 tmin=50s讨论：问题11 v-t图象的图线上任一点的切线斜率值表示该时刻加速度，斜率正负表示加速度的方向。问题12 图线与时间轴间的面积表示位移，时间轴上方的面积表示正向位移，下方的面积表示负向位移。问题13 v-t图象能直观的看到速度、加速度和位移的变化规律，确定解题方案。答案9m考点 追及问题的临界情况分析例题2 客车以20m/s的速度行驶，突然发现同轨前方120m处有一货车正以6m/s的速度匀速前进。于是客车紧急刹车，以0.8 m/s2的加速度匀减速运动，试判断两车是否相撞？解析:设客车刹车t时间后两车速度相等，则代入相关数据，解得 两车的位移分别为 由于 故两车会相撞。讨论相遇问题的本质特征是什么？所列相关的运动方程如何体现两物体运动的位移关系，时间关系和速度关系？哪个关系是临界关系？考点 v-t图像的理解与创新运用例题3 蹦床运动员从某一高度降落到蹦床上，弹起后运动员到达的高度比下落开始的高度更高不计空气阻力，图描述运动员这一运动过程的速度时间图象中，可能正确的是分析 由于不计空气阻力，运动员从高h1处先自由下落，加速度为g，接触到蹦床时的速度为运动员弹起后的高度h2 h1，由于运动员上升的加速度也为g，所以运动员离开蹦床的速度，且v2 v1运动员从接触蹦床到离开蹦床的时间内，运动员的速度由向下运动的速度v1逐渐变为向上的速度v2，即运动员的速度先由向下运动的速度很快减小到0，再由0很快增大到向上的速度v2题目所给的速度时间图象都是以竖直向下为正方向的选项A中显示的向下的速度大小v1等于向上的速度大小v2，不符合题目的要求，是错误的选项B中显示的速度方向都是向下的，不符合题目的要求，也是错误的选项C中尽管显示的向下的速度v1小于向上的速度v2，但上升的加速度大于下降的加速度，也不符合题目的要求，同样是错误的选项D正确地描述了运动员的速度变化情况选项D正确讨论：运动员从接触蹦床到离开蹦床的时间内，运动员的速度由向下运动的速度v1逐渐变为向上的速度v2的过程中，是运动员的速度先由向下运动的速度逐渐减小到0，再由0逐渐增大到向上的速度v2的吗？在这个过程中，有没有比v2更大的速度？学生要注意加速度的变化，曲线的切线斜率是加速度，任意时刻的加速度只能有一个值，加速度随着时间变化是连续变化的，下落和上抛节段加速度相同，是两条平行的直线，两条直线的连接曲线是加速度变化的正弦曲线，但是接点切线应该是连续的。习题精选（1）1. 将物体竖直向上抛出后，能正确表示其速率v随时间t的变化关系的图线是图中的（ D ）2. 物体A、B的s-t图像如图所示，由图可知 ( A )A.从第3s起，两物体运动方向相同，且vAvBB.两物体由同一位置开始运动，但物体A比B迟3s才开始运动C.在5s内物体的位移相同，5s末A、B相遇D.5s内A、B的平均速度相等3. 两个质点甲与乙，同时由同一地点向同一方向做直线运动，它们的速度一时间图象如图所示则下列说法中正确的是( AB )A第4 s末甲、乙将会相遇B在第2 s末甲、乙速度相等C在第4 s末甲、乙速度相等D第2 s末甲、乙将会相遇4. 如图示是两个物体甲、乙做直线运动的速度图象，它们的加速度分别是a1、a2 ，则下列说法错误的是（ D ）A甲做匀加速直线运动，乙做匀减速直线运动B甲和乙的速度方向相同C甲和乙的加速度方向相反D甲的加速度数值比较大5. 某物体运动的速度图象如图，根据图象可知（ AC ）A02s内的加速度为1m/s2B05s内的位移为10mC第1s末与第3s末的速度方向相同 D第1s末与第5s末加速度方向相同 6. 如图是某物体做直线运动的速度图象，下列有关物体运动情况判断正确的是（ A ）A前两秒加速度为5 m/s2 B4 s末物体回到出发点C6 s末物体距出发点最远 D8 s末物体距出发点最远7. (2007宁夏)甲乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向作直线运动,t =0时刻同时经过公路旁的同一个路标.在描述两车运动的v-t图中(如图),直线a、b分别描述了甲乙两车在020秒的运动情况.关于两车之间的位置关系,下列说法正确的是 ( C )A.在010秒内两车逐渐靠近B.在1020秒内两车逐渐远离C.在515秒内两车的位移相等D.在t=10秒时两车在公路上相遇8. 矿井里的升降机从静止开始做匀加速运动，经过3s，它的速度达到3m/s；然后做匀速运动，经过6s；再做匀减速运动，3s后停止。求升降机上升的高度，并画出它的速度图象。答案27m图略9. 一车处于静止状态，车后相距s025m处有一个人，当车开始起动以lm / s2 的加速度前进的同时，人以6m / s 速度匀速追车，能否追上？若追不上，人车之间的最小距离为多少？答案不能追上，最小距离为7m10. 从一定高度的气球上自由落下两个物体，第一物体下落1 s后，第二物体开始下落，两物体用长93.1 m的绳连接在一起。问：第二个物体下落多长时间绳被拉紧？答案t=9 s二、能力提升考点 加速度图像与速度图像的类比例题1 （2010全国）汽车由静止开始在平直的公路上行驶，0 60s内汽车的加速度随时间变化的图线如右图所示。问题14 画出汽车在060s内的v-t图线；问题15 求在这60s内汽车行驶的路程。解：由加速度图像可知前10s汽车匀加速，后20s汽车匀减速恰好停止，因为图像的面积表示速度的变化，此两段的面积相等。最大速度为20m/s。所以速度图像为右图。然后利用速度图像的面积求出位移。汽车运动的面积为匀加速、匀速、匀减速三段的位移之和。m讨论：速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率，速度图像中的曲线，纵坐标值是速度，曲线斜率是位移变化率（速度），所围面积是位移。类比理解，加速度的图像中的曲线，纵坐标值是加速度，曲线斜率是加速度变化率，所围面积是速度。考点 追及问题的一般情况例题2 (2008 四川）A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶当 B车在A车前84 m处时，B车速度为4 m/s，且正以2 m/s2的加速度做匀加速运动；经过一段时间后，B车加速度突然变为零A车一直以20 m/s的速度做匀速运动经过12s后两车相遇问B车加速行驶的时间是多少？解：设A车的速度为vA,B车加速行驶时间为t,两车在t0时相遇.则有 式中 s84 m,由式得 代入题给数据有t2-24t+108=0 解得t1=6 s,t2=18 st218 s不合题意,舍去.因此,B车加速行驶的时间为6 s讨论：追及问题，应该画出运动示意图，列方程要注意物体运动的位移关系，时间关系和速度关系是否在公式中体现出来，如果有一项没有体现出来，往往不能求解。再从隐含条件和临界条件中找没有体现出来关系，补上相应的方程问题也就迎刃而解了。考点 追及问题的综合分析例题3 甲、乙两辆摩托车沿直线同方向运动甲做加速度为a1的匀加速运动，当其速度为v0时，从甲的前方与甲相距为d的位置，乙开始做初速度为零、加速度为a2的匀加速运动则关于甲乙相遇的情况，以下说法中正确的是( )A若a2a1，两车只能相遇一次B若a2a1，两车可能相遇两次C若a2a1，两车可能相遇两次D若a2a1，两车不可能不相遇分析 分别写出甲、乙的运动学方程，判断它们是否相遇，就是判断经过相同时间，它们的位置是否相同以速度为v0时甲的位置为坐标原点建立如图所示的坐标系，并以此时为计时起点经过时间t，甲、乙的位置坐标分别为x1、x2，则x1v0 t+x2d+甲乙相遇的条件是 即 =0当方程无解时，表示甲、乙不能相遇；当方程有解时，表示甲、乙可能相遇判别式 当a2 0一定成立，方程必有两解，方程的解分别为 显然两个解一正、一负，其中负值者表示甲乙在计时起点前相遇，不符合题意，应舍去，所以甲乙只能相遇一次当a2=a1时，方程变为一次方程=0，显然解为，所以甲乙只能相遇一次当a2a1时，判别式的值可能小于0，这种情况下甲乙不相遇；判别式的值也可能等于0，这种情况下甲乙只能相遇一次；判别式的值还可能大于0，方程的解分别为两个解都大于0，这种情况下甲乙相遇2次；解 正确答案是选项A、B讨论：（1）在利用数学方法求解物理题时，一定要注意解的物理意义，并要结合题目要求进行取舍。（2）是否可以利用v-t图象讨论甲、乙两辆摩托车相遇的情况呢？考点 相同加速度的追及问题例题4 一悬崖高为h，某一时刻从悬崖顶部自由下落一石子A，同时从悬崖正下方的地面上竖直上抛一石子B，B的初速度为v0求AB两石子相遇的地方（不记空气阻力）分析 A做自由落体运动，B做竖直上抛运动分别写出A、B的运动学方程，相遇条件是：经过相同时间，A、B的位置相同求出相遇的条件即可求出相遇的地点解法一：A做自由落体运动，经过时间t下落的距离为：B做竖直上抛运动，经过时间t上升的距离为：相遇条件时 解上述三个方程得相遇时间 相遇地点距离地面的高度 解法二：选取坐标如图所示A、B的运动方程分别为 相遇条件是在时刻t： 解得相遇时间 ：相遇地点距离地面的高度：讨论：问题16 解法一容易想到，也好懂解法二先建立坐标系再求解，较抽象，但这是求解问题的基本方法，在物理总复习中最好能掌握这种方法问题17 本题有解的条件是，即这是因为要有解，必须是A下落的时间小于B在空中运动的时间，即问题18 可进一步思考：A、B是在B上升过程中相遇，还是在B下降过程中相遇。此题解法，用相对运动法是否会更简捷。习题精选（2）1. （2010天津）质点做直线运动的v-t图象如图所示，规定向右为正方向，则该质点在前8s内平均速度的大小和方向分别为 （ B ）A0.25m/s 向右B0.25m/s 向左C1m/s 向右D1m/s 向左2. 有两个光滑固定斜面AB和BC,A和C两点在同一水平面上,如图,一个滑块自A点以速度vA上滑,到达B点时速度减小为零,紧接着沿BC滑下.设滑块从A点到C点的总时间是tc,那么下面的图中,能够表示滑块速度的大小v随时间t变化规律的是 ( C ) 3. (2007海南)两辆游戏赛车a、b 在两条平行的直车道上行驶t0 时两车都在同一计时线处，此时比赛开始它们在四次比赛中的vt图如图所示哪些图对应的比赛中，有一辆赛车追上了另一辆？（AC）4. 猎狗能以最大速度持续地奔跑，野兔只能以最大速度的速度持续奔跑。一只野兔在离洞窟处的草地上玩耍，被猎狗发现后径直朝野兔追来。兔子发现猎狗时，与猎狗相距，兔子立即掉头跑向洞窟。设猎狗、野兔、洞窟总在同一直线上，求：野兔的加速度至少要多大才能保证安全回到洞窟。 答案5. 从同一地点以相同速度20m/s先后竖直上抛两个小球，第二个小球比第一个小球晚1s，则第二个小球抛出后经过多长时间与第一个小球相遇？（不计空气阻力）6. （2011湖南）甲乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变。在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半。求甲乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比。答案5:7 7. 甲、乙两辆汽车沿平直公路相向匀速行驶，速度均为20m/s。当它们之间相距150m时甲车刹车以a=5 m/s 2的加速度匀减速行驶，从此时刻起，经多少时间两车相会？答案5.5s8. 石块A从塔顶自由下落距离ha时，石块B从离塔顶hb处自由下落，结果两石块同时到达地面，则塔高为多少？答案三、综合创新考点 速度图像的理解与创新运用例题1 一升降机的高度为l，以加速度a匀加速上升，忽然间顶部有一小螺丝钉脱离试求螺丝钉落到升降机地板上所需要的时间分析 升降机匀加速上升过程中，顶部有一小螺丝钉脱离，螺丝钉做竖直上抛运动分别写出螺丝钉脱落后螺丝钉的运动方程和电梯的运动方程，再加上螺丝钉落到地板上的几何条件：位置相同，就可求得时间图1解法一：如图所示，以竖直向上的方向为正方向建立坐标系设螺丝钉脱落的瞬间，升降机的速度为v螺丝钉是以速度v做竖直上抛运动，其运动学方程为而升降机地板则以速度v，加速度为a向上做匀加速直线运动，其运动学方程为x2=经过时间t，螺丝钉落到升降机地板上的条件是x2= x1解得 t=解法二 以电梯为参考系，螺丝钉的初速度为0，加速度为g + a，加速度的方向竖直向下在电梯中看来，螺丝钉做初速度为0，加速度为g + a的匀加速直线运动，当运动位移为l时，螺丝钉落在电梯地板上即螺丝钉落到升降机地板上所需要的时间t=讨论：（1）以地面为参考系，本题容易犯的错是将螺丝钉脱离升降机后的运动看作是自由落体运动，其实，在螺丝钉脱落前，二者一直以共同速度运动，所以在脱落瞬间，由于惯性，螺丝钉还具有向上的速度本题以加速上升的电梯为参考系，可以使分析、解和讨论大为简化大多数题都以地面为参考系而不加说明，但有些问题选择其他物体为参考系可以简化问题的分析和求解，不过在变换参考系来解题时，一定要明确物体的位移、速度和加速度都要做相应变化图2（2）如果给定了螺丝钉脱落时的初速度v，我们还可以继续讨论：在什么条件下，螺丝钉在上升阶段“落”到升降机的地板上？在什么条件下，螺丝钉在下降阶段“落”到升降机的地板上？在什么条件下，螺丝钉在脱落点上方“落”到升降机的地板上？在什么条件下，螺丝钉在脱落点下方“落”到升降机的地板上？（3）本题还有另一种草图情景，如图2所示，这是假设螺丝钉在脱落点下方“落”到升降机地板上的图3图1和图2所示的两个草图，表示相遇的位移关系是一样的，即（以竖直向上的方向为正方向）x2= x1（4）本题也可以先画出螺丝钉和升降机的速度图象，以竖直向上的方向为正方向，它们的v-t图象如图3所示，两者在时刻t相遇请思考：三角形ABC的“面积”、三角形BCD的“面积”、三角形ABD的“面积”分别表示什么物理意义？如果螺丝钉在上升阶段或下降上升阶段“落”到升降机的地板上，如何画螺丝钉和升降机的速度？如果螺丝钉在脱落点上方或脱落点下方“落”到升降机的地板上，如何画螺丝钉和升降机的速度？考点 两个物体运动方向垂直的相遇问题例题2 一辆长为L1=5m的汽车以v1=15m/s的速度在公路上匀速行驶，在离铁路与公路的交叉点s1=175m处，汽车司机突然发现离交叉点s2=200m处有一列长为L2=300m的列车以v2=20m/s的速度行驶过来，为了避免事故的发生，汽车司机立刻使汽车减速，让火车先通过交叉点，求汽车减速的加速度至少多大？（不计汽车司机的反应时间，结果保留3位有效数字）解析：列车驶过交叉点用时间：解得：t=25s若汽车在25s内的位移为s1=175m，则：a=0.64 m/s2此时由，得v=1m/s，因此汽车已经在25s前冲过了交叉点，发生了事故，不合题意要使汽车安全减速，必须在小于25s的时间内汽车速度减小为零，这样才能使它的位移小于175m由得：，汽车减速的加速度至少为0.643m/s2 讨论：问题19 此题不经过讨论，直接由公式得结果是否可以？如何已知改一下：，再做这道题是否有新的收获？这里面的数据关系是否搞清楚了？问题20 再加一问：汽车要抢在火车前通过铁路，加速运动的加速度至少是多少？这问题是否也要讨论？考点 曲线与直线运动的相遇问题例题3 (2006上海)如图所示,一足够长的固定斜面与水平面的夹角为37,物体A以初速度v1从斜面顶端水平抛出,物体B在斜面上距顶端L=15 m处同时以速度v2沿斜面向下匀速运动,经历时间t物体A和B在斜面上相遇,则下列各组速度和时间中满足条件的是(sin 37=0.6,cos 37=0.8,g=10m/s2)( ) A.v1=16 m/s, v2=15 m/s, t=3 s B.v1=16 m/s, v2=16 m/s, t=2 sC.v1=20 m/s, v2=20 m/s, t=3 sD.v1=20 m/s, v2=16 m/s, t=2 s解析 设平抛物体落到斜面上的时间为t,则,时间t内平抛物体的水平位移:,竖直位移.时间t内B物体的位移A、B两物体相碰时,满足整理得:.把各选项值代入得:v1=20 m/s,v2=20 m/s,t=3 s符合上式,故C选项正确.习题精选（3）1. 某人在静止的湖面上竖直上抛一小铁球(可看成质点),小铁球上升到最高点后自由下落,穿过湖水并陷入湖底的淤泥中一段深度.不计空气阻力,取向上为正方向,在下列v-t图象中,最能反映小铁球运动过程的