函数奇偶性专题练习.doc

大庆外国语学校高中部数学组 From Senior High Math TeachersOffice of Daqing Foreign Language School函数奇偶性专题练习题型1、函数奇偶性的判断判断函数奇偶性的方法有：（1）定义法；基本步骤是：第一步：求函数的定义域，看是否具备关于原点对称的特征，若不关于原点对称，则一定是非奇非偶的函数；若关于原点对称，则进行下一步；第二步：求f-x；第三步：根据f-x与fx之间的关系，判断fx的奇偶性：若f-x=-fx，则fx是奇函数；若f-x=fx，则fx是偶函数；若f-xfx，则fx既不是奇函数，也不是偶函数；若f-x=-fx，且f-x=fx，则fx既是奇函数，又是偶函数；注：定义域关于原点对称的常数函数fx=0既是奇函数，又是偶函数，而定义域关于原点对称的非零常数函数fx=cc0,c为常数，则是偶函数。定义的等价形式：利用f-xfx=0或f-xfx=1fx0来进行判断。（2）图象法；根据函数图象的对称情况进行判断，若函数的图象关于y轴对称，则为偶函数；若图象关于原点对称，则为奇函数。（3）性质法。即利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性能及复合函数的奇偶性来判断。在公共定义域内，偶函数的和、差、积、商（分母不分零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；两个奇函数的积、商（分母不为零）为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数；对于复合函数Fx=fgx，若gx为偶函数，fx为偶函数，则Fx为偶函数；若gx为奇函数，fx为奇函数，则Fx为奇函数；若gx为奇函数，fx为偶函数，则Fx为偶函数；若gx为偶函数，fx为奇函数，则Fx为偶函数；例1、判断下列函数的奇偶性。（1）fx=x-2+2-x；（2）fx=x-1x3；（3）fx=1-x2x+2-2；（4）fx=x+a-x-aaR.练习1、在下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）A、y=x+1 B、y=-x3 C、y=1x D、y=xx练习2、设函数fx,gx的定义域都是R，且fx是奇函数，gx是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A、fxgx上偶函数 B、fxgx是奇函数 C、fxgx是奇函数 D、fxgx是奇函数 题型2、分段函数奇偶性的判断先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f-x与fx的关系。首先要特别注意x与-x的范围，然后将它们代入相应区间的函数表达式中，-x与fx一般对应不同的函数表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行判断。例2、判断函数fx=x3-3x2+1,x0x3+3x2-1,x00,x=0-1,x0，设Fx=x2fx，则Fx是（ ）A、奇函数，在R上单调递减 B、偶函数，在-,0上单调递减，在0,+上单调递增C、奇函数，在R上单调递增 D、偶函数，在-,0上单调递增，在0,+上单调递减题型3、奇偶函数图象特征的应用y3-6-36xO给出奇函数或偶函数在y轴一侧的图象，根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，可以作出函数在y轴另一侧的图象。作对称图象时，可以先从点的对称出发，点x0,y0关于原点的对称点为-x0,-y0，关于y轴的对称点为x-0,y0。例3、设奇函数的定义域为-6，6，若当x0,6时，fx的图象如图所示，则不等式fx0，则x的取值范围是 。练习5、已知fx是定义在R上的奇函数，当x0时，fx=x2-4x，则不等式fxx的解集用区间表示为 。题型4、已知函数奇偶性求函数解析式已知函数的奇偶性及其在某个区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知区间的解析式，然后利用函数的奇偶性求解即可。具体方法步骤如下：在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内；将-x代入已知区间的解析式；利用fx的奇偶性把f-x变形为-fx或fx，从而解出fx。例4、已知函数fx是R上的奇函数，当x0时，fx=x2-2x-1，则fx的解析式为 。练习6、已知fx是偶函数，gx是奇函数，求满足下列条件的fx,gx的解析式。（1）fx+gx=x2+x-2 （2）fx+gx=1x-1题型5、利用函数的奇偶性求参数的值已知函数的奇偶性求参数值的三种思路：若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程。一般化策略：对x取定义域内的任一值，利用f-x与fx的关系式恒成立来确定参数的值。特殊化策略：根据定义域内关于原点对称的特殊自变量对应的函数值的关系列出方程处理。不过，这种方法求出参数的值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去。例5、已知函数fx是R上的奇函数，当x0时，fx=xx+1。若fa=-2，求实数a= .练习7、若fx=x+ax-4为偶函数，则实数a= 。题型6、利用函数奇偶性比较大小比较大小问题，一般解法是利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，通过转化到其对称区间上的函数值，使其在同一单调区间上，这样便可以利用单调性比较大小。例6、已知偶函数fx在区间-3，-1上是单调减函数，则f-3,f1,f2的大小关系为 。练习8、已知定义在R上的函数fx在-，2内为减函数，且fx+2为偶函数，则f-1,f4,f112的大小关系为（ ）A、f4f-1f112 B、f-1f4f112 C、 f112f4f-1 D、f-1f1120时，fx=x2+1x，则f-1= 。练习10、已知fx是奇函数，gx是偶函数，且f-1+g1=2,f1+g-1=4，则g1= ( )A、 4 B、3 C、2 D、1题型8、与函数奇偶性有关的函数单调性问题利用奇、偶函数的图象和性质解不等式，解此类问题时一定要充分利用已知条件，把未知不等式转化成fx1fx2的形式，再根据奇函数在对称区间上单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式或不等式组的问题，同时不能漏掉自身定义域对参数的影响。需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式式的一边没有符号“f”时，需转化为含有符号“f”的形式。同时注意偶函数中结论fx=f-x=fx的灵活应用。例8、已知函数y=fx在R上是奇函数，而且在0，+上是增函数，求证：fx在-，0上也是增函数。例9、已知定义在-1，1上的偶函数fx，当x0,1时，fx为增函数，若f1+m0成立。（1）判断fx在-1，1上的单调性，并证明；（2）解不等式：fx+12f1x-1；（3）若fxm2-2am+1对所有的a-1,1恒成立，求实数m的取值范围。题型9、抽象函数的奇偶性问题例11、已知函数fx对任意的a,b都有fa+b+fa-b=2fafb，求证：fx为偶函数。练习11、已知函数fx，xR，若对于任意的实数a,b都有fa+b=fa+fb。求证：fx为奇函数。练习12、已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: .(1)求的值；(2)判断的奇偶性,并证明你的结论。练习13、定义在R上的函数fx满足对任意x,yR恒有f