高等数学B1考试重点辅导文本

（2008.06.06）高等数学（B）（1）考试重点辅导（文本）一、名词解释1定积分2极值3变量4绝对值5幂函数6指数函数7定积分中值定理8原函数9开区间10数轴二、填空题1公元3世纪中国数学家-的割圆术，就用园内接正多边形周长去逼近-这一极限思想来近似地计算 -的。2定积分是对-的度量，求-是定积分概念的最直接的起源。3函数表达了-与-之间的一种对应规则。4绝对值的性质有-、-、-、-、-、-。5函数的定义域为-，它的一阶导数为-。6定积分是对-的度量，求-是定积分概念的最直接的起源。7积分学的基本问题是-，它的数学模型是-，它的物理模型是-，它的几何原型是-。8极限概念描述的是-的终极状态。9微分学的特点有两个：-和-。10导数是逐点定义的，它研究的是函数在-的局部性质。11函数的三种表示方法：-、-、-。12求函数在内的单调下降区间：-。13定积分的值为-。三、判断题1有理数不属于实数范畴内。 （ ）2导数概念与导函数概念是不同的。 （ ）3运用定积分计算不规则图形的面积不是很精确的。 （ ）4若函数在区间有定义且严格单调，则在上存在反函数。 （ ）5若函数在点可导，则它在点连续。 （ ）6任何函数都存在反函数。 （ ）四、计算题1求的二阶导数。2求由曲线与直线所围成的面积3计算4求当时的微分。5设函数，求其原函数。6解不等式。7判断函数的奇偶性：。8求函数的单调区间。9求曲线围成区域绕轴的旋转体体积。10求函数反函数，并指出反函数的定义域。五、应用题1已知等腰三角形的周长是，问它的腰多长时其面积为最大？2利用导数定义计算 的导数。3设圆的半径为，面积为，试求（1）面积关于半径的函数；（2）求半径关于面积的函数。4一物体作直线运动，已知阻力的大小与物体运动的速度成正比，但方向相反。当物体以1米/秒的速度运动时，阻力为0.002N，试建立阻力与速度之间的函数关系。辅导一、名词解释1定积分设函数在区间上连续，用分点把区间分为个小区间，其长度为，。在每个小区间上任取一点：，并作函数值与小区间长度的乘积，求出它们的部分和。记。当时，若部分和有极限，并且与区间的分法无关，与中间值的取法无关，则称此极限值为在上的定积分，记作。2数列极值()定义设有数列和常数，如果对于任意给定的正数，总存在自然数，使得当时，不等式恒成立，则称常数是数列的极限，记为。3变量在观察各种现象或过程中经常遇到一些量是变化的，可以取不同的数值，那么这些量就称为变量。4绝对值数轴上的点到原点的距离为数的绝对值，记作。5幂函数函数（为实数）称为幂函数。6指数函数函数（）称为指数函数。7定积分中值定理设函数在闭区间上连续，则在上至少存在一点，使得。8原函数如果函数与定义在同一区间（），并且处处都有，则称是的一个原函数。9开区间设有两个实数，且，满足不等式的实数的全体称为开区间。10数轴规定原点、正方向和长度单位的直线称为数轴。二、填空题1刘徽，圆周长，圆周率2连续变化过程总效果，曲边形区域的面积3因变量，自变量4，5或，6连续变化过程的总效果，曲边形区域的面积7非均匀变化量的求积问题，求变速运动的路程，曲边梯形的面积8变量在某一变化过程中的9局部性，动态性10某一点11解析法，图形法，表格法121320三、判断题1否2是3否4是5否6否四、计算题1求的二阶导数。解： 2分 3分2求由曲线与直线所围成的面积解：曲线与直线交点为（-1，1）、（2，-2）， 1分于是所求面积为 2分 = 1分 = 1分3计算解： 原式= = 2分= 1分（其中） 2分4求当时的微分。解： 1分当时， 3分 = 1分5设函数，求其原函数。解：设函数为， 则有 1分 1分 3分6解：化简得 1分或 2分解得或 2分7解：根据奇函数定义，有 1分 2分即 2分8解：由于曲线为开口朝上的抛物线，所以该曲线表示的函数有极小值，其顶点可以这样求出：对求导，得，并令其为零得，即曲线的顶点坐标为 3分由此可得当时曲线单调下降 1分当时曲线单调上升。 1分9解： 3分 1分 1分10解：函数的反函数为 2分其定义域为的实数集。 3分五、应用题1解：设等腰三角形的腰长为，则其面积为 2分对其求导得 2分化简得 1分令其为零，得 2分所以，当时，其面积最大， 1分2解：根据导数定义有 3分现在有，则 3分 1分3解（1）面积关于半径的函数为 4