代数几何综合题的解题方法.doc

代数几何综合题的解题方法北京一一中学 李爱民代数、几何综合题是指需综合运用代数、几何这两部分知识解题的问题，是初中数学中知识涵盖面广、综合性最强的题型，它的解法多种多样. 代数与几何综合题考查了数学基础知识和灵活运用知识的能力；考查了对数学知识的迁移整合能力；考查了将大题分解为小题，复杂问题简单化的能力；考查了对代数几何知识的内在联系的认识，运用数学思想方法分析与解决问题的能力.题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数中的方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化，从函数关系中点与线的位置、方程根的情况得出图形中的几何关系.以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代数、几何综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 这类题目往往是中考的压轴题.解题方法：解这类题目时应从代数几何两方面入手，多角度、多线索地深入分析，架起连接代数与几何的桥梁关键点. 灵活运用数学思想方法，如数形结合思想、数学建模思想、分类讨论思想、转化的思想、函数与方程思想等.例1. 生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面)，如图1-1.Q图1-1 如果由信纸折成的长方形纸条(图)长为26 cm，宽为x cm，分别回答下列问题： (1)为了保证能折成图的形状(即纸条两端均超出点P)，试求x的取值范围(2)如果不但要折成图的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示)点拨：将图中的纸条分别沿PM、PQ折叠，把折好的纸条打开，则得到如图1-2所示的带有折痕（虚线）的纸条（数学化）. 我们发现其中等腰直角三角形的斜边长正好等于纸条的宽，PM等于5倍的纸条宽，从而可列方程求解.APMBM图1-2解：（1）由折纸的过程可知，要保证折后纸条两端均超出点P，则必须满足，解得；（2）图是轴对称图形，由纸条两端超出点的长度相等，也即，折叠时起点与点的距离为，而， AM=. 点M与点A的距离是（）cm.归纳：本题设计精巧、颇具创意，以学生喜闻乐见的“折纸”为背景，展示了数学的丰富内涵，材料鲜活、亲切，表述简明、直观，且几何底蕴丰富，极具有挑战性. 既考查了图形变换及轴对称、方程和不等式的知识，又考查了实践能力和数学建模能力，引导学生将实践变为真知，将感性上升为理性，这正是此题设计的价值所在. 如果不亲自动手实践，仅凭想象，是很难得到正确结果的.此题对学生的识图能力和动手实践能力提出了更高的要求. 实践操作型以文字、图形等形式介绍一种图案（实物）的设计（制作）流程，根据流程完成设计或制作，并在此基础解决设计或制作中所遇到的问题. 求解时，要注意挖掘设计（制作）过程中蕴涵的数学知识.图2-1例2. 如图2-1，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系已知OA3，OC2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由点拨：（1）由轴对称的性质，可知FBD=ABD，FB=AB，可得四边形ABFD是正方形，则可求点E、F的坐标；（2）已知抛物线的顶点，则可用顶点式设抛物线的解析式. 因为以点E、F、P为顶点的等腰三角形没有给明顶角的顶点，而顶角和底边都是惟一的，所以要抓住谁是顶角的顶点进行分类，可分别以E、F、P为顶角顶点；（3）求周长的最小值需转化为利用轴对称的性质求解.解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)连结EF，在RtEBF中,B=90，EF=.设点P的坐标为(0,n),n0,顶点F(1,2), 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2，(a0)如图2-2，当EF=PF时，EF2=PF2，12+(n-2)2=5，解得n1=0(舍去)，n2=4.P(0，4)，4=a(0-1)2+2，解得a=2，抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2如图2-3，当EP=FP时，EP2=FP2，(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=(舍去) 当EF=EP时，EP=3，这种情况不存在.综上所述，符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2(3)存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小如图2-4，作点E关于x轴的对称点E，作点F关于y轴的对称点F，连结EF，分别与x轴、y轴交于点M、N，则点M、N就是所求. 连结NF、ME.E(3，-1)、F(-1，2)，NF=NF，ME=ME. BF=4，BE=3.FN+NM+ME=FN+NM+ME=FE=5.又EF=，FN+MN+ME+EF=5+，此时四边形MNFE的周长最小值为5+.图2-2POECyxADBFDPO图2-3ECyxABFxEFMNO图2-4ECyADBF归纳：本题考查了平面直角坐标系、等腰直角三角形、抛物线解析式的求法、利用轴对称性求最短距离以及数形结合、分类讨论等数学思想. 分类讨论的思想要依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类原则是不重不漏、最简. 分类常见的依据是：一是依概念分类，如判断直角三角形时明确哪个角可以是直角，两个三角形相似时分清谁与谁可以是对应角；二是依运动变化的图形中的分界点进行分类，如一个图形在运动过程中，与另一个图形重合部分可以是三角形，也可以是四边形、五边形等. 几何与函数的综合题是中考常见的压轴题型，解决这类问题主要分为两步：一是利用线段的长确定出几何图形中各点的坐标；二是用待定系数法求函数关系式.例3. 已知：如图3-1，在中，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接若设运动的时间为（），解答下列问题：（1）当为何值时，？（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图3-2，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由AQCPB图3-1AQCPB图3-2点拨：（1）当PQBC时，APQABC，从而可列比例式，求出t的值； （2）过点P作PHAC于H，由APH ABC，得，求出PH，然后由SAPQ=PHAQ, 求出关于的函数关系式；（3）先假设存在，再由假设出发结合已知条件求出t的值.图3-3BAQPCH解：（1）在RtABC中，由题意知：AP = 5t，AQ = 2t，若PQBC，则APQ ABC. ， （2）过点P作PHAC于H如图3-3.APH ABC，. （3）若PQ把ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ， 解得：若PQ把ABC面积平分，则， 即3t=3 t=1代入上面方程不成立， 不存在这一时刻t，使线段PQ把RtACB的周长和面积同时平分（4）过点P作PMAC于，PNBC于N，如图3-4.若四边形PQP C是菱形，那么PQPCP 图3-4MBAQPCNPMAC于M，QM=CMPNBC于N，易知PBNABC ， ，解得：当时，四边形PQP C 是菱形此时，在RtPMC中，菱形PQP C边长为归纳：本题属于涉及动点和存在性问题的代几综合题，题目应用的知识面广，兼顾基础与能力，难度较大.考查的知识点主要有相似三角形、四边形、图形的轴对称、方程与函数等相关知识. 解决几何与函数这类问题的关键是要将函数的变量与几何中的