高等数学B1教学大纲

课程编号：0601101高等数学(B1) Advanced Mathematics (B1)总学时：80 总学分：5 课程性质：公共基础课开设学期及周学时分配：第一学期，周5学时适用专业及层次：全校本、专科生（高材，化工，化学，物流，金属，材化，工专等专业）相关课程：先行课程无，后继课程：概率论与数理统计，复变函数与积分变换等教材：高等数学（第六版），同济大学应用数学系编著，高等教育出版社， 2002年推荐参考书：1. 高等数学附册学习辅导与习题选解(同济四、五版)，同济大学应用数学系编著，高等教育出版社，2002年；2.高等数学，宣立新编著，高等教育出版社，2005年。3.高等数学学习指导，青岛科技大学数学系编，国际工业出版社，2010年。一、课程目的及要求高等数学课程在高等工科学校的教学计划中是一门重要的基础理论课。它是为培养适应我国社会主义现代化建设的需要高质量的专门人才服务的。目的：通过本课程的学习，要使学生获得以下知识：1. 函数、极限、连续；2. 一元函数微积分学；3. 常微分方程本课程的学习可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础。同时，通过各教学环节，逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力，综合运用所学知识分析和解决实践问题的能力，初步抽象概括问题的能力，自学能力以及一定的逻辑推理能力。基本要求：（一）函数、极限、连续1. 理解函数的概念，知道映射的概念。2. 理解函数的单调性、周期性、有界性和奇偶性。3. 了解反函数与复合函数的概念。4. 熟练掌握基本初等函数的性质及其图形。5. 能列出简单实际应用问题中的函数关系。6. 知道极限的-N, -定义。7. 掌握极限的四则运算法则。8. 了解两个极限存在准则，掌握用两个重要极限求极限的方法。9. 了解无穷小、无穷大的概念，熟练掌握无穷小的比较。 10. 理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型。11. 知道初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质，掌握并应用零点定理，介值定理、最值定理。（二）一元函数微分学1. 理解导数和微分的概念，了解导数的几何意义及函数可导性与连续性的关系，会用导数的定义求分段函数在分段点处的导数。2. 熟悉导数和微分的运算法则，熟练掌握初等函数的一阶、二阶导数。了解微分在近似计算中的应用。3. 会求隐函数的导数，会求参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，了解相关变化率的概念。4. 理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理，并会应用拉格朗日中值定理。5. 理解函数极值的概念，掌握求函数极值的方法。6. 掌握函数的单调性与曲线的凹凸性的判定法，会利用函数的单调性证明不等式。7. 会求曲线的拐点并作图，解决较为简单的最大（小）值的应用题。8. 熟练掌握洛必达法则。9. 知道曲率的概念，并会计算曲率和曲率半径。（三）一元函数的积分学1. 理解不定积分的概念、定积分的概念及其性质。2. 熟悉不定积分的基本公式，熟练掌握不定积分和定积分的换元法和分部积分法，掌握较简单有理函数的积分。3. 熟练掌握变上限函数的求导及牛顿莱布尼兹公式。4. 了解反常积分的概念。5. 熟练掌握用定积分求平面图形面积、体积、弧长的方法，掌握用定积分元素法的思想求功、水压力。（四）常微分方程1. 理解微分方程、通解、初始条件和特解等概念。2. 会判别下列几种一阶微分方程：可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程和全微分方程。3. 掌握可分离变量方程及一阶线性方程的解法。4. 会解齐次方程和伯努利方程。5. 会解较简单的全微分方程。6. 知道几种特殊的高阶方程降阶法。7. 掌握二阶线性微分方程解的结构。8. 熟练掌握二阶线性常系数齐次方程的解法，并了解高阶线性常系数齐次方程的解法。9. 了解二阶常系数非齐次线性方程的解法。10. 会解欧拉方程。二、课程内容及学时分配课程内容：1. 函数函数的概念及其表示法，函数的特性，反函数，复合函数，分段函数，基本初等函数，初等函数。2. 极限与连续数列极限的-N定义，函数极限的-定义，函数的左、右极限，无穷小与无穷大，无穷小与函数极限的关系，无穷小的性质，极限的四则运算法则，极限存在准则，两个重要极限，无穷小的比较。函数连续的定义，函数的间断点及其分类，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。3. 导数与微分导数及微分的定义及其几何意义，平面曲线的切线与法线，函数的可导性与连续性的关系，左、右导数，导数与微分的运算法则，反函数的导数，复合函数的导数，基本初等函数的导数公式，高阶导数，隐函数求导，对数求导法，由参数方程所确定的函数的导数，相关变化率。一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用。4. 中值定理与导数应用罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒中值定理，洛必达法则，函数单调的判定法，函数的极值及其求法，最大值与最小值的求法及其简单的应用问题，函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，水平、垂直渐近线，函数的作图，弧长的微分，曲率及其计算公式，曲率圆与曲率半径。5. 不定积分原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法及分部积分法，有理函数的积分法，三角有理式和简单无理式的积分。6. 定积分及其应用定积分的定义及其几何意义，定积分的存在性，定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数，牛顿莱布尼兹公式，定积分的换元法与分部积分法，反常积分的概念和计算。定积分的几何应用与物理应用。 7. 常微分方程微分方程的概念，一阶微分方程，可降阶的高阶微分方程，线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的解法，二阶常系数非齐次线性微分方程特解的求法，欧拉方程。学时分配：课程内容讲课时数函数、极限、连续16一元函数微分学及其应用24一元函数积分学及其应用26常微分方程14总计学时节80三、教学重点与难点第一章重点：基本初等函数及其性质，邻域，函数的几个特性，分段函数，复合函数，极限的四则运算法则，函数的左、右极限，两个重要极限，无穷小的比较，函数连续性与间断点，闭区间上连续函数的性质。难点：复合函数，极限的定义，求函数的间断点及其分类。 第二章重点：导数的定义及其几何意义，可导与连续的关系，左、右导数，导数运算法则，基本初等函数的导数公式，复合函数的导数，隐函数的求导，由参数方程所确定的函数的导数，微分的概念。难点：复合函数的导数，分段函数在分段点处的导数，由参数方程所给定的函数的二阶导数。 第三章重点：罗尔定理，拉格朗日中值定理，泰勒中值定理，洛必达法则，函数极值的求法，曲线的凹凸性与拐点，用中值定理及单调性证明等式、不等式，弧长的微分。难点：拉格朗日中值定理的证明，泰勒公式。第四章重点：原函数与不定积分的概念，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法及分部积分法，简单有理函数的积分。难点：原函数与不定积分的概念，换元积分法及分部积分法的综合运用。第五章重点：定积分的概念和性质，积分上限函数的导数，牛顿莱布尼兹公式，定积分的换元法与分部积分法。难点：定积分的概念，定积分的换元法，与积分上限函数有关的证明问题，反常积分。第六章重点：定积分的元素法，定积分的几何应用。难点：定积分的元素法。第七章重点：微分方程的概念，可分离变量微分方程，一阶线性微分方程，二阶线性微分方程解的结构，二阶常系数线性微分方程的解法。难点：判别一阶微分方程的类型，求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解。四、主要教学方法以课堂讲授为主，多媒体辅助教学。五、典型作业练习(一)函数极限连续1. 设的定义域为0，1，求的定义域。2. 判别函数当时的极限存在性。3. 若，试求常数a,b.4. 已知，求证存在，并求极限。5. 求下列极限：1） 2) 3) 6. A为何值时，函数在x=0处连续。7. 指出下列函数的间断点及间断点类型，若为可去间断点，请补充或改变函数的定义使之连续：1）, 2）8. 证明方程在内至少有一根。（二）一元函数微分学1. 已知2. 设在处可导且，则 。3. 求的导数。4. 设可导，求的导数。5. 设存在，求的二阶导数。6. 用对数求导法求的导数。7. 设由确定，求。8. 求参数方程所确定函数的导数。9. 设,则= 。10. 设上连续，在内可导且,证明在内至少存在一点，使。11. 函数的n阶麦克劳林公式为 。12. 设函数上可导，根据拉格朗日中值定理，应至少存在一点，使= 。13. 求极限。14. 证明：当时，。15. 设函数的导函数，求的单调区间和极值点，曲线的凹凸区间与拐点的横坐标。16. 求抛物线在其顶点处的曲率及曲率半径。（三）一元函数积分学1. 求不定积分。2. 若是的一个原函数，则 。3. 求定积分4. 求，其中5. 设由确定，求。6. 设,则 。7. 求由所围平面图形的面积，求该平面图形绕轴旋转所得立体体积。（四）常微分方程1方程是 阶微分方程。2. 求一阶微分方程的通解。3. 求方程的通解；4. 求方程的通解。5. 求方程的一个特解形式。6. 求函数在点（1，1，1）处沿着从点（1，1，1）到点（2，3，3）的方向的方向导数7. 求函数的极值。8. 求函数在条件x+y=1下的极大值。六、课程考核方式1、采取闭卷考试考核；