复变函数与积分变换讲稿 第二章拉普l拉斯变换

第二章 拉普拉斯变换(2)拉普拉斯（Laplace）变换（简称拉氏变换）在电学、力学、控制论等很多工程与科学领域中有着广泛的应用。对某些问题，它比傅氏变换的适用面要广，这是因为它对像原函数要求的条件比起傅氏变换来要弱的缘故。1 拉普拉斯变换的概念 一、从傅氏变换到拉氏变换 傅氏变换要求函数满足狄氏条件，且在内绝对可积，但在工程技术中，变量是时间，定义在内，而且，许多常用的函数（例如单位阶跃函数，正弦、余弦，线性函数等），都不满足绝对可积的条件，所以我们对傅氏变换中的被积函数，使其积分定义在，另外，再乘以指数衰减函数，使其衰减速度加快，当时，只要足够大，则就能满足绝对可积，因此傅氏变换就转换为拉氏变换。即 ，其中 ，令，则可得称该积分变换为拉普拉斯变换。二、拉氏变换的概念定义1 设为实变量的实值（或复值）函数，当时有定义，如果积分 （其中为复参数）在的某一区域内收敛，则由此积分就确定了一个复变数的复函数，即 ，称该积分变换为拉普拉斯变换 （1）记为 ，即 ，并称为的拉氏变换的像函数。相反，从到的对应关系称为拉氏逆变换（或称为拉氏反变换），记作，并称为的拉氏逆变换的像原函数。三、一些常用函数的拉氏变换例1 求单位阶跃函数 的拉氏变换。解 由（1）式得。由于 ，所以，当且仅当时，存在且等于零。从而 ，括号中的是函数的拉氏变换的积分收敛域。例2 求，其中为复常数。解 由（1）式得 例3 求，其中为复常数。解 。由例3，上式右端第一个积分当且仅当时收敛，而第二个积分当且仅当时收敛。于是有 。类似地，可验证： ， ， 。这里为复常数。例4 求幂函数的拉氏变换。解 。令，则 ，所以有。当为正整数时，则有。周期函数的拉氏变换若函数以为周期，即当在下一个周期上是分段连续时，则有。例5 求周期三角波，且的拉氏变换。 解 由公式 。 例6 求单位脉冲函数的拉氏变换。解 利用性质，有 。四、拉氏变换的存在定理定义 对实变量的复值函数，如果存在两个常数及，使对于一切都有 （5） 成立，即的增长速度不超过指数函数，则称为指数级函数，为其增长指数。拉氏变换存在定理 设函数满足下列条件：； 的任一有限区间上分段连续，间断点的个数是有限个，且都是第一类间断点； 是指数函数。则的拉氏变换 在半平面上一定存在，此时上式右端的积分绝对收敛，同时在此平面内，是解析函数。证 由条件可知，存在常数及，使得 ，于是，当时， ，所以积分 在内收敛（而且绝对收敛），即存在。推论 若满足上述存在定理中的条件，则 。事实上，当时，即。 。 习题 二、1. 4），6）；2. 2），3），5）；6.1），3）；11.1），3）。2 拉普拉斯变换的基本性质1. 线性性若，则对于任何两个复常数和，有 ，或 。2相似性若 ，且，则 。证 作变量代换，可得 。 3延迟性 若，则对于任意非负实数有 ，或 。证 。例 求 的拉氏变换。这个函数由单位阶跃函数向右平移而得，如下图。解 由，由延迟性则有 。例 求的拉氏变换。解 。4位移性 若，则有证 例 求。解 因为，利用位移性，可得。同样 。例 求的原像函数。解 由于，由位移性，所以同样，。5微分性质10像原函数的微分性质若在上可微，则。证 由定义，利用分部积分法可得推论 若在中次可微，且满足拉氏变换存在定理的条件，又，则有 特别当初值 ，则 。例 已知，利用原像函数的微服性质，可求出。解 由于。20像函数的微分性质若，则。证 因为在半平面内解析，因而可导，即更一般地，有。例 求。解 因为，而，由像函数的微分性质，所以 。6积分性质若，则。证 设，则，且，所以有 ，所以 。例 。解 利用，由像函数的积分性可得 推广 。7像函数的积分性质若，且积分收敛，则。或 。更一般地有 。例 求的拉氏变换。解 由于，由像函数的积分性质有。如果积分 ，其中 。例如 积分，与前面的狄氏积分的结果完全相同。 7. 2），4），6），9）13）；8. 1），3），7），10）；9. 2），4），8），11）；。 3 拉普拉斯逆变换前面我们已经讨论了由已知原象函数，如何求它的拉氏变换后的原象函数。同样，我们也要讨论由已知象函数，如何求它的原象函数的问题。当然，我们可以根据拉氏变换的性质，求出某些象函数的原象函数，但对于一般的象函数，如何求出它们的原象函数？这就是我们要讨论的拉氏变换的逆变换问题。 一、复反演积分公式 定理 1 . 若函数满足拉氏变换存在定理中的条件， 为收敛坐标，则 由下式给出 ， （1） 其中为的连续点。 如果为的间断点，则改成 。 这里的积分路线是平行于虚轴的任一直线。 我们称（1）式为复反演积分公式。其中的积分应理解为 。 证 由1的拉氏变换存在定理，当时，在上绝对可积；又当时，。因此函数在上也绝对可积，它满足傅氏积分存在定理的全部条件，所以在连续点处有 ，将上式两边同乘以，并考虑到它与积分变量无关，得 。令，则，对的积分限变为对的积分限。于是 ，其中积分路线是半平面内任一条平行于虚轴的直线。实际上，利用复反演积分公式计算原象函数是很困难的。但由于是的解析函数，所以可以利用复变函数积分的某些方法求出原象函数。二、像原函数的求法1 利用留数求像原函数因为在直线及其右半平面内是解析的，则一般在直线左半平面内是不解析的，设在左半平面内含有奇点。利用复变函数的围道积分的方法来计算复反演积分。取如下图所示的围道，是直线左侧， 以为心，以为半径的圆弧，取充分大，使的所有奇点都包含在围道内部。另外，在全平面上是解析的，所以的奇点就是的奇点，这样 。由留数定理，上式右端的积分为。再令，上式右端显然与无关，左端第一个积分的极限是复反演公式（1）；而对于第二个积分，如果，且当时，则根据复函数中的约当（Jordan）引言，可证 。于是 。由此，可归纳出下面的定理。定理2 若全平面上只有有限个奇点，它们全部位于直线的左侧，并且当时，则有 ， （2）即使在的左侧的半平面内有无穷多个奇点，（2）式在一定条件下也是成立的，即可以是有限数也可以是。2有理分式的像原函数 设像函数为有理分式函数，其中和都是的多项式，它们没有公因子，的次数是且的次数高于的次数。这样的函数当然满足定理2中对的要求，因此（2）式成立。现分下面两种情况来讨论。情况一 若有个单零点，即这些点都是的一阶极点，则有一阶极点的留数计算法，知 。这样，根据（2）式，有 。情况二 若有阶零点，而其余是的单零点，即是的阶极点，是的一阶极点，则由高阶极点的留数计算法，知 。所以 。如果有几个多重零点，有关公式可类似推得。上述两种情况中的两个公式通常称为对于有理分式的像原函数除了用海维塞德展开式来求外，还可以采用像有理分式的部分分式法那样，把它分解为若干个简单分式之和，逐个求出像原函数。例1 求。解 有两个极点：（一阶极点）和（二阶极点）。由，根据性质，可得像原函数 。（也可以利用积分性质，位移性质得到）。 例 已知，求。 解 可求出两个根： ，为三阶极点，为二阶极点， 法一：则由海维赛德（Heaviside）展开式=。法二；用部分分式法：，由反变换公式可得例2 求。解 ，根据性质，可得像原函数 。例3 求。解 方法一：为二阶极点，为一阶极点，所以 。方法二：由于 ，所以 。方法三： ，而 ，像函数积分性 ，得。对有理分式求像原函数：1） 如果有理分式像函数比较简单，可采用部分分式法求像原函数较为简便；2） 当有理分式的分母的次数较高于或多项式较为复杂时，用部分分式法求像原函数就显得较麻烦，可以用海维赛德（Heaviside）展开式计算。4 卷积与卷积定理 一、卷积的概念前面我们已经讨论过傅氏变换的卷积性质。在那里讲过，两个函数的卷积是指 。 （4.1）在拉氏变换中，卷积的定义如下： 如果与都满足条件：当时，则上式可写成 。 例1 求函数和的卷积，即求。 。卷积也满足交换律：，所以 。同样，它也满足结合律与对加法的分配律，即 ， 。2卷积定理 假定满足拉氏变换存在定理中的条件，则的拉氏变换一定存在，且 ，或 。 （4.2）证 容易验证满足拉氏变换存在定理的条件。它的变换式为 。从上面这个积分式子可以看出，积分区域如下图所示（阴影部分）。 由于二重积分绝对可积，可以交换积分次序，即 。令，则 ，所以 。这个性质表明两个函数卷积的拉氏变换等于这两个函数拉氏变换的乘积。不难推证，若 满足拉氏变换存在定理中的条件，且，则有 。在拉氏变换的应用中，卷积定理起着十分重要的作用。 例2 若，求。解 因为，取 ，于是，根据卷积定理和例1，得。例3 若，求。解 因为，所以 。 例4 若，求。解 因为 。根据位移性质， ，所以 。 * 例5 利用卷积定理证明 ，并用此结论计算： （1） ，其中为工程技术中经常遇到的误差函数。它在的值为。 证明：因为 利用，当时，；，利用卷积定理，原结论成立。 （1）利用上述结论，记，则 利用了像函数的位移性，则 =，即有 （2）积分 而 ，再由像函数的微分性，所以有 ，原积分= =。 例6 已知，求。 解 与的图形如下：它们分别可以用单位阶跃函数来表示则 ， 由卷积定理，可得= 13. 1），3），4）；14. 2），4），6）；15.2）；16. 1），4），6）。5 拉普拉斯变换的应用拉氏变换的重要应用之一是解线性微分方程，其求解方法与傅氏变换解线性微分方程相类似，大致包括以下三个基本步骤： （1）对关于的微分方程（连同初始条件在一起）进行拉氏变换，得到一个关于像函数的代数方程，常称为像函数方程。（2）解像函数方程，得像函数。（3）对作逆变换，得微分方程的解。它的基本思想可用一个方框图简明地表示如下： 这种简化计算的方法，可与初等数学中用对数简化计算的方法类比。 一、解常系数线性微分方程 1初值问题 例1 求，满足初始条件的特解。解 设，对方程两边取拉氏变换，则得 ,并考虑到初始条件，可得像函数方程 。，解像函数方程，得 。取拉氏变换的逆变换，最后可得 。例2 如在下图的电路中，当时，开关闭合，接如信号源，电感起始电流等于零，求。 解 所满足的微分方程为且满足初始条件。设，对方程的两边同时取拉氏变换，得像函数方程，取逆变换，再利用卷积定理，可得。所得的结果中的第一部分是代表了一个稳定的（幅度不变的）震荡，第二部分则是随时间而衰减。 例3 求满足初始条件的特解。解 像方程为 ，于是 。取逆变换，得 。 例4 求满足初始条件的特解。解 像方程为 ，于是 。取逆变换， ，所以，原像函数 2边值问题 例5 求满足的特解。解 像函数为 ， ，于是 。取逆变换，可得 。用代入上式，可得 ，所以 ，从而得 。二、解常系数线性微分方程组 例6 求 满足的解。解 对方程组的每个方程两边取拉氏变换，设，并考虑到初始条件，这样就可得到像方程组 解此方程组，得 。对每一像函数取逆变换，可得 ， ， 。 三、解某些变系数微分方程例7 求解变系数二阶线性微分方程 。解 对方程的两边同时取拉氏变换，并设有，由拉氏变换的微分性质及像函数的微分性， ，经整理