南京信息工程大学高数期末考试试卷aB.pdf

南京信息工程大学试卷南京信息工程大学试卷 学年学年 第第 1 1 学期学期高等数学高等数学课程试卷课程试卷( ( B B 卷卷) ) 本试卷共本试卷共页；考试时间页；考试时间 120120 分钟；任课教师分钟；任课教师课程组； A卷第 1页共 8 页 编号 题序一二三四 总 分 得分 一、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 评 分 阅 卷 人 1、已知 22 (,) y f xyxy x ,则),(yxf_. 2、已知 dxe x 2 ,则 dxex x 0 2 1 _. 3、函数 22 ( , )1f x yxxyyy在_点取得极值. 4、已知yyxxyxfarctan)arctan(),(,则 )0 , 1 ( x f_. 5、以 x exCCy 3 21 )( 21,C C为任意常数)为通解的微分方程是 _. 二、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 评 分 阅 卷 人 6、知dxe xp 0 )1( 与 e p xx dx 1 1 ln 均收敛, 则常数p的取值范围是(). (A)1p (B)1p (C)12p(D)2p 7、数 0 , 0 0 , 4 ),( 22 22 22 yx yx yx x yxf在原点间断, 是因为该函数(). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若 22 22 3 1 1 1 xy Ixy dxdy , 22 22 3 2 12 1 xy Ixy dxdy , 22 22 3 3 24 1 xy Ixy dxdy ,则下列关系式成立的是(). (A) 123 III(B) 213 III (C) 123 III(D) 213 III 9、方程 x exyyy 3 ) 1(596 具有特解(). (A)baxy(B) x ebaxy 3 )( (C) x ebxaxy 32 )(D) x ebxaxy 323 )( 10、设 1 2 n n a收敛，则 1 ) 1( n n na (). (A) 绝对收敛(B) 条件收敛(C) 发散(D) 不定 三、计算题(每小题 6 分,共 60 分) 评 分 11、求由 2 3 xy ,4x,0y所围图形绕y轴旋转的旋 转体的体积. 评 分 评 阅 人 A卷 第 3页共 8 页 12、求二重极限 11 lim 22 22 0 0 yx yx y x . 13、),(yxzz 由xyez z 确定，求 yx z 2 . 评 分 评 阅 人 评 分 评 阅 人 14、用拉格朗日乘数法求 22 1zxy在条件1 yx 下的极值. 15、计算 1 2 1 2 dxedy y y y x . 评 分 评 阅 人 评 分 评 阅 人 A卷 第 5页共 8 页 16、计算二重积分 22 () D xydxdy ，其中D是由y轴 及圆周 22 1xy所围成的在第一象限内的区域. 17、解微分方程xyy . 评 分 评 阅 人 评 分 评 阅 人 18、判别级数)11( 1 33 n nn的敛散性. 19、 将函数 x3 1 展开成x的幂级数,并求展开式成立的 区间. 评 分 评 阅 人 评 分 评 阅 人 A卷 第 7页共 8 页 20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商 品的广告.根据统计资料,销售收入R(万元)与电台 广告费用 1 x(万元)的及报纸广告费用 2 x(万元)之间 的关系有如下的经验公式: 2 2 2 12121 1028321415xxxxxxR， 求最优广告策略. 四、证明题(每小题 5 分,共 10 分) 评 分 21、设 11 33 ln()zxy，证明： 1 3 zz xy xy . 评 分 评 阅 人 评 分 评 阅 人 22、若 1 2 n n u与 1 2 n n v都收敛,则 1 2 )( n nn vu收敛. 评 分 评 阅 人 A卷第 1页 一、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 1、 2(1 ) 1 xy y .2、.3、) 3 2 , 3 1 (.4、1.5、 6 0yyy. 二、选择题(每小题 3 分,共 15 分) 6、(C ).7、 (B).8、(A) .9、(D).10、(D). 三、计算题(每小题 6 分,共 60 分) 11、求由 2 3 xy ,4x,0y所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积. 解： 3 2 yx的反函数为 2 3, 0 xyy。且4x时，8y。于是 24 88 22 33 00 8 37 73 0 (4)16 (80) 33 128128(80) 77 512 7 Vydyy dy y 12、求二重极限 11 lim 22 22 0 0 yx yx y x . 解：原式 11 ) 11)( lim 22 2222 0 0 yx yxyx y x (3 分) 2) 11(lim 22 0 0 yx y x (6 分) )6( )3( 分 分 A卷第 2页 13、),(yxzz 由xyez z 确定，求 yx z 2 . 解：设( , , ) z F x y zzexy，则 x Fy ， y Fx ，1 z z Fe 11 x zz z zFyy xFee ， 11 y zz z F zxx yFee (3 分) 2 22 1 1 1(1)1(1) zz z zzzz z ey e zye xyy x yyeeee (6 分) 14、用拉格朗日乘数法求 22 1zxy在条件1 yx下的极值. 解： 222 (1)1222zxxxx 令420zx,得 1 2 x ,40z , 1 2 x 为极小值点.(3 分) 故 22 1zxy在1yx 下的极小值点为 1 1 ( , ) 2 2 ,极小值为 3 2 (6 分) 15、计算 1 2 1 2 dxedy y y y x . 解： 2 1 1 2 1 2 31 82 x y y y Idye dxee (6 分) A卷第 3页 16、计算二重积分 22 () D xydxdy ，其中D是由y轴及圆周 22 1xy所围成的 在第一象限内的区域. 解： 22 () D xydxdy 1 3 2 00 dr dr 8 (6 分) 17、解微分方程xyy . 解：令yp,py ,方程化为xpp,于是 )( 1 ) 1() 1( Cdxexep dxdx )( 1 Cdxexe xx ) 1( 1 Cexe xx x eCx 1 ) 1(3 分) 21 2 1 ) 1( 2 1 ) 1(CeCxdxeCxdxpy xx (6 分) 18、判别级数)11( 1 33 n nn的敛散性. 解： 33 33 2 11 11 nn nn (3 分) 因为 33 33 11 limlim1 1 11 nn nnn n nn n n (6 分) A卷第 4页 19、将函数 x3 1 展开成x的幂级数,并求展开式成立的区间. 解：由于 3 1 1 3 1 3 1 x x ,已知 0 1 1 n n x x ,11x,(3 分) 那么 0 1 0 3 1 ) 3 ( 3 1 3 1 n n n n n x x x ,33x.(6 分) 20、 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料, 销售收入R(万元)与电台广告费用 1 x(万元)的及报纸广告费用 2 x(万元)之间 的关系有如下的经验公式: 2 2 2 12121 1028321415xxxxxxR， 求最优广告策略. 解：公司利润为 2 2 2 1212121 1028311315xxxxxxxxRL 令 , 020831 , 04813 21 12 2 1 xxL xxL x x 即 ,31208 ,1384 21 21 xx xx 得驻点)25. 1 ,75. 0() 4 5 , 4 3 (),( 21 xx,而(3 分) 04 11 xx LA,8 21 xx LB,20 22 xx LC, 06480 2 BACD, 所以最优广告策略为： 电台广告费用75. 0(万元),报纸广告费用25. 1(万元).(6 分) 四、证明题(每小题 5 分,共 10 分) A卷第 5页 21、设 11 33 ln()zxy，证明： 1 3 zz xy xy . 证： 22 3311 33 1111 3333 , xyzz xy xyxy (3 分) 22 33 11 33 11 33 1111 3333 11 33 11 33 xyzz xyxy xy xyxy xx xy (6 分) 22、若 1 2 n n u与 1 2 n n v都收敛,则 1 2