北师版八年级上册《勾股定理》知识总结与练习题.doc

勾股定理1. 知识总结1. 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么2勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为,大正方形面积为， 所以 方法三：，化简得证3勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直 角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。4勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，则，知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题5勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较:若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，为三边的三角形是锐角三角形；定理中,及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形6. 勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；等用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）7. 勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解8. 勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论9. 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：10.互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。应用题的常见题型及数量关系： (1)行程问题：路程速度时间 (2)工程问题：工作总量工作效率工作时间 (3)浓度问题：溶质溶液浓度 (4)利率问题：本息和本金利息，利息本金利率期数 (5)利润问题：利润成本利润率，利润售价成本 (6)价格问题：总价单价数量 (7)水流问题：顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度 此外还有：等积变形问题、数字问题、比例问题、调配问题、与几何图形相关的问题、勾股定理复习题一、选择题 1.如图直线上有三个正方形，若的面积分别为5和11，则的面积【 】图3（A）4 (B) 6 (C) 16 (D) 552 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为 【 】（A）12 （B）7 （C）12或7 （D）以上都不对 3 若三角形三边长为a、b、c，且满足等式，则此三角形是（ ）.（A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）直角三角形 4直角三角形两直角边分别为5、12，则这个直角三角形斜边上的高为（ ）.（A）6 （B）8.5 （C） （D） 5 一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需 （ ）.（A）6秒 （B）5秒 （C）4秒 （D）3秒6 如图5所示，在长方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且BE=12，BF=16，则由点E到F的最短距离为（ ）. （A）20 （B）24 （C）28 （D）327 我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么 的值为（ ）.（A）1 （B）12 （C）13 （D）25 图28已知、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是 【 】（A）底与边不相等的等腰三角形 （B）等边三角形 （C）钝角三角形 （D）直角三角9如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大的正方形E的面积是【 】（A）13 （B）26 （C）47 （D）9410已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为 【 】（A） （B） （C） （D）11设一个直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边上的高为 h，斜边长为c，则以 c+h，a+b，h为边的三角形的形状是（ ）A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 12. ABC中，AB=15，AC=13。高AD=12。则ABC的周长是（ ） A. 42 B. 32 C. 42或32 D. 37或3313、三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为. ( )A、6 B、4.5 C、2.4 D、8 14、下面几组数:7,8,9；12,9,15；m + n, m-n, 2mn（m，n 均为正整数,mn）；,.其中能组成直角三角形的三边长的是.( )A、 B、 C、 D、15三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是 ( )A、a:b:c=81617 B、a-b=c C、a=(b+c)(b-c) D、a:b:c =13512 16、三角形的三边长为,则这个三角形是( ) A、等边三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、锐角三角形 17、已知一直角三角形的三边的平方和为，则斜边长为 ( )A、 B、 C、 D、18、在RtABC中，C=90，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是 ( )A、 B、 C、 D、 19、在中，BC边上的高，则的周长为 ( )A、42 B、32 C、42或32 D、37或3320、已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是 ( ) A、5 B、25 C、D、5或21、已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是 ( )A、24cm B、36cm C、48cm D、60cm22、直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( )A、121 B、120 C、90 D、不能确定23、在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是 ( )A、a=9 b=41 c=40 B、a=b=5 C=5C、a:b:c=3:4:5 D、a=11 b=12 c=15 24、下列说法正确的有 ( ) ABC是直角三角形，C=90，则a+b=c.ABC中，a+bc，则ABC不是直角三角形.ABC中，a-b=c，则ABC是直角三角形.ABC是直角三角形，则(a+b)(a-b)=c.A、4个 B、3个 C、2个 D、1个25、已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是( ) A、24cm B、36cm C、48cm D、60cm26、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ( )图2A、13 B、19 C、25 D、169图3图127、如图2，四边形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且ABC=90，则四边形ABCD的面积是 ( )A、84 B、30 C、36 D、无法确定28、如图3，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，B C交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为 ( )A、3 B、4 C、5 D、629Rt一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt的周长为（） A、121B、120C、132D、不能确定30.如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为【 】A 8 B 4 C 8 D 6二、填空题图51. 如图5，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面=，则是 2国庆期间，小华与同学到“花鼓灯嘉年华”去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东拐，仅走了1千米，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是【 】3.如图2，甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的在RtABC中，若直角边AC6，BC6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是_.图1 图2 AB图34.如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，如果圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是 . 5如图5，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米6如图6，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草图5图8图6 7如图以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为 8. 如图，有一圆柱，其高为12cm，它的底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为_ cm。（取3） 9 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于_ 。 10、一株荷叶高出水面1米，一阵风吹来，荷叶被吹得贴着水面，这时荷叶偏离原来的位置有3米远，如图4所示，则荷叶的高度为 米.图5图4 图611、将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中（如图5），设筷子露在杯子外面的长度是为hcm ，则h的取值范围是 12、如图6，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为 13、小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 14、如图，已知在中，分别以， 为直径作半圆，面积分别记为，则+的值等于 15.图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在RtABC中，若直角边AC=6，BC=6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是_。5201510CAB16、如图，已知RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，现将ABC进行折叠，使顶点A、B重合，则折痕DE=_cm 17、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是18、如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为，若一只小虫从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路程是 （结果保留根号）. 19 如图7，已知在中，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，则+的值等于 20 如图8，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为 DBCA第20题图21在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米。解答题1、已知直角三角形的周长是，斜边长2，求它的面积2、如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？AB小河东北牧童小屋3、如图长方形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3求AB的长.4.如图11