几种频谱分析细化方法简介.doc

高分辨率频谱分析算法实现高分辨率频谱分析算法实现【摘要】随着电子技术的迅速发展，信号处理已经深入到很多的工程领域，信号频域的特征越来越受到重视。在信号通信、雷达对抗、音频分析、机械诊断等领域，频谱分析技术起到很大的作用。基于数字信号处理（DSP）技术的频谱分析，如果采用传统的快速傅里叶（FFT）算法则只能比较粗略的计算频谱，且分辨率不高；但是采用频谱细化技术就能对频域信号中感兴趣的局部频段进行频谱分析，就能得到很高的分辨率。常见的方法有基于复调制的ZoomFFT 法、Chirp-Z 变换、Yip-ZOOM 变换等，但是从分析精度、计算效率、分辨率、灵活性等方面来看，基于复调制的ZoomFFT 方法是一种行之有效的方法。实验结果表明该方案具有分辨率高、速度快的特点,具有较高的工程应用价值。【关键字】频谱分析;频谱细化;Z变换【Abstract】With the rapid development of electrical technology, signal processing has been widely used in many engineering fields and special attention has been paid to the characteristic of signal frequency. The spectrum analyzer technology takes a great part in the fields like signal communication, rador countermeasures, audio analysis, mechanism diagnose. Based on digital signal processing (DSP) technology, the spectrum analysis system, while the use of the fast Fu Liye traditional (FFT) algorithm can calculate the frequency spectrum is rough, and the resolution is not high; but using spectrum zoom technique can analyze the frequency spectrum of the local frequency segment interested in frequency domain signal, can get very high resolution. A common method of complex modulation ZoomFFT method, Chirp-Z transform, Yip-ZOOM transform based on, but from the analysis accuracy, computational efficiency, resolution, spirit Active perspective, Zoom-FFT method based on the polyphonic system is a kind of effective method. Simulation results show that this method is featured by high resolution and high speed, and has high application value.【Key words】signal processing; spectrum analysis; spectrum zooming; Z-transformation目录1 绪论11.1 课题研究背景和意义11.2 国内外的各种研究现状12 信号的采集和处理32.1 总体方案32.2 FFT算法处理42.3 FFT算法分析52.3.1 频率分辨率62.3.2 能量泄露62.3.3 栅栏效应73 几种频谱细化分析方法的原理、特性83.1 Zoom-FFT算法83.2 CZT算法103.2.1 CZT算法的基本工作原理103.2.2 CZT的快速算法103.3 小波分析的细化原理124 Zoom-FFT算法的设计和实现145 关于Zoom-FFT的一些后续改进1722高分辨率频谱分析算法实现1 绪论1.1 课题研究背景和意义自然界的万物都有着自己的固有频率，只要抓住认识到这些频率，了解认知它们的频率，才可以掌握并加以控制。生活中有很多的真实感触都是由于频率的变化而感受到的，例如人们听到的歌声，用眼睛看到的美丽景色，这都是人体器官对声音和光的频率的感知来呈现的。频率看不着，摸不到，但是它却一直充斥着我们的生活，并且深刻的影响这我们的生活。 随着科技日益进步，信号处理几乎已经深入到所有工程领域和生活领域。目前工业控制领域的测试对象越来越多，并且对于系统的性能要求也越来越高，工业测控领域对于频谱分析的需求越来越大。通过频谱分析可以快速的分析出如速度、压力、噪声等测量参数，并且可以根据系统运作时的频谱判断系统的运行情况。频谱分析仪是只是硬件载体，是对信号分析的数据呈现，核心内容是是信号处理的各种算法，因此详细的研究各种频谱分析的方法和其理论是十分有必要和意义的，能够帮助我们解决大量的问题。1.2 国内外的各种研究现状随着现代工业生产力以及无线电方面的迅速发展，使得信号处理已经成为了很多工作的核心任务，信号主要包含了时域的信息和频域的信息，如时域主要是包含幅度、周期等，频域主要包含频率、功率等。在 19 世纪 60 年代中期，J.W.库利和 J.W.图基在计算数学杂志上发表了快速傅里叶变换(FFT)算法，这篇文章为复杂繁琐的频域计算提供了简便的算法，可以说为今后的频谱计算奠定了理论基础。 在数字信号处理领域, 基于傅里叶变换的频谱分析是最基本的方法, 随着计算机技术的快速发展, 快速傅里叶变换已广泛的应用到各个学科, 并在工程中得到了广泛的应用。尽管如此, 人们仍然在探索新的方法, 以提高谱分析的精度和计算速度，例如, 现代频谱分析技术和神经网络频谱分析方法等。如何提高FFT谱分析的分辨率, 仍然是研究的一个重要方向, 基于傅里叶变换的谱分析方法是目前最常用的方法, 标准FFT( 基带FFT) 分析的结果, 其谱线是从零频率到乃奎斯特截止频率范围内均匀分布的。 在频谱细化方面, 目前已有多种改进方法, 这些方法主要有复调制细化法、Chirp-z 变换法、YIP -Zoo m变换, 相位补偿法，Zoom-FFT 变换方法等, 这些方法在处理精度、计算效率, 细化的能力, 频谱的等效性各不相同, 在不同的情况下采用的不同。小波理论是近年来最新发展起来的进行信号处理的有力工具，其发展非常迅速，在很多方面体现出其巨大的优越性。小波具有良好的时频局部化特性, 利用小波的频域带通特性, 可以把要分析的频带信号分离出来,这是一种比较理想的方法, 在性能方面优于复调制细化谱。2 信号的采集和处理2.1 总体方案所谓频谱分析，就是对信号的一种处理方法。其必须先获得信号，然后才能处理，在实际应用中整个过程是由频谱分析仪来完成的。了解频谱分析仪的原理，对于频谱细分技术的学习是十分有益的。一个好的算法，如果无法应用到实践中，或者所需要的硬件平台太复杂，成本过高，这个算法的应用必将受到限制。随着微处理器的处理速度越来越快, 现在利用计算机对信号进行处理已成为一种趋势。整个过程是将待测信号通过模数转换变成数字信号然后输入处理器, 然后通过FFT ( 快速傅里叶变换) 转成频域信号, 再通过显示设备显示出来。在整个过程中，其一般分为四个模块：输入调理模块，模数转换模块，数字信号处理模块，外围存储模块。(1) 输入调理模块：由于输入信号的不确定性可能引起模数转换的困难，所以需要将输入信号进行放大或幅度限制，使得输入信号在进入模数转换器 AD 时，电压处在安全范围内。(2) 模数转换模块：模数转换主要是将连续模拟信号进行采样与量化，将模拟信号变成 DSP 可以识别的数字信号。 (3) 数字信号处理模块：产生整个系统的时钟，控制所有模块的逻辑与时序，并且完成信号的数字处理算法，该模块是整个系统的大脑。(4) 外围存储模块：由于计算量大，所以芯片自己的存储资源有限，外围的存储模块可以用来存储采样得到的大量数据和计算后的数据。这是对频谱分析仪的这个简单情况介绍，前面数据的采集直接影响到这个频谱细化分析的结果，其是非常重要的，但是我们在这个论文里对于其他模块不做介绍，仅仅分析对数据的处理过程。希望能够通过这个环节给大家带来一点有益的思考。同时作为基础知识这里对FFT算法给予简单的介绍，这是为了后面更好的阐述下面的论述。2.2 FFT算法处理FFT算法是在DFT算法的基础上得来的，根据 DFT 的奇、偶、实、虚等特性对其进行改进而得到的新的算法。FFT与DFT相比减少了运算量，在现代社会上的得到广泛应用。根据DFT的定义，设x(n)为N点有限长数列，则可以得到公式：xk=n=0N-1xnWNnk, k=0,1,2,N-1; （2-1）其反变换为:xn=1nk=0N-1XkWN-nk, n=0,1,N-1; （2-2）通常情况下，x(n)和WNnk都是复数，因为X（k）也是一个复数，因此在计算一个X（k）时，要N次复数的计算，同理（x(n)和WNnk相乘），另外N-1次的复数加法。而X（k）有N个点。我们需要完成N2次复数的乘法及N ( N - 1)次复数加法。我们可以用实数运算完成复数的计算过程。所以式（1）可以写作如下形式：Xk=xk=n=0N-1xnWNnk=n=0N-1Rexn+jImxnReWNnk+ImWNnk （2-3）=n=0N-1RexnReWNnk-jImxnImWNnk+jRexnImWNnk+ReWNnkImxn （2-4）由式(2-4)可知，完成一次复数的乘法需要四次实数的乘法和二次实数的加法；一次复数的加法需要二次实数的加法。因此每运算一个 X ( k )需4N次实数的乘法及2 N+ 2( N -1) +2(2 N-1)次实数的加法。这个过程需要共需要4N2次实数的乘法与2 N (2 N-1)次实数的加法。因而，不加处理的直接进行 DFT 的计算，加法和乘法的次数都是正比于N2 ，当 N 很大时，运算量是非常大的，例如当 N=8时，运算DFT需64次复乘，而当 N=1024时，DFT 所需复乘位 1048576 次，即一百多万次复乘运算，由以上的数据可以知道，当信号具有很强的实时性时，在对信号进行处理时，对计算速度要求非常高。因此提出了快速的FFT运算法。快速的FFT算法，只要是根据系数WNnk的对称性，可约性和周期性合并某些项，将长序列的DFT变换成短序列的DFT计算。基于这种思路发展出来的FFT算法，可以分为两大类，即时间抽选和频率抽选。它们的基本处理思想是一样的，先以时间抽选为例说明FFT算过程法的实现过程。假设序列点数为N=2L（不够的话用0补齐），这种N称为2的整数幂的FFT，也叫做时间抽选法。式（1），我们按照奇偶关系的分解合一得到：Xk=m=0N2-1X2mWN2mk+m=0N2-1X2m+1WN2m+1k (2-5)假如我们令X2m=am,X2m+1=b(m),因为WN2mk=WN/22mk,则Xk=m=0N2-1a(m)WN2mk+WNkm=0N2-1b(m)WN2mk; (2-6)再令A=m=0N2-1a(m)WN2mk，B=m=0N2-1b(m)WN2mk，WNr=WNk，则：我们可以得到如下形式：X（k）=A+BWNr , Xk+N2=A-BWNr. (2-7) 这两个公式一般称为蝶形信号流。根据时间抽选法，运用数值的计算方法表示的蝶形运算公式如下所说：Xml*2m+k=Xm-1l*2m+k+WNPXm-1l*2m+k+2m-1 (2-8)Xml*2m+k+2m-1=Xm-1l*2m+k-WNPXm-1l*2m+k+2m-1 (2-9)以上两个式中物理意义为：l为级数表示运算到第几级；m为分组数表示每一级内运算到了第几组；k为每组内的运算次数。对于时间抽选法FFT可知，当N=2L时，共有L级蝶形，每级都有N/2个蝶形运算，每个蝶形有一次复乘、二次复加，因而每级运算都需 N 2次复乘和N次复加，这样L级运算总共需要：复乘数 mF=N/2L=N/2log2N复加数 aF=NL=Nlog2N我们可以发现，直接的DFT算法的计算次数是N2，FFT算法的运算次数是N/2log2N。运算量得到很大的减少。2.3 FFT算法分析通过对信号进行采样，获得离散的信号序列，才能对连续变化的信号进行频谱分析。如果信号x(t)的频谱X(f)是的上限频率fHfs/2，则采样后的频谱不是X(f)的周期重复，频谱上将会有重迭的部分。对于这种频谱混迭现象，在实际应用中对所测信号进行频谱分析时，采样频率fs一定要高于被分析信号上限频率的2倍以上。2.3.1 频率分辨率应用FFT进行数字频谱分析时，需要确定的参数主要有:截取信号长度tp、采样频率fs、采样周期T和采样点数N。他们之间的关系可以有下面的式子来表示：tp=NT, f=fs/N=1/NT=1/tp。可以得到分析的频率范围为0（fs/2）,频率分辨率为f=（fs/N）,频谱线数f为N/2。提高频率分辨率的方法有两种：第一种方法是降低采样频率f，f不能过小，过小会发生频谱混叠，会使分析范围减少。第二中方法是增加数据长度，这样必然使计算量增大，并且占用大量的内存空间。运算量的指数级增加，使算法的时间增大，效率降低，对于具有实时性要求的应用系统来讲, 是不可接受的。无论是通过减小频率，还是增大数据长度，这种处理结果显然不是我们想要的。2.3.2 能量泄露 按照傅里叶变换的原理，计算一个信号的频谱，所观测的信号长度是无限的，Xf=-+X(t)e-j2ftdt.对于余弦波信号Xt=Acos(2ff0t);得到如下图所示的频谱，但是在实际工程中无限长的观测区间是做不到的，只能从某时刻开始测取有限时间长度T的一段这就相当于用一个窗函数对信号进行截断。Xtt=Xt*u(t) (2-10)式中u（t）成为窗函数，阶段后信号的频谱为： Xsf=Xf*Uf=Uf-f0+U(f+f0) (2-11)测试信号的频谱以fn为中心向两边扩展，能量泄露到整个频带中如图所示，这就是能量泄露。对于能量泄露通过改变窗长和窗函数类型可以达到控制能量泄露的目的。0tX(t)fX(f)f0-f0图2-1X(f)U(f)ff00-f0t0 x(t)u(t)图2-22.3.3 栅栏效应在实际应用中，信号频谱通常采用FFT算法计算，其最大分析频率fms为信号采样频率fs的一半，线数N为FFT数据长度M的一半，有df=fs/M。取样后只能得到各离散频率点0，df，2df，Ndf的值，其余频率点相当于被取样的栅栏给挡住看不见，若信号中的频率分量f与某取样频率点重合f=idf，则我们能够得到该频率分量的精确值Xsf=Xsi*df=Xi*df; （2-12）如果信号中的频率分量f与频率取样点不重合f=idf+f，则只能按四舍五入的原则，取相邻的频率取样点谱线值代替，这种真实值与近似值之间的差就叫做栅栏效应。频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖锐，产生误差的可能性就越大当信号频率值与频谱离散取样点不相等时，在频谱上该频率分量根本看不见，栅栏效应的误差为无穷大。在实际应用中，由于信号时域截断的原因，产生了能量泄漏误差，正弦波信号能量以其频率为中心向两边泄漏由于能量泄漏的原因，即使信号频率与频谱离散取样点不相等，我们也能得到该频率分量的一个近似值。从这个意义上来说，能量泄漏误差不完全是有害的。如果没有信号时域截断产生的能量泄漏误差，频谱离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。因此在FFT变换的基础上，进行优化和设计时十分必要的，下面对一些今年来一些发展应用比较迅速的算法，进行介绍，他们都有自己不同特点。3 几种频谱细化分析方法的原理、特性3.1 Zoom-FFT算法其实在实际的测量过程中，我们需要了解的往往只是信号中某一段的频率，只要对这一频段的信号进行分析即可。基于复调制的Zoom-FFT算法可以实现在较窄的频段内拥有较高的分辨率，这种折中的方法在特定领域内得到了广泛的应用。Zoom-FFT (又称游标FFT )的基本原理是, 先对时间上连续但不重叠的等长度分段信号采样序列进行FFT,得到第一批分段粗FFT谱. 然后在分段粗FFT谱中感兴趣的粗频点上对这些分段FFT的粗频点所构成的新序列(称为时域二次采样)进行第二批次FFT处理, 从而得到粗频点处的FFT细节谱。复调制细化谱分析方法采用：移频（复调制）低通数字滤波重新抽样FFT 频谱分析频率调整，这样一个过程，其原理过程如图2-1 所示。抗混叠滤波A/D采样低通数字滤波器重采样（fs/D）FFT分析频率调整Exp（-2fe/fs）X(n)输出X(k)X(n)输入信号X(t)图3-1设模拟信号为x ( t )，经过A / D采样后，得到离散的序列x 0 ( n )，( n = 0 , 1N-1)，fs为采样频率，fe为需要细化频带的中心频率，D为细化倍数，N为FFT的点数，X(k)为输出的序列。具体的算法过程可归纳为以下几个步骤：(1)复调制复调制移频指的是将频域坐标向左或向右移动，使得被观察的频段的起点移动到频域坐标的零频位置。模拟信号x(t)经过A/D转换后，得到离散的信号x0(n)，假设要观测的频带为f1f2，则在此频带范围内进行细化分析，观测的中心频率为fe=(f1+f2)/2对x0(n)以e-j2fefs进行复调制，得到的频移信号：xn=x0（n）e-j2fefs=x0cos(2nL0/N)-jx0(n)sin(2L0/N) （3-1）式中fs=Nf为采样频率，f为谱线间隔，L0=fe/f为频率的中心移位，也是在全局频谱显示中所对应中心频率fe的谱线序号，则fe=L0f。由此可得出，复调制使x0(n)的频率成分fe移到x(n)的零频点，也就是说X0(k)中的第L0条谱线移到X(k)中零点频谱的位置。为了得到X(k)零点附近的部分细化频谱，可重新抽样把频率降到fs/D，D为细化倍数。为了是抽样后的频率不发生频谱混叠，需要在抽样前进行低通滤波。(2) 数字低通滤波为了保证重新采样后的信号在频谱分析时不发生频谱混叠，需进行抗混叠滤波，滤出需要分析的频段信号，设细化倍数为D，则数字低通滤波器的截止频率fCfs/2D(3)重新抽样信号经过移频、低通滤波后，分析信号点数变少，但再以较低的采样频率进行重新采样，在通过补零保证相同的采样点数时，样本的总长度加大，频谱的分辨率也就得到了提高。设原采样频率为fs，采样点数为N，则频率分辨率为fs/N，现重采样频率为fs/D,当采样点数仍是N是，其分辨率为fs/(D*N)，分辨率提高了D倍。这样就在原采样频率不变的情况下得到了更高的频率分辨率。(4)复数FFT重新采样后的信号实部和虚部是分开的，需要对信号进行N点复FFT，从而得出N条谱线，此时分辨率为f=fs/N=fs/ND=f/D，可见分辨率提高了D倍。 (5)频率调整经过算法运行后的谱线不为实际频率的谱线，需要将其反向搬移，转换成实际频率，进而得出细化后的频率。总结可以得知：Zoom-FFT在不增大FFT点数N的情况下降低了采样频率，提高了在细化频谱分析中有很重要的作用，可以通过此算法得到欲观测的频段局部频谱特性。对于计算量小的情况来说， Zoom-FFT是一个行之有效的解决局部频段分析的方法。3.2 CZT算法3.2.1 CZT算法的基本工作原理采用线性调频Z变换算法在某些场合是比较有效的，比如需要计算某一段范围内较密集采样点的频谱，非等间隔取样点的频谱，不在单位圆上而在螺旋线上的取样点的频谱，对于这些无法使用离散傅里叶的情况。CZT 算法是计算输入序列x ( n ) ( n = 0 (N -1) )在给定点zk ( k= 0 (M - 1) )上的复频谱X ( z ) |z= zk。其中zk = AW- k, k = 0, 1, 2M - 1, 这里A = A0 ej、W = W0 ej是均匀分布在Z 平面一条螺旋线上的M 个点。对于频谱细化分析, zk = AW- k( k=0, 1, 2, , M - 1)是分布在单位圆上一段密集频率点, A =A0 ej确定了频谱分析的起始点z0, W = W0 ej决定谱线的分布间隔。CZTx (n) = X (z k) = n-0N-1x(n)zk-n=n=0N-1x（n）A-nWkn （3-2）3.2.2 CZT的快速算法A-ny（n）Wn2/2x(n)X（n）Wn2/2y（n）*h(n)h（n）Wn2/2Wk2/2X（zk）图3-2由kn =12 n 2+ k2 - ( k- n)2可得:X zk =Wk22n=0N-1 xnA-nWn22*W-(k-n2/2) （3-3）令y(n)= xnA-nWn22, h(k-n)= W-(k-n2/2)则可以得到：X（zk）=Wk2/2y(n)*h(n) （3-4）通过以上变换, 可以得到CZT算法的卷积形式,然后可以利用FFT 快速算法实现CZT的快速变换。为了用FFT 计算线性卷积, 需要将序列延长,以便实现循环卷积。延长选择运算点数为L =N +(M 1), 则延长:当（0=n=N-1）时，yn= xnA-nWn22；当（N=n=L-1）时，y（n）=0；当（0=n=M-1）时，h（n）=Wn22；当（M=n=L-1）时，h(n)=W-(L-n2/2);则：y ( n )* h ( n)= IFFT FFT x n * FFT h ( n ) （3-5）3.2.3 利用CZT实现频谱细化 对于一个N点的输入序列x（n），其采样频率为fs 。由于CZT应在单位圆上实现，为了得到x（n）的频谱，因此A0，W0都必须取为1。单位圆上幅角0 rad对于的是频率轴上0 fs/2的频率。若我们假设将要细化的频带为0 f1 f2fs/2，有M条独立谱线，其对应的单位圆上的幅角范围为：2f1 /fs 2f2/fs 。而M条独立谱线对应的是圆弧上的M点取值。 有上面的分析我们可知，CZT 的路径为单位圆上起点为z0 = ej2f1/fs ，终点为zM1 = ej2f2/fs ，间隔为z =ej2( f2f1) /( M1) fs 的一段圆弧。由此得到利用CZT 实现频谱细化的条件:A0 = W0 = 1 ，= 2f1 /fs= 2( f2 f1) /( M 1) fs （3-6） 直接利用DFT 计算x( n) 的频谱时，在0 fs /2的频率范围内独立谱线条数是N/2 ，频率分辨率为f= fs /N 。利用CZT改进细化后，在f1f2的频率范围内会有M 条独立谱线，频率分辨率提高为f = ( f2 f1) /( M1) 。由此可以得出: 细化频带越窄，CZT 输出点数就越多，细化倍数就越高。 我们可以归纳出利用CZT方法实现频谱细化的一般步骤是：1）在细化之前确认细化频带和输出点数；2）确定CZT的路径，主要是确定起止点和间隔点的位置，即将细化频带转换为单位圆上的一段圆弧；3）计算得出路径上的CZT；4）由细化频段内频率点位置和CZT的的结果，得到相应的细化谱。我们在分析总结了大量的工程实验后我们分析出，Zoom-FFT和CZT都可以到达频率细化分析的地步，但是Zoom-FFT比较实用于精细化倍数比较低的场合。3.3 小波分析的细化原理 如果（t）L2（IR）是满足“容许性条件”C=-+2/d的基本小波，那么经平移和伸缩可得到一族小波：_(a,b) (t)=(t-b)/a), （3-7） 对于任一函数x（t），其积分小波变换为：Wa,bxt=1/a _(-)(+)x(t) * (t-b)/a)dt （3-8） 其中：b为平移参数，a为伸缩参数，*为的共轭函数，同时为了说明小波变换的时频特性，在前人工作的基础上，定义(t) 函数的时频参数(时域中心t* , 时域宽2 t, ，频域中心* , 频域宽2。, 则可以得到a,bt的时域中心和时域宽度分别为b+at*、2at，_(a,b) (t)的频域中心和频域宽度分别为：*/a和2/a。 由小波的时、频域特性可以看出（12) 式的积分变换仅对时间窗b+at*-at, b+at*+at里的信号进行处理，由于_(a,b) ()的带通特性，式(7)的结果仅含有：*/a-/a,*/a+/a频率的信息，即“频域局部化特性”。平移参数b 对应于小波在时域的位置, 尺度参数a 的变化对应于改变时域和频域的宽度, a 变大则频域变窄, 而时域变宽;a 变小时, 频域变宽而时域变窄。在(2) 式中, 如果b 是连续变化的那么就可以得到在频段*/a-/a,*/a+/a内的信号随时间变化的清况。通常需要根据分析的问题的需要，选择和构造不同的小波，其中常用的小波有高斯小波、样条小波、二进小波和正交小波等。 用小波变换的方法对我们感兴趣的频段进行分析的话，先给（t）乘以移频因子ej0t,我们可以得到新的小波变换为：Wa,bxt=1a-+xt* t-baej0t/adt （3-9）因为上式3-9提前了x(t)在频带范围内的信息，所以选择适当的参数0和a使（*+ 0）/a为我们所要了解的频带中小就可以了。在设备状态监测中，常对某些频率成分感兴趣，因此, 可利用小波变换这种带通滤波特性得到足够窄带的信号, 以此了解设备状态的变化情况。在实际的应用中由于单一小波的频谱是个两边下降很快的曲线，这种特性有助于分析曲线中间频率是非常有益的，但是去两边的曲线衰减很快，使得我们很难得到某频段的真实频谱。这时才情 多个小波组合是一个很好的解决方案。设小波a（t）的中心为f=0，那么a（t）ej2fit的中心为fi，选择不同的中小可以得到组合小波：t=t*(ej*2fLt+ej*2fL+kft+ej*2fHt） （3-10）（k=0，1，2，,n,fH=fL+n*f）其中fL，fH为组合小波的通频带上限和下限频率, f 为各小波中心频率的间距。从实质上说，上式就是各个小波段频谱的叠加而得出的的。选择适当的f就可以得到平顶的某一段真实的频谱结果。通常需要根据分析的问题的需要，选择和构造不同的小波，其中常用的小波有高斯小波、样条小波、二进小波和正交小波等。然后利用式进行组合小波可以很方便的构成所需的带通滤波器。根据以上的小波变换细化谱原理可知, 其思路与复调制细化谱方法相同, 区别在于提取细化频段的信息。从滤波角度考虑, 小波变换细化谱方法避免了复调制Zoom 一FFT方法的滤波器设计, 只要改变组合小波参数即可构造出所需组合小波, 并以小波变换提取细化频段的信息; 从细化角度看, 在相同细化倍数下, 可得到比复调制Zoom-FFT 更清楚的谱; 从计算量来说, 它比复调制细化谱方法大一些。由于小波及小波变换的特性, 它不仅可用于细化谱, 而且可广泛应用于信号处理的各个方面。4 Zoom-FFT算法的设计和实现根据前面的公式，我们已经得到了复调制移频的一些基本算法，现在对这个算法进行仿真，对于低通数字滤波和重新采样、复FFT处理、和频率调整在作详细的论述，然后我们必须结合以前的实验结果对整个算法进行分析。我们在这里对低通数字滤波和重新采样、复FFT处理、和频率调整的结合第二章的内容进行论述，尽量减少文章的重复内容。对于低通数字滤波，我们可以知道此时滤波器的输入为：Yk=XkHk=X0(k+L0); (k=0,1,2,N/2N-1) ; (4-1)式中y(n)=(1N)k=0N-1Y(k)WN-nk=Hkk=0N-1Y(k)WN-nk ; (4-2) 在对原采样点每隔D点再抽样一次，采样的时间间隔为Dt，我们有次可以得到时域信号的表达式为：g（m）-y（Dm），由此我们可以得到新的式子：gm=1NpN2-1XoP+L0W-pm+p-N/2N-1X0(P-N+L0)W-pm （4-3）经过DFT公式我们可以得到g(m)的频谱函数如下：Gk=m=0N-1gmWNmk （4-4）当k=0，1,2，N/2-1时：Gk=（1/D）X0(k+L0);当k=N/2,N-1时：Gk=（1/D）X0(k+L0-N)； （4-5）将上述谱线移到实际频率处即得到细化后的频段：则当k=L0,L0+1L0+N/2-1时：Xok=Xk-L0=D*G(k-L0);当k=L0-N/2,L0-1时；Xok=Xk-L0=D*G(k-L0+N)；（4-6）结合前面的论证，根据以前实验我们对Zoom-FFT进行简单的仿真，以便我们真正的了解其特性。我们利用的是市场上广泛应用的S T M 3 2芯片，在芯片上运行Zoom-FFT算法程序，可直接调用STM32固件库，程序简单、稳定可靠、结构性强。STM32固件库有FIR滤波器，只要求出所需滤波器参数的系数，调用固件库的函数即可，计算既快又稳定，效率很高。FFT的实现是通过C语言编的FFT子函数，只要得到输入序列和FFT点数，调用FFT子函数就可求出FFT的输出序列。部分核心ZoomFFT的C语言程序如下：/频谱搬移至零点附近/for(i=0;i1024;i+)xri=x0i*cos(w*i); / 低通滤波 /for(i=0;i1024;i+)bri=(short)(xri);fir(ar, br); / D倍抽样 /N1 = O/D;for(i=0;iN1;i+)adri=(float)(arD*i/1000.0); / 复数FFT /mrelfft(adr,adi,N,-1); / /求幅频特性/for(k=0;kN;k+)p=pow(adrk,2)+pow(adik,2);fftk=sqrt(p); /频率调整可通过公式实现f=fe+i*(fs/(D*1024.0);图4-1通过函数信号发生器加频率为55000Hz、幅值为1V和频率为55030Hz、幅值为0.7V的实际信号，得到的频谱如上图所示。通过实验得出，未经过Zoom-FFT的信号，两个很接近的频率叠加到了一起，而经过Zoom-FFT后的频谱在分辨率内可以分别，通过分析可得出Zoom-FFT得到的信号频率比直接FFT得到的频率更真实，分辨率高、误差小、稳定性好。 由实验我们可以看出，函数信号发生器的信号是理想信号，测得频谱均为一根谱线，而实际测量中，由于有噪声的存在，测量的频谱不是一根谱线，而是一个峰，但峰顶的位置和实际频率一致，稍微的运动就可以从峰顶的位置反应出来。我们在这里验证了Zoom-FFT在不增大FFT点数N的情况下降低了采样频率，提高了在细化频谱分析中有很重要的作用，可以通过此算法得到欲观测的频段局部频谱特性。由于计算量小，在实际应用中不需要用高速处理芯片。 5 关于Zoom-FFT的一些后续改进在经典Zoom-FFT 文献中, 只建立了上述连续分段序列Zoom-FFT方法.但是在 在信号采样与处理的硬件实现中, 还需要在第一批FFT 窗口长度N 固定的情况下, 为在较少的数据量以保持较高的分析速度的条件下获得较高的频谱分辨力而加大信号时域二次采样窗口长度. 这时, 连续时间段序列Zoom-FFT 方法就不能满足要求. 在现阶段人们提出了，Zoom-FFT 的频谱反演计算公式, 它同时适用于连续分段序列和间断分段序列Zoom-FFT.5.1 时间间断分段序列Zoom-FFTZoom-FFT中, 1个信号序列段长度N 与相邻2个信号序列段起点间的间隔长度L 之比, 称为Zoom-FFT的时域二次采样占空比(简称占空比)Rms. 即Rms =N/L；其中N为序列时间段长度，L为相邻时间段起点间隔。 间断分段序列Zoom-FFT 的基本原理是, 在经典Zoom-FFT 中, 将占空比Rms改为小于1的某个值,如Rms = 0. 5. 因此, 由Rms的定义, 可将连续分段序列与间断分段序列的Zoom-FFT分别归结为Rms = 1的Zoom-FFT 和Rms1的Zoom-FFT.间断分段序列Zoom-FFT 算法与经典Zoom-FFT 算法的主要区别是, 需根据期望得到的精细频谱频点间隔f d-zoom确定占空比Rms以及其值不等于第一批FFT 窗口长度N 的相邻2个信号序列段间隔长度L, 以及据此改变AD采样方式. 具体算法如下:1)确定FFT 频谱的粗频点间隔f 和间断分段序列Zoom-FFT细频点间隔fd- zo om ;2)确定占空比Rms, 并由式( 1)得到相邻2个信号序列段间隔长度L;3)根据AD采样速率fs 和所确定的f 和fd-zoom, 分别确定第一批FFT 长度N 和Zoom-FFT 长度M. 4)令m = 0和n= 0(m 与n 分别为子序列及其内部的序列值序号);5)