概率论与数理统计笔记

第一章 概率论基础第一节 事件与样本空间一 两类现象1、确定性现象：在一定条件下，必然发生的现象。2、随机现象：统计规律。二 随机试验1、重复性 2、确定性 3、随机性三 样本空间=试验的所有可能结果 样本点 例1：从编号为1，2，3的球中，有放回地取两次，每次一只，考虑顺序，观察所取到的球。 解：=11,12,13,21,22,23,31,32,33 事件A：全有1号球 则 A =11,12,13,21,31四 随机事件定义：试验的某种结果称为随机事件，简称为事件。 一般用A,B,C表示。注：1、随机事件通常是样本空间的子集。2、事件的表示方法：集合文字叙述3、一次试验的结果属于事件A，则称事件A在这次试验中发生。4、基本事件 不可能事件 必然事件A=五 事件的关系与运算 设A,B是的两个事件 1、包含：AB 若事件A发生必然导致事件B发生。2、相等：A=B 3、事件的并：AB 事件A与B至少有一个发生。4、事件的交：AB或AB 事件A与B同时发生。5、事件的差：A-B=A-(AB) 事件A发生而事件B不发生。6、若事件A与B不能同时发生，则称事件A与B互不相容。7、若AB=,且AB=，则称A与B互为对立事件。8、运算定律：交换律 AB=BA AB=BA 结合律 ABC=A(BC) ABC=A (BC) 分配律 A(BC)=ABAC ABC=(AB)(AC) 摩根公式 = =例2：化简事件式 （）（A） 解； 原式=A =A =(A) = =例： 设A、B、C为三事件，用ABC表示下列事件1、A、B、C都发生：ABC2、AB发生，C不发生：3、至少一个发生：4、恰有一个发生： 5、至少两个发生：6、恰有两个发生：7、至多两个发生：六、事件域（F）：样本空间的某些子集构成的集合类（1）A A，则 A（2）A A,B A，则 A定义：设F是样本空间的某些子集构成的集合类，若满足（1） F（2）若A F，则 F（3）若 F，i=1,2,n，则 F则称F为一个事件域（域）性质：1、 F 2、若 F，i=1,2，则 F3、若 F，i=1,2n，则 F， F4、若A F，B F，则A-B F第二节 事件的概率一、频率注：频率的稳定性二、概率（一）公理化定义定义：为样本空间，F为事件域，对事件A F，赋予一个实数P(A)与之对应，若集合函数P满足以下条件：（1）非负性，若A F，则P(A)0（2）归一性：P()=1（3）可列可加性：若 F，i=1,2，且=，ij，则P()=则称集合函数P为概率（二）概率的性质性质1：P（）=0 证明：设=F，i=1,2，则=，ij，=由可列可加性得P()=，即p()= p()=0注：若P(A)=0 不可得出A=0 若P(A)=1不可得出A=0性质2：（有限可加性）设F，i=1,2n，且=，ij，则P（）=性质3：P（A）=1-P（）性质4：若AB，则P（A）P（B），且P（A-B）= P（A）-P（B）注:对于任意的A，BF，有P（A-B）= P（A）-P（AB）性质5：对于任意的A，BF，则P（AB）= P（A）+P（B）-P（AB） 对于任意的A，B，CF，则P（ABC）= P（A）+P（B）+P（B）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）对于任意的F，i=1,2n，则P（）=- +推论：对于任意的F，i=1,2n，则P（）定义：设F，i=1,2n，是单调不减的事件列，即则可列并称为事件列 的极限事件，记作= 设F，i=1,2n，是单调不增的事件列，即则可列交称为事件列 的极限事件，记作=定义：对于F的概率P，满足对F中的任意单调不减的事件列 ，有=P（），则称P是下连续的 对于F的概率P，满足对F中的任意单调不增的事件列 ，有=P（），则称P是上连续的性质7：（概率的连续性）设P是F上的概率，则P既是上连续又是下连续的证明：首先证明下连续性 不妨设 是单调不减的事件列 =，记 记Bi= 则事件列 两两互不相容由可列可加性P（）=P（）= = 又由可列可加性得到 =P（）=P（）=P（） P（）= P（） 再证下连续性 不妨设 是单调不增的事件列 则 是一个单调不减的事件列 则由不连续性P（）=P（）=1-(1) 而P（）=P（）=P（）=1-P（）.(2) 由（1）（2）得，=P（）=P（） 所以P是连续的定理：若P是F上的满足P()=1的非负集合函数，则P具有可列可加性的充要条件是P具有有限可加性，且P是下连续的。 证明：必要性显然成立，下面证明充分性 不妨设是两两互不相容的事件列，即F，i=1,2,且=,ij,由P的有限可加性，有P()= 由于=P()1,所以证一定收敛，则=记=，则事件列 就是单调不减的事件列，且=，由P的下连续性有P()=P()=P()= 所以P()= 所以P具有可列可加性三、概率的古典定义定义：试验E个数是（1）试验的结果为有限个 （2）每个结果发生的可能性相同，则称试验E为古典概型定义：设（, F,P）为概率空间，对任意A F,E为古典概型，则P（A）=m/n,其中m,n分别表示事件A及样本空间中的样本点个数：1 乘法原理 加法原理2 排列与组合不重复的排列：从m个不同的元素中，不放回的取m次，每次取一个元素，考虑顺序，总共有种取法可重复的排列：从m个不同的元素中，有放回的取m次，每次取一个元素，考虑顺序，总共有种取法不重复的组合：从m个不同的元素中，无放回的取n次，每次取一个元素，不考虑顺序，总共有种取法可重复的组合：从m个不同的元素中，有放回的取n次，每次取一个元素，不考虑顺序，总共有种取法例：一盒子中有5个白球5个黑球，从中无放回的取两次，每次取一只，求取到的两只都是白球的概率。解：设“两只都是白球”为事件A则P(A)= =例：从5双不同的鞋子中任取4只，求至少配成一双的概率。解：P（至少配成一双）=1=例：将一副牌（52张）洗透，求4张A连在一起的概率。解：P(4张A连在一起)=49！4！52！四、概率的几何定义定义：设实验E满足（1） 试验的结果为无限个（2） 每个结果发生的可能性相同则称试验E为几何概型定义：设（W,F,P）为概率空间，对任意Ae F,E为几何概型，则（3） P(A)=A的集合度量W的集合度量xy2424例：甲、乙两船同时驶向一个码头，该码头不能同时停靠两只船。甲、乙两船在一昼夜内到达都是等可能的，并且甲要停靠1小时，乙要停靠2小时，求甲、乙两船任何一船到达该码头都不必等候的概率。解：设事件A：“甲、乙两船任何一船到达都不必等候”设甲的到达时刻为x,乙的到达时刻为y。W=(x,y):0x24,0y24 若甲先到，则乙必须至少晚到1小时即yx+1 若乙先到，则甲必须至少晚到2小时即xy+2则A=（x,y）:yx+1,0x24,0y24（x,y）: xy+2,0x24,0y24P(A)=mesAmesW=(2322+2222)242=10131552例：一盒子中有12只球，其中9只是新的，第一次比赛时取出3只，使用后放回，第二次比赛时也取出3只（1）求第二次取出的都是新球的概率（2）若第二次取出的都是新球，求第一次取出的3只球都是新球的概率解：（1）设：“第一次取出的3只球中没有新球” ：“第一次取出的3只球中有1只新球” ：“第一次取出的3只球中有2只球”：“第一次取出的3只球都是新球”B：“第二次取到的球都是新球”P()= P()= P()= P()=P()= P()= P()= P()=P(B)=（2）P()=第三节 条件概率例1：一盒中有3只白球，2只黑球，从中随机取两次，每次取一只（不放回）求：若第一次是白球，第二次是白球的概率。若第一次是黑球，第二次是白球的概率。第二次取出是白球的概率。在第二次取出是白球的情况下，第一次是白球的概率。解：设A“第二次取出一只是白球”，B“第一次取出一只是白球” 则P(A/B)= =(2)P(A/)=(3)P(B)=P(ABB) =P(AB) +P(B) =P(A)P(B/A) +P()P(B/) =一、条件概率1、定义：设（,F,P）是概率空间，B F,且P(B)0,则称事件B发生的条件下，事件A发生的概率为条件概率，记作P(A|B).注： （1）条件概率的计算公式P(A/B)=P(AB)/P(B) （2） 计算方法 （3）区别有条件概率和无条件概率例1：某型号的电视机，它使用3年的概率为0.6，使用5年的概率为0.4，一台电视机已使用3年，求它能使用5年的概率。 解：设A“使用3年”，B“使用5年” P(A)=0.6 P(B)=0.4 P(B/A)=P(AB)/P(B)=0.4/0.6=2/32、性质：非负性：对A F,有P(A/B) 0 P(/B)=1 若, ，ij,i=1,2，则有P(/B)= /B)二、乘法公式若A,BF,且P(B)0，则P(AB)=P(B)P(A/B)推广到n个事件的情况，若F,i=1,2n，且P()0，则P() = =例2、一盒中有r只红球,t只白球，从中任取4次，每次取一只，观察颜色后放回，同时放入a只与所取球颜色同色的球，求这4次一次为红红白白的概率。 解：设“第i次是红球” i=1,2，3,4 则“第i次是白球”，则所求概率为： =推广到N: 设 ，则 三、全概率公式和贝叶斯公式定义：设则称为样本空间的一组划分。定理：（，F,P）为概率空间，为的一组划分，且,，则注：1、如何判断？条件？非条件？2、如何设事件B及的一组划分3、求及4、代入公式例：一盒子中有3只黑球，2只白球，从中随机地取两次，每次取一只（放回），求第二次取到的一只是白球的概率解：设A：“第一次取到的是白球”B：“第二次取到的是白球”，则P(B|A)= P(B|)=第四节 独立性一、两个时间的独立性定义：（，F，P）为概率空间，A,B F，若P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A与B相互独立注：1、考虑事件的独立性和互不相容性 2、若P(A)0,P(B)0，则A,B互不相容与A,B相互独立不能同时成立 3、A与B相互独立P(A) =P(A-AB)=P(A)-P(AB)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)1-P(B)=P(A)P()P()=P()=1-P()=1-P(A)+P(B)-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)=P(B)P(A)-1+1-P(A)=1-P(A)1-P(B)=P()P()4、概率为零的事件与任何事件相互独立证明：A,B F，P(A)=0ABA0P(AB)P(A)=0P(AB)=0P(AB)=P(A)P(B)=0A与B相互独立5、概率为1的事件与任何事件相互独立6、A与B相互独立P(A)=P(A|B)=P(A|)