变量之间的关系导学案

1 / 23 变量之间的关系导学案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 m 第四章变量之间的关系 4 1 小车下滑的时间 学习目标：通过分析小车在斜坡上下滑时高度与时间数据之间的联系，使学生体会小车下滑时间随着高度变化而变化，从而了解变量、自变量和因变量的意义，了解可以用列表示两个变量之间的关系，培养学生分析问题的能力与归纳思维的能力。 学习重点：能从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况。 学习难点：对表格所表达的两个变量关系的理解。 一、预习 （一）、预习书 P96P97 （二）、思考：什么是变量？什么是自变量？什么是因变量？ （三）、预习作业： 1、课堂上，学生对概念的接受能力与老师提出概念的时间（单位：分）之间有如下关系： 时间 /分 02101213141624 接受能力 4347 85959 859 959 85947 8 （ 1）表中反映了哪两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？ 2 / 23 （ 2）根据表中的数据，你认为老师在第 _分钟提出观念比较适宜？说出你的理由 二、学习过程： （一）要点引导 1、在一个变化 过程中数值保持不变的量叫做 _可以取不同数值的量叫做 _，如果一个量随着另外一个量的变化而变化，那么把这个量叫做 _，另一个量叫做 _ 2、本节是通过 _形式来表示两个变量之间的关系的 （二）例题 例 1 王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间他们得到如下数据： 支撑物高 度 /厘米 102030405060708090100 小车下滑 时间 /秒 （ 1）支撑物高度为 70厘米时，小车下滑时间是多少？ （ 2）如果用 h 表示支撑物高 度， t 表示小车下滑时间，随着 h 逐渐变大， t 的变化趋势是什么？ （ 3） h 每增加 10厘米， t 的变化情况相同吗？ （ 4）估计当 h=110时， t 的值是多少，你是怎样估计的？ 变式：一辆小汽车在高速公路上从静止到启动 10 秒后的速度经测量如下表： 3 / 23 时间（秒） 012345678910 速度 （米 /秒） （ 1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （ 2）如果用 t 表示时间， v 表示速度，那么随着 t 的变化，v 的变化趋势是什么？ （ 3）当 t 每增加 1 秒时， v 的变化情况相同吗？在哪 1 秒钟内， v 的增加最大？ （ 4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为 120 千米 /时，试估计大约还需几秒这辆小汽车速度就将达到这个上限？ （三）拓展： 1、如图，是一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，算第一层；第二层每边两个点；第三层每边有三个点，依此类推： （ 1）填写下表： 层数 123456 该层的点数 所有层的点数 （ 2）每层点数是如何随层数的变化而变化的？所有层的总点数是如何随层数的变化而变化的？ 4 / 23 （ 3）此题中的自变量和因变量分别是什么？ （ 4）写出第 n 层所对应 的点数，以及 n 层的六边形点阵的总点数； （ 5）如果某一层的点数是 96，它是第几层？ （ 6）有没有一层，它的点数是 100？为什么？ 2、下表是明明商行某商品的销售情况，该商品原价为560元，随着不同幅度的降价（单位：元），日销量（单位：件）发生相应变化如下表： 降价（元） 5101520253035 日销量（件） 780810840870900930960 （ 1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中那个是自变量，哪个是因变量？ （ 2）每降价 5 元，日销量增加多少件？请你估计降价之前的日销量是多 少？ （ 3）如果售价为 500元时，日销量为多少？ （四）回顾小结： 总结本节所学的知识，从表格中获取信息；用表格表示变量之间的关系；对变化趋势进行预测。 4 2 用关系式表示的变量间的关系 学习目标： 1、经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。 5 / 23 2、能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系。 3、能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系。 学习重点： 1、找问题中的自变量和因变量。 2、根据关系式找自变量和因变量之间的 对应关系。 学习难点：根据关系式找自变量和因变量之间的对应关系。 一、预习 （一）、预习书： P100P101 （二）、思考：确定关系式的步骤？ （三）、预习作业： 1、会议厅共有 30 排座位，第一排有 20 个座位，后排每排比前一排多一个座位 （ 1）你知道第九排有多少个座位吗？第 26排呢？ （ 2）每排的座位数 y 可用排数 x 来表示吗？ （ 3）可不可能某一排的座位数是 52？为什么？ 二、学习过程： （一）要点引导 1、通过表格可表示两个变量之间的关系，本节中利用_也可表示 两个变量之间的关系 2、确定关系式的步骤：先找出题目中关于 _与_的相等关系，再用 _的代数式表示 _ 3、半径为 R 的圆面积 S=_，当 R=3时， S=_ 6 / 23 方法小结： 1、涉及到图形的面积或体积时，写关系式的关键是利用面积或体积公式写出等式； 2、一定要将表示因变量的字母单独写在等号的左边； 3、已知一个变量的值求另一个变量的值时，一定要分清已知的是自变量还是因变量，千万不要代错了 （二）例题 例 1、如图，底边 Bc 上的高是 6 厘米，当三角形的顶点 c沿底边所在直线向点 B 运动时，三角形的面积发生了变化 （ 1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （ 2）如果三角形的底边长为 x（厘米），那么三角形的面积 y（厘米）可以表示为 _ （ 3）当底边长从 12厘米变化到 3 厘米时，三角形的面积从_厘米变化到 _厘米 变式 1、如图，已知梯形的上底为 x，下底为 8，高为 4 （ 1）求梯形面积 y 与 x 的关系； （ 2）用表格表示，当 x 从 3 到 7（每次增加 1）时， y 的相应值； （ 3）当 x 每增加 1 时， y 如何变化？ （ 4）当 y=50时， x 为多少？ （ 5）当 x=0时， y 等于多少？此时它表示的是什么？ 例 2、将若干张长为 20cm、宽为 10cm 的长方形白纸，按下7 / 23 图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为 2cm （ 1）求 4 张白纸粘合后的总长度； （ 2）设 x 张白纸粘合后的总长度为 ycm，写出 y 与 x之间的关系式； （ 3）并求当 x=20时， y 的值 变式 2、声音在空气中传播的速度 y（米 /秒）与气温之间有如下关系： （ 1）在这一变化过程中，自变量是 _、因变量是_； （ 2）当气温时，声音速度 y=_米 /秒； （ 3）当气温时，某人看到烟花燃放 5 秒后才听到声响，那么此人与燃放烟花所在地约相距 _米； （三）拓展 1、如图，在中，已知，边 Ac=4cm， Bc=5cm，点 P 为 cB 边上一动点，当点 P 沿 cB 从点 c 向点 B 运动时，的面积发生了变化 （ 1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？ （ 2）如果设 cP长为，的面积为，则 y 与 x 的关系可表示为 _； （ 3）当点 P 从点 D（点 D 为 Bc的中点） 运动到点 B 时，则的面积从 _变到 _ 8 / 23 （四）回顾小结： 自变量和因变量之间的关系；根据关系式找出与自变量相应的因变量的数值。 4 3 用图象表示的变量间关系 学习目标： 1、经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系。 2、结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义。 3、能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述。 学习重点：结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义。 并能从图象中获取变量之间关系的信息， 学习难点：能从图象中获 取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述。 一、预习 （一）、预习书： P103P105 （二）、思考：用图像表示变量之间的关系时，水平方向的数轴（横轴）上的点表示什么？，竖直方向的数轴上的点表示什么？ （三）、预习作业： 1、如图，是某地某年月平均气温随时间变化的图像请回答下列问题： 9 / 23 （ 1）二月份平均气温是 _，十月份平均气温 _； （ 2）这一年中，月平均气温最高的是 _月，温度大约是 _； （ 3）月平均最高气温与最低气温大约相差 _ （ 4）月平 均最高气温为的月份是 _月，它可能是 _季节； （ 5）上述变化中，自变量是 _，因变量是 _； （ 6）估计明年一月份的平均气温会低于吗？ 二、学习过程： （一）要点引导 1、图像是表示 _之间关系的一种方法，它的特点是更 _、更 _地反映了因变量随自变量变化的情况 2、用图像表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴）上的点表示 _，用竖直方向的数轴（纵轴）上的点表示 _ （二） 例题 例 1、某山区今年月中旬的天气情况是：前天小雨，后天暴雨，那么反映该地区某河流水位变化的图像大致是（） ABcD 变式 1、为节约用水，利民学校冲厕水箱经改造后，当水箱水满后就按一定的速度放掉水箱的一半水，随后立即按一定10 / 23 的速度注水，等水箱的水满后，又立即按一定的速度放掉水箱一 般的水，下面的图像可以刻画水箱的存水量 v（立方米）与放水或注水时间 t（分钟）之间的关系的是（） ABcD 例 2、新成药业集团研究开发了一种新药，在实验药效时发现，如果儿童按规定剂量服用，那么 2 小时的时候血液 中含药量最高，接着逐步衰减，每毫升血液中含药量 y（微克）随时间 x（小时）的变化如图所示当儿童按规定剂量服药后： （ 1）何时血液中含药量最高？是多少微克？ （ 2） A 点表示什么意义？ （ 3）每毫升血液中含药量为 2 微克以上时在治疗疾病时是有效的，那么这个有效期是多长？ （ 4）你建议该儿童首次服药后几小时再服药？为什么？ 变式 2、如图，是表示某天小明上学从家到学校时，离家的距离与时间的关系的图像。 （ 1）小明从家到学校有多远？他一共用了多长时间到校？ （ 2）中途小明停下来子啊路边的商店买了一 些练习本，图中那一段曲线表示这一过程？ （ 3）你能想象小明从离家到第 4min时的情况吗？ （三）拓展 11 / 23 1、王大爷带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价出售一些后，又降价出售，售出土豆的千克数 x 与他手中持有的钱数 y（含备用零钱）的关系如图所示。根据图像回答下列问题： （ 1）王大爷自带的零钱是多少？ （ 2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？ （ 3）降价后他按每千克元将剩余土豆售完， 这时他手中的钱（含备用零钱）是 26 元，问他一共带了多少千克土豆？ 2、如图中的折线 ABc 是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费 y（元）与通话时间 t（分钟）之间的关系的图像。 （ 1）通话 1 分钟，要付电话费多少元？通话 5 分钟要付多少电话费？ （ 2）通话多少分钟以内，所支付的电话费不变？ （ 3）如果通话 3 分钟以上，电话费 y（元）与时间 t（分钟）的关系式是，那么通话 4 分钟的电话费是多少元？ （四）回顾小结 图象是表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观。 12 / 23 4 4 速度的变化 学习目标：通过速度随时间变化的实际情境，进一步经历从图中分析变量之 间关系的过程，加深对图象表示的理解，进一步发展从图象中获得信息的能力及有条理地进行语言表达的能力。 学习重点：通过速度随时间变化的实际情境，能分析出变量之间关系。 学习难点：现实中变量的变化关系，判断变化的可能图象。 一、预习 （一）、预习书： P107P108 （二）、思考：每一个图像反映了什么样的变化过程？ （三）、预习作业： 1、如图，是某人骑自行车的行驶路程 s（千米）与行驶时间 t（时）的函数图像，下列说法不正确的是（） A.从 0 时到 3 时，行驶 30千米 B.从 1 时到 2 时匀速前进 c.从 1 时到 2 时原地不动 D.从出发地到 1 时与从 2 时到 3 时的行驶速度相同 二、学习过程： （一）要点引导 1、观察右图回答下列问题： （ 1） a 代表物体从 _开始 _运动； 13 / 23 （ 2） b 代表物体 _运动； （ 3） c 代表物体 _运动； （ 4） a 表示的速度 _d 表的速度（填 “” 、 “=”或 “” ） 2、观察右图回答下列问题： （ 1） a 代表物体 _运动； （ 2） b 代表物体 _； （ 3） c 代表物体 _运动直至回到 _； （二）例题 例 1、汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的。下面的图像表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况。 （ 1）汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？ （ 2）汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？ （ 3）出发后 8 分到 10分之间可能发生了什么情况？ （ 4）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况。 变式 1（ 1）一列火车从青岛站出发，加速 行驶一段时间开始匀速行驶。过了一段时间，火车到达下一个车站。乘客上下车后，火车又加速，一段时间后再次开始匀速行驶，下面可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的图14 / 23 是下图中的（） c D （ 2）小李骑车沿直线旅行，先前进了 a 千米，休息了一段时间，又原路返回 b 千米（ ba），再前进 c 千米，则他离起点的距离 s 与时间 t 的关系示意图是（） 例 2、小明某天上午 9 时骑自行车离开家， 15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图所示） （ 1）图像表示了哪两个变量的关系？哪个是 自变量？哪个是因变量？ （ 2） 10时和 13时，他分别离家多远？ （ 3）他到达离家最远的地方时什么时间？离家多远？ （ 4） 11时到 12时他行驶了多少千米？ （ 5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？ （ 6）由他离家最远的地方返回时的平均速度是多少？ 变式 2、 （ 1）如图，是自行车行驶路程与时间的关系图，则整个行驶过程的平均速度是（） A 20B 40c 15D 25 （ 2）如图所示， oA、 BA分别表示甲、乙两名学社运动的路程与时间的关 系图像，图中 S 和 t 分别表示运动路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快（） 15 / 23 A 2mc 1m （三）拓展 1、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一家个体车主或一家国有出租车公司签订租车合同，合同中规定所付月租金的多少与出租车每月行驶的距离有关。下图表示出租车每月行驶的距离与所付月租金的关系，（表示个体车主，表示国有出租车）观察图像回答下列问题 （ 1）每月行驶路程在什么范围内时租国有公司的车合算？ （ 2）租个体车主的车，租来的车如果没有行驶，是否也要缴租金？缴多少 租金？租国有公司的车呢？ （ 3）每月行驶路程等于多少时，租两家车的费用相同？ （ 4）如果这个单位估计每月行驶的路程 2300米，那么这个单位租哪家的车合算？ 2、甲、乙两地相距 80 千米， A 骑自行车， B 骑摩托车沿相同路线由甲地到乙地行驶，两人行驶的路程 y（千米）与时间 x（时）的关系如图所示，请你根据图像回答或解决下面的问题： （ 1）谁出发较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早多长时间？ （ 2）两人在途中行驶的速度分别是多少？ 16 / 23 （ 3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶 过程的路程 y（千米）与时间 x（小时）的关系。 （四）回顾小结 要学会分析图象，用图象解析现实变化着的量的关系，并要从图象中获得信息有条理地进行语言表达出来。 第 4 章知识整合与解题指导 一、知识导航 1、主要概念：变量是；自变量是；因变量是。 2、变量之间关系的三种表示方法：。 其特点是：列表：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把的值找到，查询方便；但是欠，不能反映变化的全貌，不易看出变量间的对应规律。 关系式：简明扼要、规范准确；但有些变量之间的关系很难或不能用关 系式表示。图像：形象直观。可以形象地反映出事物变化的过程、变化的趋势和某些特征；但图像是近似的、局部的，由图像确定因变量的值欠准确。 3、主要数学思想方法：类比和比较的方法（举例说明）；数形结合和数学建模思想（举例说明）。 二、学习导航 1、有关概念应用 17 / 23 例 1 下列各题中，那些量在发生变化？其中自变量和因变量各是什么？ 用总长为 60 的篱笆围成一边长为 L（ m），面积为 S（ m2）的矩形场地； 正方形边长是 3，若边长增加 x，则面积增加为 y. 2、利用表格寻找变化规律 例 2 研究表明，固 定钾肥和磷肥的施用量，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 施肥量 （千克 /公顷） 03467101135202259336404471 土豆产量 (吨 /公顷 ) 上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？根据表格中的数据，你认为氮肥的使用量是多少时比较适宜？ 变式（湖南）一辆小汽车在高速公路上从静止到起动10秒后的速度经测量如下表： 时间 /秒 012345678910 速度 /米 /秒 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是因变量？ 如果用 t 表示时间， v 表示速度， 那么随着 t 的变化， v18 / 23 的变化趋势是什么？ 当 t 每增加 1 秒时， v 的变化情况相同吗？在哪 1 秒中，v 的增加最大？ 若高速公路上小汽车行驶的速度的上限为 120 千米 /时，试估计大约还需要几秒小汽车速度就将达到这个上限？ 3、用关系式表示两变量的关系 例 3.、 设一长方体盒子高为 10，底面积为正方形，求这个长方形的体积 v 与底面边长 a 的关系。 设地面气温是20 ，如果每升高 1km，气温下降 6 ，求气温与 t 高度 h的关系。 变式（江西）如图，一个矩形推拉窗，窗高米，则活动窗扇的通风面积 A（平方米） 与拉开长度 b（米）的关系式是： . 4、用图像表示两变量的关系 例 4、（桂林）今年，在我国内地发生了 “ 非典型肺炎 ” 疫情，在党和政府的正确领导下，目前疫情已得到有效控制下图是今年 5 月 1 日至 5 月 14 日的内地新增确诊病例数据走势图（数据来源：卫生部每日疫情通报）从图中，可知道： （ 1） 5 月 6 日新增确诊病例人数为人； （ 2）在 5 月 9 日至 5 月 11日三天中，共新增确诊病例人数为人； （ 3）从图上可看出， 5 月上半月新增确诊病例总体呈趋势 19 / 23 例 5、（陕西）星期天晚饭后，小红从家里出去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离 s（米）与散步所用时间 t（分）之间的函数关系依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（） . A.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了 B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报后， 继续向前走了一段，然后回家了 c.从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了 D.从家出发，散了一会儿步，就找同学去了， 18 分钟后才开始返 变式 (成都 )右图表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车沿相同路线行驶 45 千米，由 A 地到 B 地时，行驶的路程 y（千米）与经过的时间 x（小时）之间的关系请根据这个行驶过程中的图象填空：汽车出发小时与电动自行车相遇；电动自行车的速度为千米 /时；汽车的速度为千米 /时；汽车比电动自行车早小时到达 B 地 三、一试身手 1、（贵阳）小明根据邻居家的故事写了一首小诗： “ 儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把20 / 23 家还 ” 如果用纵轴 y 表示父亲与儿子行进中离家的距离，用横轴表示父亲离家的时间，那么下面的图象与上述诗的含义大致吻合的是（ ） ABcD 2、在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余 部分的高度 y（厘米）与燃烧时间 x（小时） 之间的关系如图所示 请根据图象所提供的信息解答下列问题： （ 1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是 ， 从点燃到燃尽所用的时间分别是 ； （ 2）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？ 3、（ XX 宿迁课改）小明从家骑车上学，先上坡到达 A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要 的时间是（ ） 分钟 9 分钟 12分钟 16分钟 4、某机动车出发前油箱内有油 42l，行驶若干小时后，途21 / 23 中在加油站加油若干升油箱中余油量 Q（ L）与行驶时间 t（ L）之间的关系如图 8 所示 回答问题：（ 1）机动车行驶几小时后加油？ （ 2）中途中加油 _L； （ 3）已知加油站距目的地还有，车速为， 若要达到目的地，油箱中的油是否够用？并说明原因