初中数学三角形的“四心”例题讲解.doc

初中数学三角形的“四心”例题讲解知识点、重点、难点 三角形的外心、内心、重心及垂心（以下简称“四心”）是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容，是初中数学竞赛的热点。 1.外心 三角形三条垂直平分线的交点叫三角形的外心，即该三角形外接圆的圆心，ABC的外心通常用字母O表示。它具有如下性质： (1)外心到三角形三顶点的距离相等这个距离就是外接圆的半径； (2)在ABC中，若A是锐角，则BOC=2A；若A是钝角，则 BOC3602A. 2.内心 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即是该三角形内切圆的圆心，ABC的内心一般用字母I表示它具有如下性质： (1)内心在ABC三边距离相等，这个相等的距离是ABC内切圆的半径；(2)若I是ABC的内心，则； (3)若I是ABC的内心，AI延长线交ABC外接圆于D，则有DI=DBDC，即D为BCI的外心。 3.重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，它具有如下性质： (1)重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；(2)若G是ABC的重点，则；(3)重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点。4.垂心三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心“如图”，它具有如下性质： (1)图中有六组四点共圆（如A、F、H、E；A、B、D、E等）及三组（每组四个）相似直角三角形；特别的AHHD=BHHE=CHFH； (2)垂心H关于三边的对称点均在ABC的外接圆上； (3) H、A、B、C中任一点是另三点连成的三角形的垂心；(4) ABC的内接三角形（即顶点在ABC的边上）中，以垂足DEF的周长最短。例题精讲例1：如图，在ABC中，AB=AC，延长CA到P，再延长AB到Q，使AP = BQ，求证：ABC的外心O与A、P、Q四点共圆。分析一 连结AO、CO、PO、QO，要证O、A、P、Q四点共圆，显然只要证P=Q.在AQO和CPO中，由AB=AC，BQ=AP，得AQCP，又O点是ABC的外心，故OAOC，OCPOAC.由于等腰三角形的外心必在顶角的平分线上，所以OACOAQ.从而OCPOAQ，故AQOCPO，可得CPOAQO.因此O、A、P、Q四点共圆。分析二 O是ABC的外心，作ABC的外接圆O，并作OHAB于H，OGAC于 G，连结OP、OQ（图略）易知OHOG，BH = AG，从而RtOQHRtOPG，于是P=Q，故O、P、A、Q四点共圆。例2：已知ACE=CDE = 90，点B在CE上，CB = CD，过A、C、D三点的圆交AB于点F（如图241），求证：F是CDE的内心。 证明 连结DF、DB、CF，则CDF=A=45，EDF = 45，即DF是CDE的平分线。因为CD = CB，所以CDB=CBD.又CDF=CBF=45，所以FDB=FBD，所以DF=BF.又CF为公共边，所以DCFBCF，所以DCF =BCF，即CF为DCE的平分线。因此F为CDE的内心。例3：如图，已知ABC的高AD、BE交于H，ABC、ABH的外接圆分别为O与，求证：O与的半径相等。证明 如图所示，过A作和O的直径AP、AQ，连结PB、QB，则ABP=ABQ = 90，故P、B、Q三点共线。因为H为ABC的垂心，所以D、C、E、H四点共圆，所以AHE =C.又C =Q，所以AHE=Q.因为A、H、B、P均在上，所以AHE=P，所以P =Q，所以AP = AQ.所以O与的半径相等。例4：如图，直线AB与O相交于点E、F，EF为O的直径，且AE=EF = FB，直线AP与O半径OD垂直于D，求证：ADE =PDB 证明 如图，延长DO交O于M，连结AM，延长DE交AM于N，则OAMOBD，有OAM =OBD，知AMBD，故PDB =DAN因为AEEF，O为EF和DM的中点，则E为ADM的重心，所以N为AM的中点。又ADOD，即DN为RtADN斜边AM的中线，则DN=AN=NM，则ADE=DAN=PDB例5：设O为ABC的外心，I为ABC的内心，R和r分别为ABC的外接圆和内切圆的半径，求证：（欧拉定理）证明 连AI交O于D，连DO并延长交O于E，连结BD、BE，连结OI，直线OI交外接圆于G、H(如图)过I作IFAB于F，则IF = r，DE=2R .由相交弦定理，AIID = GIIH =(ROI)(ROI)=又BAD =BED，则AIEEDB，AIBD=DEIF = 2Rr由I是ABC的内心，则ID = BD于是AIID =AIBD，2Rr=，即.例6：如图，设O、G、H分别为ABC的外心、重心、垂心，AF是中线，ADBC于D，BEAC于E，求证：O、G、H三点共线，且GH=2OG. 证明 如图，连结OG、OH、OF，作ABC的外接圆O，连结CO并延长CO交O于P，连结AP、BP.由垂心性质知H为AD与BE交点，则BPAH， APBE，故APBH是平行四边形，于是得PB = AH.在BCP中，OF=PB，所以OF=AH.在BCP中，OF=PB，所以OF=AH.由OFPB，PBAH，得OFAH，故OFG=HAG又GF=AG，故OFG HAG