向量的加法

1 / 7 向量的加法 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 2 从位移的合成到向量的加法 向量的加法 一、教学目标 知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和； 掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算 能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为数学概念的过程和思想，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力 情感目标：经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热 情培养学生勇于探索、创新的个性品质 二重点难点 重点：向量加法运算的意义和法则 难点：向量加法法则的理解 三教学方法 采用 “ 启发探究 ” 式教学方法，结合多媒体辅助教学 四教学过程 创设情境直观感知 2 / 7 以杭州湾大桥为整体背景，设计两个问题情境如下： 问题：建桥之前如何从嘉兴到达宁波？建桥之后可以从嘉兴直达宁波，此时的位移与前面两次位移的结果有何关系？两次位移的结果可称为两次位移的和，如何用等式来刻画这三个位移的关系？ 问题 2：这是大桥南端的 A 型独塔斜拉桥，其中 两根拉索对塔柱的拉力分别为、，则它们对塔柱的共同作用效果如何？合力可称为力与的和，如何用等式来刻画这三个力的关系？ 力与位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它们的物理属性，就是数学中的向量它们的和也就可以抽象成向量与向量之间的一种运算 向量的加法（引出课题） 抽象概括形成定义 （一）建立数学模型 若记则向量叫做向量与的和，记为 问题 3：如图所示的三个向量，你们能给出它们所满足的等式吗？ ，即向量为向量与的和 （二）抽象数学概念 问题 4：由此，你们能 概括出一般的两个向量与和的定义吗？ 学生活动：在平面内任取一点 o，平移使其起点为点 o，平3 / 7 移使其起点与向量的终点重合，再连接向量的起点与向量的终点 （ 1）平移的目的是什么？ 平移后使得两个向量能在同一个三角形中； （ 2）平移后两个向量的终点与起点有何关系？ 使得第二个向量的终点与第一个向量的起点重合； （ 3）和向量又是什么？ 连接向量的起点与向量的终点，并指向的终点，得到的向量即为向量与的和； （ 4）借助于几何直观，用自然简洁的语言给出两个向量和的定义 和的定义：已知向量，在平面内任取一 点 o，作，则向量叫做向量的和记作：即 向量的加法的定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法 向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则 问题 5：用三角形法则求向量和的过程中要注意什么？ 平移两个向量使它们首尾顺次相连 问题 6：还可以用什么方法求两个向量的和呢？ 向量加法的平行四边形法则 问题 7：平行四边形法则有何特点？ 平移两个向量至共起点 两种方法求和的结果 是一样的，可见，向量加法的三角形法4 / 7 则与平行四边形法则在本质上是一致的在具体求和时，应根据情况灵活地选择 （三）尝试运用法则 试一试：如图，已知、，作出 向量加法的三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三角形法则具有广泛的适用性 类比猜想探究性质 问题 8：加法其实我们并不陌生，从小就开始学习数、字母、式的加法，实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？ 实数的加法向量的加法 性 质 交换律的验证让学生 通过画图自己验证，结合律的验证师生借助于多媒体共同完成 研究结果表明：向量的加法也满足交换律和结合律，这与数的加法是一致的有了交换律与结合律，向量的加法就可以按任意的组合与任意的次序进行，从而丰富了向量加法的内5 / 7 涵 数学运用深化认识 例 1如图， o 为正六边形 A1A2A3A4A5A6 的中心，作出下列向量： （ 1）（ 2）（ 3） （ 4）（ 5） 推广 1： 推广 2： 并以北京 08 奥运圣火的传递提供了现实原型 最后我们再回到这座宏伟壮观的大桥来解决这样一个实际问题： 例 2已知桥是南北方向 ，受落潮影响，海水以 /h 的速度向东流，现有一艘工作艇，在海面上航行检查桥墩的状况，已知艇的速度是 25km/h，若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，则艇的航向如何确定？ 分析：首先将实际问题数学化，把三个速度分别用向量来表示：如图，设表示水流速度，表示游艇的速度，那谁是游艇的实际速度？，三个向量应满足什么关系？ 解：如图，设表示水流速度，表示游艇的速度，表示游艇的实际速度，因为，所以四边形为平行四边形 在中， 6 / 7 ， 所以 答若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行，其航向应为北偏西 回顾反思拓展延伸 一、课时小结： 1、同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？ 知识内容：向量加法的定义、二个运算法则以及二个运算律 留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？ 本节课我们从物理原型抽象出数学模型，在此基础上去研究数学模型，最后应用到生活实践中去再一次告诉我们，数学源于生活，又服务于生活 2、马克思说过：一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步我们今天所学习的向量的加法为研究物理的相关问题提供了一种数学工具，随着对向量研究的逐步深入，向量作为 一种新的数学工具被越来越广泛的应用 二、拓展延伸：