和圆有关的比例线段

1 / 9 和圆有关的比例线段 和圆有关的比例线段教学建议 1、教材分析 (1)知识结构 (2)重点、难点分析 重点 :相交弦定理及其推论 ,切割线定理和割线定理 .这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点 ,而且还是中考试题的热点 ;这些定理和推论是重要的工具性知识 ,主要应用与圆有关的计算和证实 . 难点 :正确地写出定理中的等积式 .因为图形中的线段较多 ,学生轻易混淆 . 2、教学建议 本节内容需要三个课时 .第 1 课时介绍相交弦定理及其推论 ,做例 1和例 2.第 2课时介绍切割线定理及其推论 ,做例 3.第3 课时是习题课 ,讲 例 4 并做有关的练 3. (1)教师通过教学 ,组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题 ,逐步培养学生研究性学习意识 ,激发学生的学习热情 ; (2)在教学中 ,引导学生 “ 观察 猜想 证实 应用 ” 等学习 ,教师组织下 ,以学生为主体开展教学活动 . 第 1 课时 :相交弦定理 教学目标 : 1.理解相交弦定理及其推论 ,并初步会运用它们进行有关的2 / 9 简单证实和计算 ; 2.学会作两条已知线段的比例中项 ; 3.通过让学生自己发现问题 ,调动学生的思维积极性 ,培养学生发现问题的能力和探索精神 ; 4.通过推论的推导 ,向学生渗透 由一般到非凡的思想方法 . 教学重点 : 正确理解相交弦定理及其推论 . 教学难点 : 在定理的叙述和应用时 ,学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混 ,从而导致证实中发生错误 ,因此务必使学生清楚定理的提出和证实过程 ,了解是哪两个三角形相似 ,从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理 . 教学活动设计 (一 )设置学习情境 1、图形变换 :(利用电脑使 AB 与 cD弦变动 ) 引导学生观察图形 ,发现规律 :A=D,c=B. 进一步得出 :APcDPB. . 假如将图形做些变换 ,去掉 Ac 和 BD,图中线段PA,PB,Pc,Po 之间的关系会发生变化吗 ?为什么 ? 组织学生观察 ,并回答 . 2、证实 : 3 / 9 已知 :弦 AB和 cD交于 o 内一点 P. 求证 :PAPB=PcPD. (A层学生要练习学生写出已知、求证、证实 ;B、 c 层学生在老师引导下完成 ) (证实略 ) (二 )定理及推论 1、相交弦定理 :圆内的两条相交弦 ,被交点分成的两条线段长的积相等 . 结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理 :在 o 中 ;弦AB,cD相交于点 P,那么 PAPB=PcPD. 2、从一般到非凡 ,发现结论 . 对两条相交弦的 位置进行适当的调整 ,使其中一条是直径 ,并且它们互相垂直如图 ,AB是直径 ,并且 ABcD 于 P. 提问 :根据相交弦定理 ,能得到什么结论 ? 指出 :Pc2=PAPB. 请学生用文字语言将这一结论叙述出来 ,假如叙述不完全、不准确 .教师纠正 ,并板书 . 推论假如弦与直径垂直相交 ,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 . 3、深刻理解推论 :由于圆是轴对称图形 ,上述结论又可叙述为 :半圆上一点 c向直径 AB作垂线 ,垂足是 P,则 Pc2=PAPB. 若再连结 Ac,Bc,则在图中又出现了射影定理的基本图形 ,于4 / 9 是 有 : Pc2=PAPB;Ac2=APAB;cB2=BPAB (三 )应用、反思 例 1 已知圆中两条弦相交 ,第一条弦被交点分为 12 厘米和16 厘米两段 ,第二条弦的长为 32 厘米 ,求第二条弦被交点分成的两段的长 . 引导学生根据题意列出方程并求出相应的解 . 例 2 已知 :线段 a,b. 求作 :线段 c,使 c2=ab. 分析 :这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式 ,因此可引导学生作出以线段 a 十 b 为直径的半圆 ,仿照推论即可作出要求作的线段 . 作法 :口述作法 . 反思 :这个作图是作两已知线段的比例中项的问题 ,可以当作基本作图加以应用 .同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图 . 练习 1 如图 ,AP=2 厘米 ,PB=厘米 ,cP=1厘米 ,求 cD. 变式练习 :若 AP=2厘米 ,PB=厘米 ,cP,DP的长度皆为整数 .那么 cD的长度是多少 ? 将条件隐化 ,增加难度 ,提高学生学习爱好 练习 2 如图 ,cD 是 o 的直径 ,ABcD, 垂足为 P,AP=4 厘米 ,PD=2厘米 .求 Po的长 . 5 / 9 练习 3如图 :在 o 中 ,P是弦 AB上一点 ,oPPc,Pc 交 o 于c.求证 :Pc2=PAPB 引导学生分析 :由 APPB, 联想到相交弦定理 ,于是想 到延长cP 交 o 于 D,于是有 PcPD=PAPB. 又根据条件 oPPc.易证得 Pc=PD问题得证 . (四 )小结 知识 :相交弦定理及其推论 ; 能力 :作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力 ; 思想方法 :学习了由一般到非凡 (由定理直接得到推论的过程 )的思想方法 . (五 )作业 教材 P132中 9,10;P134 中 B 组 4(1). 第 2 课时切割线定理 教学目标 : 1.把握切割线定理及其推论 ,并初步学会运用它们进行计算和证实 ; 2.把握构造相似三角形证实切割线定理的方法与技巧 ,培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力 3.能够用运动的观点学习切割线定理及其推论 ,培养学生辩证唯物主义的观点 . 教学重点 : 理解切割线定理及其推论 ,它是以后学习中经常用到的重要6 / 9 定理 . 教学难点 : 定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点 . 教学活动设计 (一 )提出问题 1、引出问题 :相交弦定理是两弦相交于圆内一点 .假如两弦延长交于圆外一点 P,那么该点到割线与圆交点的四条线段PA,PB,Pc,PD 的长之间有什么关系 ?(如图 1) 当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点 (如图 2)时 ,由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长 PA,PB,PT之间又有什么关系 ? 2、猜想 :引导学生猜想出图中三条线段 PT,PA,PB 间的关系为 PT2=PAPB. 3、证实 : 让学生根据图 2 写出已知、求证 ,并进行分析、证实猜想 . 分析 :要证 PT2=PAPB, 可以证实 ,为此可证以 PAPT 为边的三角形与以 PT,BP 为边的三角形相似 ,于是考虑作辅助线TP,PB.( 图 3). 轻易证实 PTA=B 又 P=P, 因此BPTTPA, 于是问题可证 . 4、引导学生用语言表达上述结论 . 切 割线定理从圆外一点引圆的切线和割线 ,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 . 7 / 9 (二 )切割线定理的推论 1、再提出问题 :当 PB、 PD为两条割线时 ,线段 PA,PB,Pc,PD之间有什么关系 ? 观察图 4,提出猜想 :PAPB=PcPD. 2、组织学生用多种方法证实 : 方法一 :要证 PAPB=PcPD, 可证此可证以 PA,Pc为边的三角形和以 PD,PB为边的三角形相似 ,所以考虑作辅助线 Ac,BD,轻易证实 PAc=D,P=P, 因此 PAcPDB.( 如图 4) 方法二 :要证 ,还可考虑证 实以 PA,PD为边的三角形和以 Pc、PB 为边的三角形相似 ,所以考虑作辅助线 AD、 cB.轻易证实B=D, 又 P=P. 因此 PADPcB.( 如图 5) 方法三 :引导学生再次观察图 2,立即会发现 .PT2=PAPB, 同时 PT2=PcPD, 于是可以得出 PAPB=PcPB=PcPD 推论 :从圆外一点引圆的两条割线 ,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 .(也叫做割线定理 ) (三 )初步应用 例 1 已知 :如图 6,o 的割线 PAB交 o 于点 A 和 B,PA=6 厘米 ,AB=8厘米 ,Po=厘米 ,求 o 的半径 . 分析 :由于 Po既不是 o 的切线也不是割线 ,故须将 Po延长交 o 于 D,构成了圆的一条割线 ,而 oD又恰好是 o 的半径 ,于是运用切割线定理的推论 ,问题得解 . (解略 )教师示范解题 . 8 / 9 例 2 已知如图 7,线段 AB 和 o 交于点 c,D,Ac=BD,AE,BF 分别切 o 于点 E,F, 求证 :AE=BF. 分析 :要证实的两条线段 AE,BF 均与 o 相切 ,且从 A、 B 两点出发引的割线 AcD 和 BDc 在同一直线上 ,且 Ac=BD,AD=Bc.因此它们的积相等 ,问题得证 . 学生自主完成 ,教师随时纠正学生解题过程中出现的 错误 ,如 AE2=AccD 和 BF2=BDDc 等 . 巩固练习 :P128练习 1、 2 题 (四 )小结 知识 :切割线定理及推论 ; 能力 :结合具体图形时 ,应能写出正确的等积式 ; 方法 :在证实切割线定理和推论时 ,所用的构造相似三角形的方法十分重要 ,应注重很好地把握 . (五 )作业教材 P132 中 ,11、 12题 . 探究活动 最佳射门位置 国际足联规定法国世界杯决赛阶段 ,比赛场地长 105 米 ,宽68米 ,足球门宽米 ,高米 ,试确定边锋最佳射门位置 (精确到 l米 ).