复合函数问题(做).doc

_复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若A B，则y关于x函数的y=fg(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二 复合函数解析式1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法例1 设是一次函数，且，求解：设，则， 2、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域例2 已知 ，求 的解析式解：， ， 3、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化例3 已知，求解：令，则， ， ， 4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式解：设为上任一点，且为关于点的对称点 则 ，解得： ，点在上 ， 把代入得：整理得， 5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式例5 设求解 显然将换成，得： 解 联立的方程组，得：6、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式 例7 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求解对于任意实数x、y，等式恒成立，不妨令，则有再令 得函数解析式为：7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式例8 设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数 都有，求 解 ，不妨令，得：，又 令式中的x1，2，n1得：将上述各式相加得：， ， 三 复合函数定义域问题(1)、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D，即，所以的作用范围为D，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，E为的定义域。例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_。解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以解得，故函数的定义域为（1，e）例2. 若函数，则函数的定义域为_。解析：先求f的作用范围，由，知即f的作用范围为，又f对f(x)作用所以，即中x应满足即，解得故函数的定义域为（2）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域。例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_。解析：的定义域为，即，由此得所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为_。解析：先求f的作用范围，由，知解得，f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以，即的定义域为（3）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域。例5. 若函数的定义域为，则的定义域为_。解析：的定义域为，即，由此得的作用范围为又f对作用，所以，解得即的定义域为四、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数.若在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间 ）上是增函数.证明：在区间）内任取两个数，使因为在区间）上是减函数，所以,记, 即因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，故函数在区间）上是增函数.（2）复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：增 减 增 减 增 减 增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）例题演练例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 单调减区间是 设 则 = 又底数 即 在上是减函数同理可证：在上是增函数例2、讨论函数的单调性.解由得函数的定义域为则当时，若，为增函数，为增函数.若，为减函数.为减函数。当时，若，则为减函数，若，则为增函数.例3、.已知y=(2-)在0，1上是x的减函数，求a的取值范围.解：a0且a1当a1时，函数t=2-0是减函数由y= (2-)在0，1上x的减函数，知y=t是增函数，a1由x0，1时，2-2-a0,得a2,1a2当0a0是增函数由y=