§4.2 多项式的恒等变形.doc

西藏大学理学院数学系严俊举4.2 多项式的恒等变形教学目的:使学生掌握多项式的有关理论及多项式变形的方法,主要是 解析式的求法拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。教学重点与难点：解析式的求法拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。课时安排：2课时。教学内容如下：一、 多项式的基本概念多项式是由数与字母进行+、运算而构成。 定义 设n是一非负整数，形如的多项式，当时，叫做一元n次多项式。 所有系数全为零的多项式叫做零多项式，记为0。零多项式是唯一不定义次数的多项式。 二、多项式的恒等定理（多项式的基本定理） 定理1 如果在给定的数域里，对于变数字母的任意值，多项式的值都等于零，那么这个多项式的所有系数都等于零。 证明 用数学归纳法 （1）当n=1时，。因为对于x的任意值，f(x)的值都等于零，所以令x=0，即得。由此得，再令x=1，则有。因此，命题对于一次多项式成立。（2）假定命题对于次数低于n的多项式成立，现在来证明对于n次多项式也成立。如果对于x的任意值，都有 在等式中，以2x代x，得 ，得这是一个次数低于n次的多项式，它恒等于零，依归纳假定，它的所有系数都等于零，即 因为 所以 代入得，令x=1,得 根据（1）、（2），命题对于任意的一元多项式都成立。 定理2 两个多项式 （） 恒等的充分必要条件是它们的次数相等，且对应项系数相等，即 证明 条件的充分性是显然的，下面证明必要性。 为了确定起见，不妨设nm。若两个多项式的次数不同，可以在次数较低的多项式中添系数为零的项，使。因为，所以由定理1，得 所以 由此，f(x)与g(x)除系数为零的项以外，完全由相同的项所组成，即次数相等，且对应项系数相等。 以上两个定理，对于多元多项式也能成立，证明从略。定理2也是待定系数法的理论根据。 定理3 如果两个次数不大于n的多项式f(x)和g(x），它们对x的n+1个不同的值都有相等的值，那么这两个多项式恒等，即。 证明 设。如果（不恒等），即（不恒等），那么是一个次数不超过n的多项式。由题设知，有n+1个不同的值使=0，这与代数基本定理矛盾。所以f(x)与g(x)恒等。 由定理3可知，对于次数不大于n的多项式f(x)，如果x等于不同的时它的n+1个值是已知的，就能确定f(x)各项的系数，从而唯一确定这个多项式。这就是著名的拉格朗日插值公式： + + + + 例1 已知f(x)是二次多项式，且f(-1)=13,f(0)=1,f(1)=-1,求f(x)。 解 由拉格朗日插值公式，得 = 三、待定系数法 1、定义 按照一定规律，先写出问题解的一般形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有一些尚待确定的未知系数 ，然后根据题设条件确定这些未知系数的值，从而得到问题的解。这种方法通常叫做待定系数法。其中待确定的未知系数叫做待定系数。 2、确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。 比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。 特殊值法，是指通过取字母的一些特定数值代人恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的值。 待定系数法应用十分广泛，主要用于处理多项式的恒等变形问题，如分解因式、解方程、确定函数的解析式等。 例2 已知多项式能够被整除，求a,b的值。 解法1 比较系数法 设商式为，则 =（）（） 将式右边展开，得 = 由于式是恒等式，比较两个对应项的系数，由定理2，得 解方程组得 a=-11,b=4 解法2 特殊值法由题设条件，可设 =（）（） 由于式是恒等式，它对所有使式子有意义的x值都成立。分别令x=1,2,-1,得 解方程组得 a=-11,b=4 例3 以x-2的幂表示多项式。 解法1 特殊值法 按x-2的降幂排列，可设 = 式中分别令x=2,0,1得解出所以 = 解法2 应用综合除法略。 四、多项式恒等变形中常用的公式 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、10、11、12、带余除法定理：设f(x)、 g(x)是数域F上的两个多项式，且g(x)0,则存在数域上的唯一的一对多项式q(x) 和 r(x)，使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x) ，其中 r(x) =0 或者 r(x)的次数低g(x)的次数。13、因式定理：多项式f(x)被(x-a)整除的充分必要条件是f(a)=0。例4 已知 x+y+z=0,求证：证明1 将已知式的两边分别平方、三次方，整理得 证明2 由待证式的对称性，可设x、y、 z是关于T的三次方程的三个根，则有由于所以同理所以原等式成立。 五、多项式的因式分解 因式分解是多项式理论的中心内容之一,一般涉及多项式的可分解理论问题及如何分解的技术问题。在中学阶段，主要解决后者，比较详尽地介绍提取公因式法、公式法、十字相乘法、拆项添项法、分组分解法。 例5 设，证明是合数。 证明 若能分解为两因式的积，则为合数。为此先分解因式： 因为，故且均不等于1，所以是合数。 （分组、公式法） 例6 将因式分解。 解 原式= = = 例7 将分解。 （原式中减加） 例8 将因式分解。 （中间两括号结合，一四两个括号结合） 以下介绍几种特别方法。 1、待定系数法分解因式 用待定系数法分解因式，就是按已知条件把原式假设为若干个因式的乘积，使这些因式的乘积与原式成恒等式，然后利用多项式恒等原理，求出各待定系数。此法的理论基础是多项式恒等的充分必要条件，此法的关键是如何判定各因式的形式。 例9 分解因式 解 观察各项系数可知，它没有一次因式，为此设 比较对应项的系数，得 解出所以= 例10 分解因式 解 由可设 =将此式展开，并比较两边系数，得 解得所以= 例11 分解因式 解 因为与9均为完全平方项，设 比较系数得k=-1，于是分解式可写。 2、用余数定理和综合除法分解因式 多项式f(x)有因式x-a的充分必要条件是f(a)=0。a就是f(x)的一个有理根，就能得到f(x)的一次因式。 例12 分解因式。 解 f(x)的首项系数为2，常数项为6，其可能的有理根是，它们都可作为综合除法的试除数，经过逐次试除，知1，-2，-3，为其有理根。因此原式可分解为 3、利用行列式分解因式 被分解的多项式有时可表示成适当的行列式，根据行列式的性质，对行列式进行推演，逐步化成因式乘积的形式。 例13 分解因式 解 = 例14 分解因式 解 4、因式分解的一般方法在有理数域内，任何n次多项式都能经有限次算术运算分解为不可约多项式的积。这一方法是由德国数学家克罗内尔给出的，在理论上肯定了有理数域内多项式分解的可能性。 例15（14） 分解因式 解 显然没有一次因式。若f(x)可约，则其必有不超过f(x)次数一半的因式，即二次因式g(x)，另一个因式为三次因式，设为q(x)。即 f(x)=g(x)q(x) 因为f（x）为整系数多项式，因此g(x) 、 q(x)也是整系数多项式。对于整数a, f(a)=g(a) q(a)中的g(a) 是 f(a)的因数。由于f(a)的因数个数有限，所以只能得到有限个g(a)。 因为g(x)是个二次式，应用拉格朗日插值公式，x只需取三个数就可以了。例如取0，1，-1三个整数，可求得f(0)=-1,f(1)=-3,f(-1)=-1。则g(0)可能的取值为；g(1)的可能取值为，；g(-1)的可能取值为为。所以g(0),g(1),g(-1)的可能取值