弹塑性力学习题及答案.doc

本教材习题和参考答案及部分习题解答第二章2.1计算：(1)，(2)，(3)。 答案 (1);答案 (2);解：(3)。2.2证明：若，则。（需证明）2.3设、和是三个矢量，试证明：证：因为，所以即得 。2.4设、和是四个矢量，证明：证明：2.5设有矢量。原坐标系绕轴转动角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量在新坐标系中的分量。 答案： ， ，。2.6设有二阶张量。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量在新坐标系中的分量、和。提示：坐标变换系数与上题相同。答案：，。2.7设有个数，对任意阶张量，定义 若为阶张量，试证明是阶张量。证：为书写简单起见，取，则2.8设为二阶张量，试证明。 证：2.9设为矢量，为二阶张量，试证明： (1)，(2) 证：(1) 。 证：(2) 2.10已知张量具有矩阵 求的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。 解： 2.11已知二阶张量的矩阵为求的特征值和特征矢量。解： 2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：，其中，和是实数，和是两个相互垂直的单位矢量。解：因为，所以是的特征矢量， 是和其对应的特征值。设是和垂直的任意单位矢量，则有所以和垂直的任意单位矢量都是的特征矢量，相应的特征值为，显然是特征方程的重根。令 ，则有 ，上面定义的是相互垂直的单位矢量。张量可以表示成所以，三个特征值是1、0和1，对应的特征矢量是、和。2.13设和是矢量，证明：(1)(2)证：(1) (2) 2.14设，求及其轴向矢量。 解： 由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量 。2.15设是一闭曲面，是从原点到任意一点的矢径，试证明：(1)若原点在的外面，积分；(2)若原点在的内部，积分。证：(1)当时，有 (b)因为原点在的外面，上式在所围的区域中处处成立，所以由高斯公式得。(2)因为原点在的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为的球面完全在的内部。用表示由和所围的区域，在中式(b)成立，所以 即 在上，于是 。2.16设，试计算积分。式中是球面在平面的上面部分. 解：用表示圆，即球面和平面的交线。由Stokes公式得 。第三章3.1设是矢径、是位移，。求，并证明：当时，是一个可逆 的二阶张量。 解： 的行列式就是书中的式(3.2)，当时，这一行列式大于零，所以可逆。3.2设位移场为，这里的是二阶常张量，即和无关。求应变张量、反对称张量及其轴向矢量。 解：， 3.3设位移场为，这里的是二阶常张量，且。请证明： (1)变形前的直线在变形后仍为直线； (2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面； (3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。 证：(1)方向和矢量相同且过矢径为的点的直线方程可以写成 (1) 其中是可变的参数。变形后的矢径为 (2) 用点积式(1)的两边，并利用式(2),得 上式也是直线方程，所表示的直线和矢量平行，过矢径为的点。所以变形前的直线变形后仍然是直线。 (2)因为，所以可逆。记，则 (3) 变形前任意一个平面的方程可以表示成 (4) 其中是和平面垂直的一个常矢量，是常数。将式(3)代入式(4)，得 (5) 上式表示的是和矢量垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。 (3)变形前两个平行的平面可以表示成 ， 变形后变成 ， 仍是两个平行的平面。3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化；反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。 答案：能；能。3.5设位移场为，其中是二阶常张量，和是两个单位矢量，它们之间的夹角为。求变形后的减小量。 答案： 。3.6设和是两个单位矢量，和是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边形面积为，试用应变张量把变形时它的面积变化率表示出来，其中是面积变形前后的改变量。 解：变形后，和变成 ， 对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得 对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得 (a) 注意到 所以，从式(a)可得 利用习题2.4中的等式，上式也可写成 3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为，让坐标系绕轴转动角，得一个新的坐标系，求在新坐标系中的应变分量。 答案： ， ， ， ，3.8在平面上，、和轴正方向之间的夹角分别为、，如图3.9所示，这三个方向的正应变分别为、和。求平面上任意方向的相对伸长度。 答案： 3.9试说明下列应变分量是否可能发生： ， ， 其中和为常数。 解： 3.10确定常数，之间的关系，使下列应变分量满足协调方程 ， ， ， 。 解： 3.11若物体的变形是均匀的，即应变张量和空间位置无关，试写出位移的一般表达式。 解：（由于应变张量和空间位置无关，所以书中的式(3.36a)简化成） 3.12设，其中，是常量，求位移的一般表达式。 解： 第四章4.1已知物体内一点的六个应力分量为： ， 试求法线方向余弦为，的微分面上的总应力、正应力和剪应力。 答案： 总应力。 正应力。 剪应力。4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为和，在这两个面上的应力矢量分别为和，试证。 证：（利用应力张量的对称性）4.3某点的应力张量为 且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求及该平面的单位法向矢量。 解：设要求的单位法向矢量为，则按题意有 即 ， (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 上式有两个解：或。若，则代入式(a)中的三个式子，可得，这是不可能的。所以必有。将代入式(a)，利用，可求得 。4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图4.8，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量 ， 满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数、和。 解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。 在的边界上，有边界条件 ， 所给的应力分量自动满足上面的第二个条件。将的表达式代入上面的第一个条件，得 (1) 在上斜面上，有，所以斜面上的应力分量可以简化成 ， (2)斜面上的外法向方向余弦为 ， (3) 将式(2)和(3)代入边界条件，得 (4) 联立求解(1)和(4)，得 ，4.5图4.9表示一三角形水坝，已求得应力分量为 ， ， 和分别是坝身和水的比重。求常数、，使上述应力分量满足边界条件。 解：在的边界上，有边界条件 ， 将题中的应力分量代入上面两式，可解得：，。 在左侧的斜面上，外法向方向余弦为 ， 把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件，可解得：，。4.6物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷，试写出其边界条件。 解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为 或 按题意，边界条件为 因此 即 上式的指标形式为 。4.7如图4.10所示，半径为的球体，一半沉浸在密度为的液体内，试写出该球的全部边界条件。 解：球面的外法向单位矢量为 或 当时，有边界条件 即 或 。 当时，球面上的压力为，其中为重力加速度，边界条件为 即 或 。4.8物体的应力状态为，其中为矢径的函数。(1)证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数，使；(2)写出物体表面上的面力表达式。 解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以 所以，只要令，就有。 (2)表面上的面力为 或 。4.9已知六个应力分量中的，求应力张量的不变量并导出主应力公式。 解：应力张量的三个不变量为：，。 特征方程是 上式的三个根即三个主应力为和 4.10已知三个主应力为、和，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，其法向单位矢量为 ， 求八面体各个面上的正应力和剪应力。 解：， ， 。4