勾股定理与几何辅助线综合(难) 【答案】.pdf

第 1 页（共 14 页） 勾股定理与几何辅助线综合（难）勾股定理与几何辅助线综合（难） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 3 小题）小题） 1 （2014十堰）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，DEBC，垂足为点 E，连接 AC 交 DE 于点 F，点 G 为 AF 的中点，ACD=2ACB若 DG=3，EC=1，则 DE 的长为（ ） A2 B C2 D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得 DG=AG，根据等腰三角形的性质可得 GAD=GDA，根据三角形外角的性质可得CGD=2GAD，再根据平行线的性质和等量 关系可得ACD=CGD，根据等腰三角形的性质可得 CD=DG，再根据勾股定理即可求解 【解答】解：ADBC，DEBC， DEAD，CAD=ACB，ADE=BED=90， 又点 G 为 AF 的中点， DG=AG， GAD=GDA， CGD=2CAD， ACD=2ACB=2CAD， ACD=CGD， CD=DG=3， 在 RtCED 中，DE=2 故选：C 【点评】综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题 的关键是证明 CD=DG=3 2如图，在ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点已知ACB=90，BE=4，AD=7， 则 AB 的长为（ ） A10 B5 C2 D2 【分析】设 EC=x，DC=y，则直角BCE 中，x2+4y2=BE2=16，在直角ADC 中， 4x2+y2=AD2=49，解方程组可求得 x、y，在直角ABC 中，AB= 【解答】解：设 EC=x，DC=y，ACB=90， 在直角BCE 中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16 第 2 页（共 14 页） 在直角ADC 中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49， 解得 x=，y=1 在直角ABC 中，AB=2， 故选 C 【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角BCE 和 直角ADC 求 DCBC 的长度是解题的关键 3 （2015 秋重庆校级期中）如图，已知ABC 中，点 D 在 AB 上，且 CD=AD=BD，点 F 在 BC 上，过 D 作 DEDF 交 AC 于 E，过 F 作 FGAB 于 G，以下结论：ABC 为直 角三角形，BF2+DG2=DF2+BG2，AE2+BF2=CE2+CF2，AG2=AC2+BG2，其中结论正 确的序号是（ ） A B C D 【分析】根据在ABC 中，点 D 在 AB 上，且 CD=AD=BD，点 F 在 BC 上，过 D 作 DE DF 交 AC 于 E，过 F 作 FGAB 于 G，可得A=DCA，DCB=B，又根据三角形内 角和，可以求得ACD=90，从而判断；再根据题目中的垂直条件，可以通过转化得到 是否正确；点 F 在 BC 上，无法确定 BF 与 CF 是否相等，由此可以判断是否成立 【解答】解：CD=AD=BD， A=DCA，DCB=B， A+DCA+DCB+B=180， A+B=ACD+BCD=90， ABC 为直角三角形， 故正确； FGAB， BF2BG2=DF2DG2=FG2， BF2+DG2=DF2+BG2， 故正确； CD=AD=BD，DEAC，FGBA， AE=EC， 点 F 在 BC 上， CF 与 BF 不一定相等， AE2+BF2不一定等于 CE2+CF2， 故错误； AG2=AC2+BG2， FGAB， AG2=AF2FG2，BG2=BF2GF2 AC2+BG2=AC2+BF2FG2， 点 F 在 BC 上， CF 与 BF 不一定相等， 第 3 页（共 14 页） AG2不一定等于 AC2+BG2， 故错误， 故选 A 【点评】 本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理， 解题的关键是灵活运用勾股定理和勾股定 理的逆定理解答问题 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 4 （2013江岸区模拟）将一副三角尺如图拼接：含 30角的三角尺（ABC）的长直角边 与含 45角的三角尺（ACD）的斜边恰好重合已知 AB=2，E 是 AC 上的一点（AE CE） ，且 DE=BE，则 AE 的长为 【分析】根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 BC，再利用勾股定理列 式求出 AC，过点 D 作 DFAC 于 F，根据等腰直角三角形的性质求出 DF=CF=AC，设 CE=x，表示出 EF，然后分别用勾股定理表示出 DE2、BE2，再列出方程求解即可 【解答】解：AB=2，BAC=30， BC=AB=2=， 根据勾股定理，AC=3， 过点 D 作 DFAC 于 F， ACD 是等腰直角三角形， DF=CF=AC=， 设 CE=x，则 EF=x， 在 RtDEF 中，DE2=DF2+EF2=（）2+（x）2， 在 RtBCE 中，BE2=BC2+CE2= 2+x2， DE=BE， （）2+（x）2= 2+x2， 解得 x=， 第 4 页（共 14 页） 所以，AE=ACCE=3= 故答案为： 【点评】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半的性 质，等腰直角三角形的性质，作辅助线，利用勾股定理表示出 DE、BE 然后列出方程是解 题的关键 5 （2012常熟市模拟）如图，ABC 中，BAC=90，BC=6，ABAC=2，过点 B 作 BAC 的平分线的垂线，垂足为 D，交 AC 延长线于点 E，则BCE 的面积为 【分析】由ABC 中，BAC=90，得到此三角形为直角三角形，利用勾股定理列出关系 式，由 ABAC=2，表示出 AB，将表示出的 AB 与 BC 的长代入，得到关于 AC 的一元二 次方程，求出方程的解得到 AC 的长，进而求出 AB 的长，再由 AD 为角平分线，得到一对 角相等，AD 垂直于 BE，得到一对直角相等，以及 AD 为公共边，利用 ASA 得出三级爱心 哦 ABD 与三角形 AED 全等，由全等三角形的对应边相等可得出 AB=AE，求出 AE 的长， 由 AEAC 求出 CE 的长，此时 BA 为 CE 边上的高，利用三角形的面积公式求出三角形 BCE 的面积即可 【解答】解：由ABC 中，BAC=90，BC=6， 根据勾股定理得：BC2=AB2+AC2，即 AB2+AC2=36， 由 ABAC=2，得到 AB=AC+2， 代入得： （AC+2）2+AC2=36， 整理得：AC2+2AC16=0， 解得：AC=1+或 AC=1（舍去） ， 则 AB=1+2=+1， AD 为BAE 的平分线， BAD=EAD， ADBE， ADB=ADE=90， 在ADB 和ADE 中， ， ADBADE（ASA） ， 第 5 页（共 14 页） AB=AE=+1， CE=AEAC=+1（1+）=2， 则 SBCE=CEBA=2（+1）=+1 故答案为：+1 【点评】此题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，全等三角形的判定与性质，以及等腰 三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理是解本题的关键 6 （2009攀枝花）如图所示，在ABC 中，C=2B，点 D 是 BC 上一点，AD=5，且 ADAB，点 E 是 BD 的中点，AC=6.5，则 AB 的长度为 【分析】RtABD 中，AE 是斜边 BD 上的中线，则 BE=AE=DE，因此AEC=2B，由此 可证得AEC 是等腰三角形，即 AE=AC=6.5，由此可得到 BD 的长，进而可由勾股定理求 出 AB 的值 【解答】解：RtABD 中，E 是 BD 的中点，则 AE=BE=DE； B=BAE，即AED=2B； C=2B， AEC=C，即 AE=AC=6.5； BD=2AE=13； 由勾股定理，得：AB=12 【点评】此题主要考查的是直角三角形、等腰三角形的性质及勾股定理的综合应用能力；能 够发现AEC 是等腰三角形，以此得到直角三角形的斜边长，是解答此题的关键 7 （2015塘沽区三模）如图，ABD 和CED 均为等边三角形，AC=BC，ACBC若 BE=，则 CD= 【分析】易证BCDBED，得 BC=BE，易证 DCAB，得 DF 为 BA 边上的高，则根 据 CD=DFCF 即可求解 【解答】解：CA=CB，DA=DB CD 均在线段 AB 的垂直平分线上，即 DFAB，且CDB=30 BD 为等边CDE 中CDE 的角平分线，CDB=EDB 在CDB 和EDB 中， 第 6 页（共 14 页） CDBEDB（SAS） ， BE=BC AC=BC=， AB=2，且 DF=， 且 CF=BF=1， CD 的长为 DFCF=1 故答案为1 【点评】 本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用， 考查了全等三角形的判定与对应边相 等的性质，本题中求 BE=BC 是解题的关键 8 （2015 春硚口区期末） （1） ABC 中， AB=15， BC=14， AC=13， 则 BC 边上的高为 ； （2） 如图， ABC 中， AB=AC， A=30， 点 D 在 AB 上， ACD=15， AD=， 则 BC= 【分析】 （1）作 ADBC 于点 D，设 BD=x，则 CD=14x，再根据勾股定理求出 x 的值， 进而可得出 AD 的长； （2）作 BECD 于 E，作 DFAC 于 F，则BEC=BED=AFD=CFD=90，由等腰三 角形的性质求出ACB=75，再求出BCE=60，BDE=45，设 CE=x，则 BC=2x， BE=DE=x，得出 CD=x+x，BD=x，AC=AB=+x，在 RtCDF 中，由勾股定 理得出方程，解方程求出 x，即可得出 BC 【解答】解： （1）作 ADBC 于 D，如图 1 所示： 设 BD=x，则 CD=14x， AD 是 BC 边上的高， ADB=ADC=90， AD2=AB2BD2，AD2=AC2CD2， AB2BD2=AC2CD2， 即 152x2=132（14x）2， 解得：x=9， 第 7 页（共 14 页） BD=9， AD=12； 故答案为：12； （2）作 BECD 于 E，作 DFAC 于 F，如图 2 所示： 则BEC=BED=AFD=CFD=90， AB=AC，A=30， ABC=ACB=75，DF=AD=， AF=DF=， ACD=15， BCE=7515=60，BDE=30+15=45， CBE=30，BDE 是等腰直角三角形， BC=2CE，BE=DE， 设 CE=x，则 BC=2x，BE=DE=x， CD=x+x，BD=BE=x， AC=AB=+x， 在 RtCDF 中，根据勾股定理得：CF2+DF2=CD2， 即（+x）2+（）2=（x+x）2， 解得：x=1， BC=2 故答案为：2 【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函 数、解方程等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线运用 三角函数和勾股定理得出方程才能得出结果 三解答题（共三解答题（共 5 小题）小题） 第 8 页（共 14 页） 9 （2013武汉模拟）已知ABC 中，AB=AC （1）如图 1，在ADE 中，若 AD=AE，且DAE=BAC，求证：CD=BE； （2）如图 2，在ADE 中，若DAE=BAC=60，且 CD 垂直平分 AE，AD=3，CD=4， 求 BD 的长； （3）如图 3，在ADE 中，当 BD 垂直平分 AE 于 H，且BAC=2ADB 时，试探究 CD2， BD2，AH2之间的数量关系，并证明 【分析】 （1）求出DAC=BAE，再利用“边角边”证明ACD 和ABE 全等，再根据全 等三角形对应边相等即可得证； （2）连接 BE，先求出ADE 是等边三角形，再根据全等三角形对应边相等可得 BE=CD， 全等三角形对应角相等可得BEA=CDA=30，然后求出BED=90，再利用勾股定理列 式进行计算即可得解； （3）过 B 作 BFBD，且 BF=AE，连接 DF，先求出四边形 ABFE 是平行四边形，根据平 行四边形对边相等可得 AB=EF，设AEF=x，AED=y，根据平行四边形的邻角互补与等 腰三角形的性质求出CAD，从而得到CAD=FED，然后利用“边角边”证明ACD 和 EFD 全等， 根据全等三角形对应边相等可得 CD=DF， 然后利用勾股定理列式计算即可得解 【解答】 （1）如图 1，证明：DAE=BAC， DAE+CAE=BAC+CAE， 即DAC=BAE 在ACD 与ABE 中， ， ACDABE（SAS） ， CD=BE； （2）连接 BE， AD=AE，DAE=60， ADE 是等边三角形， CD 垂直平分 AE， CDA=ADE=60=30， ABEACD， BE=CD=4，BEA=CDA=30， BEDE，DE=AD=3， BD=5； 第 9 页（共 14 页） （3）如图，过 B 作 BFBD，且 BF=AE，连接 DF， 则四边形 ABFE 是平行四边形， AB=EF， 设AEF=x，AED=y， 则FED=x+y， BAE=180x，EAD=AED=y，BAC=2ADB=1802y， CAD=360BACBAEEAD=360（1802y）（180x）y=x+y， FED=CAD， 在ACD 和EFD 中， ， ACDEFD（SAS） ， CD=DF， 而 BD2+BF2=DF2， CD2=BD2+4AH2 【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与 性质，线段垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等的性质，等边三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，作辅助线构 造出全等三角形与直角三角形是解题的关键 10 （2012沙坪坝区模拟）如图，ABC 中，B=60，C=30，AM 是 BC 边上的中线， 且 AM=4求ABC 的周长 （结果保留根号） 【分析】根据题意可判断出ABC 是直角三角形，然后根据斜边中线等于斜边一半可得出 BC 的长度，结合 30角所对直角边等于斜边一半可得出 AB，利用勾股定理可求出 AC，继 而可得出ABC 的周长 【解答】解：B=60，C=30， CAB=180BC=90， 又AM 是 BC 边上的中线， AM=BC， 又AM=4， BC=2AM=8， 在 RtABC 中，C=30， 第 10 页（共 14 页） AB=BC=4，AC=4， ABC 的周长为：AB+BC+AC=12+4 【点评】此题考查了勾股定理及含 30角的直角三角形的性质，属于基础题，解答本题的关 键是判断出ABC 是直角三角形，难度一般 11 （2012南宁模拟）如图 1，四边形 ABCD 是矩形，P 是 BC 边上的一点，连接 PA、PD （1）求证：PA2+PC2=PB2+PD2 （2）如图 2，当点 P 在矩形 ABCD 的内部时，连接 PA、PB、PC、PD上面的结论是否还 成立？说明理由 （3） 当点 P 在矩形 ABCD 的外部时， 连接 PA、 PB、 PC、 PD 上面的结论是否还成立？ （不 必说明理由） 【分析】 （1）根据 PA2PB2=AB2=CD2=PD2PC2，移项即可； （2）过点 P 作 AD 的垂线，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，可证四边形 ABFE 和 CDEF 为 矩形，则 AE=BF，DE=CF，在PAE，PCF，PBF，PCF 中，分别求 PA2，PC2，PB2， PD2，再比较 PA2+PC2与 PB2+PD2即可； （3）画出图形，把问题转化到直角三角形中，由勾股定理分别求 PA2，PC2，PB2，PD2 【解答】 （1）证明：在 RtABP 中，由勾股定理，得 PA2PB2=AB2， 同理可得 PD2PC2=CD2， 由矩形的性质可得 AB=CD， PA2PB2=PD2PC2， PA2+PC2=PB2+PD2 （2）成立 过点 P 作 AD 的垂线，交 AD 于点 E，交 BC 于点 F， 则四边形 ABFE 和 CDEF 为矩形， AE=BF，DE=CF， 由勾股定理得： 则 AP2=AE2+PE2，PC2=PF2+CF2， BP2=BF2+PF2，PD2=DE2+PE2， PA2+PC2=AE2+PE2+PF2+CF2， PB2+PD2=BF2+PF2+DE2+PE2， PA2+PC2=PB2+PD2 （3）成立如图，由勾股定理可证 PA2+PC2=PB2+PD2 第 11 页（共 14 页） 【点评】本题考查了勾股定理及矩形的性质关键是作辅助线，构造直角三角形，利用勾股 定理分别表示边长的平方 12 （2006临沂）ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c若C=90，如图 1，根据勾股定理， 则 a2+b2=c2若ABC 不是直角三角形，如图 2 和图 3，请你类比勾股定理，试猜想 a2+b2 与 c2的关系，并证明你的结论 【分析】当ABC 是锐角三角形时，过点 A 作 ADBC，垂足为 D，设 CD 为 x，根据 AD 不变由勾股定理得出等式 b2x2=AD2=c2（ax）2 ， 化简得出 a2+b2c2 当ABC 是钝角三角形时过 B 作 BDAC， 交 AC 的延长线于 D 设 CD 为 y，根据勾股定理，得（b+x）2+a2x2=c2化简得出 a2+b2c2 【解答】解：若ABC 是锐角三角形，则有 a2+b2c2（1 分） 若ABC 是钝角三角形，C 为钝角，则有 a2+b2c2 （2 分） 当ABC 是锐角三角形时， 证明：过点 A 作 ADBC，垂足为 D，设 CD 为 x，则有 BD=ax（3 分） 根据勾股定理，得 b2x2=AD2=c2（ax）2 即 b2x2=c2a2+2axx2 a2+b2=c2+2ax（5 分） a0，x0， 2ax0 a2+b2c2 （6 分） 当ABC 是钝角三角形时， 证明：过 B 作 BDAC，交 AC 的延长线于 D 设 CD 为 y，则有 BD2=a2y2（7 分） 第 12 页（共 14 页） 根据勾股定理，得（b+y）2+a2y2=c2 即 a2+b2+2by=c2 （9 分） b0，y0， 2by0， a2+b2c2 （10 分） 【点评】本题考查了勾股定理的运用通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键 13 （2010苏州）刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图、 图中，B=90，A=30，BC=6cm；图中，D=90，E=45，DE=4cm图 是刘卫同学所做的一个实验： 他将DEF 的直角边 DE 与ABC 的斜边 AC 重合在一起， 并将DEF 沿 AC 方向移动在移动过程中，D、E 两点始终在 AC 边上（移动开始时点 D 与点 A 重合） （1）在DEF 沿 AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C 两点间的距离逐渐 （填 “不变”、“变大”或“变小”） （2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题： 问题：当DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，F、C 的连线与 AB 平行？ 问题：当DEF 移动至什么位置，即 AD 的长为多少时，以线段 AD、FC、BC 的长度为 三边长的三角形是直角三角形？ 问题：在DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得FCD=15？如果存在，求出 AD 的长度；如果不存在，请说明理由 请你分别完成上述三个问题的解答过程 第 13 页（共 14 页） 【分析】 （1）根据题意，观察图形，F、C 两点间的距离逐渐变小； （2） 因为B=90， A=30， BC=6cm， 所以 AC=12cm， 又因为FDE=90， DEF=45， DE=4cm，所以 DF=4cm，连接 FC，设 FCAB，则