卷积公式在求连续型随机变量和分布中的应用.pdf

河北科技师范学院学报第2 9 卷第2 期，2 0 1 5 年6 月 J o u r n a lo fH e b e iN o r m a lU n i v e r s i t yo fS c i e n c e & T e c h n o l o g yV 0 1 2 9N o 2J u n 2 0 1 5 D O I ：1 0 3 9 6 9 J I S S N 1 6 7 2 - 7 9 8 3 2 0 1 5 0 2 0 1 2 卷积公式在求连续型随机变量和分布中的应用 王静，赵会娟 ( 河北科技师范学院数学与信息科技学院，河北秦皇岛，0 6 a ) 0 4 ) 摘要：对卷积公式进行推广，得到了求二维连续型随机变量线性组合分布的卷积公式，该方法在求二维连续型 随机变量线性组合分布时较分布函数法更加简洁、高效，更适用于此类问题的求解。 关键词：连续型随机变量；分布函数；卷积公式 中图分类号：0 2 1 1 5文献标志码：A文章编号：1 6 7 2 - 7 9 8 3 ( 2 0 1 5 ) 0 2 - 0 0 5 7 - 0 4 对二维连续型的随机变量( x ，y ) ，总可以用分布函数法求得函数Z = g ( x ，Y ) 的密度函数。但这种方 法计算量大，尤其当( x ，l ，) 的密度函数p ( 戈，Y ) 是分段函数时，计算过程较为繁琐。当Z = X + y 时，文献 1 中介绍了卷积公式法，这种方法可以看作是特殊情形下分布函数法的简化。特别的，当z = x + y 是分 段函数时，用卷积公式求随机变量z 的密度函数P z ( 名) 时，如何分区间讨论及确定积分限是一个难点。笔 者致力于对卷积公式及其应用进行尽可能详细地分析，为读者今后学习、使用卷积公式提供一定帮助。 l 卷积公式的推广 本次研究中提到的随机变量均指连续型的随机变量。 定理1 【1 1设二维随机变量( X ，Y ) 的概率密度函数为p ( x ，Y ) ，X ，Y 的边沿概率密度函数分别为 m ( x ) ，P y ( ) ，) ，Z = X + y ，则z 的概率密度函数为 P zz ) = Ip ( x ，：一菇) d x ( 1 ) 或 P z ( = ) = Ip ( 二一) ，) ，) 以 ( 2 ) 当X 与l ，相互独立时，则 匕( 彳) = fP x ( 石) P ，( 孑- x ) d x( 3 ) 或 P zz ) = IP x ( 彳- y ) P y ( y ) 渺( 4 ) 公式( 3 ) 与( 4 ) 称为卷积公式。 采用公式( 1 ) 、公式( 2 ) ，或公式( 3 ) 、公式( 4 ) ，求出Z = X + y 的密度P z ( ：) 的方法称为卷积公式法。 卷积公式法可用来求x 与l ，和的密度，如果函数是X 与y 的线性组合，即Z = a X + b Y ，( a , s b 0 ) ，用 卷积公式法还可以求z 的密度。由此引出下面的定理2 。 定理2 设二维随机变量( X ，y ) 的概率密度函数为p ( x ，Y ) ，X ，Y 的边沿概率密度函数分别为m ( 菇) ， P y ( ，) ，Z = a X + 6 y ，( 口，b # O ) ，则z 的概率密度函数为 P z ( ：) = 击f 1 p ( 菇，学) d x ( 5 ) 或 以加古仁p ( 挚，y ) d y ( 6 ) 收稿日期：2 0 1 5 - 0 1 3 1 ；修改稿收到日期：2 0 1 5 - 0 6 - 0 1 万方数据 河北科技师范学院学报 2 9 卷 当X 与y 相互独立时，则 m ( z ) = 可1 仁p 工( 茗) p y ( 丁Z - - O 坷) 出 或 以z ) = 可1 仁以挚) p y ( y ) d y 公式( 7 ) 与公式( 8 ) 称为X 与Y 的卷积公式。 证明据Y 前系数b 的正负，积分区域D 位于直线似+ 砂= 石的下方 或上方。下面分情况讨论。 若b 0 ，分2 种情况讨论如下： ( 1 ) 如果口，b 同号，则积分区域D 如图1 阴影部分所示。此时名的分 布函数B ( z ) = p ( 菇，y ) d x d y = f l ；d xf p ( 石，y ) d y ，固定z ，石，作变 量代换，= 旦，则妙= i 1d ，于是上式 图1 以( 石) = f i Z d xf ：P ( 戈，旦) 丢d = r 。( ，：p ( 石，旦产) 出) d 两边对z 求导，得到： 以加仁出，半) 如= 击仁小，芋) 出 p z ( 加可1f l ；p ( 半，y ) d y ( 2 ) 如果a , b 异号，即b O ，a O ，此时积分区域D 如图2 阴影部分所示。 此时z 的分布函数凡( ：) = f fp ( 菇，y ) a x d y = f 以f ，垃p ( 髫，) ，) 出，固定z ，Y ， ，+ 蕾，+ 蕾 作变量代换：菇= 旦吾芝，则出= 1 nd u ，于是上式 巴( z ) = f l ；+ f , ( u - 口6 y ，) 出= ，：如( 一，上，- - p ( u - 6 y ，) - = 1 i 出 瑾+ b y = z ( 7 ) ( 8 ) = f ：；d yf + ( u - 口6 y 古出= 厂。( 音仁p ( u - 口厶y ，) d y ) d M 图2 两边对z 求导，N N p z ( z ) = T 1 丁，! ：p ( 三，y ) d y ，类似可得：儿( z ) = 毛丁J ! ：p ( 石，三亍堕) 出。 b O 时，和上面讨论相似，故略。 若x 与l ，相互独立，由随机变量独立的条件可得儿( z ) = 可1 ，! ：m ( 菇) p r ( 互产) d x 或p z ( z ) = 丁J f ! ：肌( 三) 。p r ( ，) 妙成立。证毕! 同样地，采用公式( 5 ) 、公式( 6 ) ，或公式( 7 ) 、公式( 8 ) ，求出Z = a X + b Y ，( 口，6 0 ) 的密度儿( 石) 的方法 就成为卷积公式法。 2 分布函数法与卷积公式法的应用与比较 例1 设随机变量X ，l ，相互独立，并分别在 一5 ，1 与 1 ，5 内服从均匀分布，其概率密度函数分别为 以加p 。5 嘲副p y ( ，) ：1 4 ：1 手垮5 万方数据 2 期 王静等卷积公式在求连续型随机变量和分布中的应用 ，y 求随机变量Z = X + Y 的分布密度函数。 解法1 分布函数法。 首先，随机变量X ，y 相互独立，故得X ，Y 的联合密度函数 p ( ) ：| 亩，。岛q 尽y 【o ，其它 则Z 的分布函数为r z ( z ) = P Z 。z l = P t X + l ，： _ f fp ( 菇，y ) d x d y ，由于x ，Y 的联合密度函数p ( 石，) 的实际取值范围是一个矩形，根据直线菇+ ) ，= 彳过矩形4 个顶点时z 的取值，将z 范围划分为以下5 个区间 进行讨论。 当z 一4 时，F zz ) = O ； - 4 。 z 0 时，F z ( z ) = ( 出f 5 去d y = 古( 旦笋吨+ 萼，； 当o z 2 时，( z ) = ：以r 二击出= 吉( z + 5 ) 一i 1 ； 当2 ： 6 时，B ( ：) = r s - ，5 毗J5 ，百| 毋+ 厂一，如，_ - - 丢d y = 孑1 一嘉+ ； 当z 6 时F z ( ：) = 1 。 故儿( ：) = 互堕一4 z 0 2 4 、 吉，o z “ 。 鱼兰2 石 6 2 4 8 。、 O ，其它 解法2 卷积公式 丢。 已知随机变量x ，l ，相互独立，z ：x + l ，故由卷积公式p ：( z ) = f ”P x ( 茹) p ，( ：一茗) 出，这里菇与，= z x 的实际取值范围是一5 算1 ，l z 一髫5 ，由此可得1 + 菇石5 + 茗，从而石的实际取值范围是 一4 ， 6 。 当z 在 一4 ，6 的不同区间段上取值时，自变量戈的变化范围不同，分段如下： 当： 一4 或= 6 时，P z ( 彳) = O ； 当一4 韶 o 时，兄( ：) = Jl 一- ，I i l 了1 出= 1 z + r 4 ； 兰i o - ： 2 时。匕( ：) = J 一, - i i l 百1 出= 百1 ； 当2 ： 6 时，P z ( z ) = J z - I 百1 。百1 出= 1 6 矿- - Z 。 故 尝。一4 = 0 2 z 一髫 o 。实际积分区域划分如下： 当彳O 时，弘( 2 ) = 0 ； 当二 o 时，弘( z ) ：2f 五e 七+ h d x ：2f 盈e h 以：4 z e - 蕾。 故Z 的密度函数 以加莨。 说明：在解法2 中，并未求( X ，Y ) 的边沿密度函数P x ( 省) ，P Y ( ，) ，而是利用了定理2 中的公式( 5 ) 、 公式( 6 ) 直接去求z ：兰芸的密度函数。 3 结论 通过以上两道例题，可清楚地看到卷积公式法在求二维随机变量( z ，Y ) 的线性组合函数Z = a X + 6 l ，( 口，b # O ) 的密度时的简捷应用。在求Z = a X + 6 l ，( 口，b 0 ) 的密度函数时，使用卷积公式法较分布 函数法有两点优势：其一，：的分段区间易讨论，根据x , y 的实际取值范围就可确定；其二，计算简便，在 z 的实际取值区间内，P z ( z ) 是一个定积分容易计算，而在分布函数法中，相应区间的以( ：) 是一个二重 积分，计算起来较麻烦。 参考文献： 1 郑国萍，郭亚君概率论与数理统计 M j 匕京：中国农业科学技术出版社，2 0 1 0 2 盛骤，谢式千，潘承毅概率论与数理统计 M 第三版北京：高等教育出版社，2 0 0 1 3 孙清华，孙吴概率论与数理统计内容、方法与技巧 M 第二版武汉：华中科技大学出版社，2 0 0 6 4 霍海峰，温鲜二维连续型随机变量卷积公式探讨 J 价值工程，2 0 1 1 ( 2 7 ) ：3 0 5 5 赵娟，张晓阳卷积公式的推广及应用 J 淮北师范大学学报：自然科学版，2 0 1 2 ，3 3 ( 1 ) ：8 6 - 8 9 6 罗建华卷积公式的应用注记 J 中南林业科技大学学报：自然科学版，2 0 0 7 ，2 7 ( 1 ) ：1 5 2 - 1 5 4 7 胡杨利，李应求，赵晓芹卷积公式的妙用 J 当代教育理论与实践，2 0 1 3 ，5 ( 1 2 ) ：1 8 5 1 8 6 8 刘怡娣卷积公式商分布的推导与应用 J 长春教育学院学报，2 0 1 3 ，2 9 ( 3 ) ：9 8 9 ( 下转至第6 9 页) 万方数据 2 期邓竞伟城市公交系统的最优路径搜索算法 1 0 B o n d yJA ，M u r t yUSR G r a p hT h e o r yw i t hA p p l i c a t i o n s M L o n d o n ：T h eM a c m i l l a nP T e s 8L t d ，1 9 7 6 1 1 严寒冰，刘迎春基于G I S 的城市道路网最短路径算法探讨 J 计算机学报，2 0 0 0 ，2 3 ( 2 ) ：2 1 0 - 2 1 5 1 2 王元彪智能交通系统中D i j k s t r a 算法的高效实现 J 计算机工程，2 0 0 7 ，3 3 ( 6 ) ：2 5 6 - 2 5 8 ，2 6 1 1 3 C a n t o n eD ，F a r oS T w o L e v e L s G r e e d y ：ag e n e r a l i z a t i o no fD i j k s t r a ss h o r t e s tp a t ha l g o r i t h m j E l e c t r o n i cN o t e si nD i s c r e t eM a t h e m a t i c s ，2 0 0 4 ，1 7 ( 2 0 ) ：8 1 - 8 6 1 4 章永龙D i j k s t r a 最短路径算法优化 J 南昌工程学院学报，2 0 0 6 ，2 5 ( 3 ) ：3 0 - 3 3 1 5 余冬梅，张秋余，马少林，等D i j k s t r a 算法的优化 J 计算机工程，2 0 0 4 ，3 0 ( 2 2 ) ：1 4 5 1 4 6 1 6 鲍培明距离寻优中D i j k s t r a 算法的优化 J 计算机研究与发展，2 0 0 1 ，3 8 ( 3 ) ：3 0 7 - 3 1 1 1 7 刘彦良，王鹏涛复杂网络的优化模型及最短路径求解 J 天津理工大学学报，2 0 0 6 ，2 2 ( 1 ) ：3 3 3 5 1 8 H a nYJ An o t eo f a n0 ( n 3 l o g n ) t i m ea l g o r i t h mf o ra l lp a i r ss h o r t e s tp a t h s J I n f o r m a t i o nP r o c e s s i n gL e t t e r s ，2 0 0 8 ， 1 0 5 ( 3 ) ：1 1 4 - 1 1 6 1 9 张鑫，刘岳峰，郑江华，等针对公交的最优路径算法 J 计算机工程与应用，2 0 0 6 ( 2 2 ) ：2 0 7 - 2 0 9 作者简介：邓竞伟( 1 9 8 0 - ) ，女，讲师，硕士。主要研究方向：复杂网络、信息处理。 ( 责任编辑：朱宝昌) T h eO p t i m a lP a t hS e a r c h i n gA l g o r i t h mo fU r b a nP u b l i cT r a _ n cS y s t e m s D E N G J i n g w e i ( S c h o o lo fM a t h e m a t i c sa n dC o m p u t e rS c i e n c e ，N o r t h w e s tU n i v e r s i t yf o rN a t i o n a l i t i e s ， G a n s uL a n z h o u ，7 3 0 1 2 4 ，C h i n a ) A b s t r a c t ：B a s e do nt h ea n a l y s i so ft h ec h a r a c t e r i s t i c so fu r b a np u b H ct r a n s p o r ts y s t e m ，w eu s e dt h es h o r t e s t p a t ha l g o r i t h mt oc a r r yo nt h ee l a b o r a t i o na n dt h ea n a l y s i s ，t h e nd e s c r i b e dt h es h o r t e s tp a t ha l g o r i t h ma n di m p r o v e dD i j k s t r aa l g o r i t h m T h ei m p r o v e da l g o r i t h mw a sa p p l i e dt ot h eu r b a np u b U ct r a n s p o a a t i o ns y s t e ma n d f i n a l l yv e r i f i e db yas i m p l ee x a m p l e T h er e s u l t ss h o w e dt h a tt h ei m p r o v e da l g o r i t h mi se f f i c i e n t l yb e R e rt h a n t h eD i j k s t r aa l g o r i t h mi ns e a r c h i n gf u n c t i o n K e yw o r d s ：D i j k s t r aa l g o r i t h m ；u r b a np u b l i ct r a g i cn e t w o r k ；o p t i m a lp a t h ( 上接第6 0 页) 作者简介：王静( 1 9 8 1 ) ，女，硕士，讲师。主要研究方向：代数密码。 ( 责任编辑：朱宝昌) I h eA p p H c a t i o no fC o n v o l u t i o nF o r m u l ai nT w oD i m e n s i o n C o n t i n u o u sR a n d o mV a r i a b l e SS u mD i s t r i b u t i o n W r A N GJ i n g Z H A 0H u i - j u a n ( S c h o o lo fM a t h e m a t i c sa n dI n f o r m a t i o nS c i e n c e & T e c h n o l o g y 。H e b e