§17.3 二项展开式.doc

17.3二项展开式重 点展开二项式难 点 理解并记住二项展开式以及通项公式学习要求 正确展开二项式 正确写出二项式通项展开(x+y)2为x,y的多项式，对你来说应该是毫无困难；展开(x+y)3也不能难倒你；但如果要你展开(x+y)100为x,y的多项式，你可能要傻眼了就觉得有困难了，因为不但可以预料展开式冗长，而且x,y的次数及各项系数的计算也会令人望而却步本节将揭示这种展开式中x,y的次数及各项系数的规律这其中的关键是组合数的应用1. 二项式展开按代数式相乘的法则展开(x+y)3，并且依x的降幂排列，结果是8项之和：(x+y)3=(x+y) (x+y) (x+y)=x3+x2y+x2y+x2y+xy2+xy2+xy2+y3，其中每一项x的次方与y的次方之和都是3，且其中有不少同类项合并同类项后得到4项：(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3同样按代数式相乘法则展开(x+y)n，并且依x的降幂排列，结果将是2n项相加：(x+y)n =xn+xn-1y+xn-2y2+xn-3y3+xyn-1+yn， (1)其中的每一项都是xkyn-k的形式(0kn)，且也有许多同类项只要对每个k=0,1,2,n，能知道xkyn-k的同类项个数Ak，那么合并同类项后，(1)式必定是如下n+1项的和的形式：(x+y)n =Anxn+An-1xn-1y+An-2xn-2y2+An-3xn-3y3+A1xyn-1+A0yn， (2)(1)二项式定理 以(x+y)100的展开问题为例例如考虑x10y90的同类项，它可以以下列形式出现：10个90个9个89个88个9个90个10个 xx.xyy.y, xx.xyxyy.y, xx.xyyxyy.y,., yy.yxx.x其个数A10相当于把90个y 放到100个格子里去(其余格子留给x)的可能放法，这正是100取90的组合数，因此x10y90的同类项个数A10=把x10y90换成一般的项xky100-k(0k100)，无非是把上面讨论中的10换成k，同样得到xky100-k的同类项项数Ak= 更一般地讨论展开(x+y)n，相当于上面讨论中的100换成n；据(2)式，此时每一项x与y的指数和是n；取其中任意一个项xkyn-k(0kn)，同类项的个数相当于n个格子，放n-k个y的可能放法，这是n取n-k的组合数 各同类项计数完毕，就能写出(x+y)n按x的降幂排列的展开式了 (x+y)n=xny0+xn-1y+xn-2y2+xn-3y3+.+xyn-1+x0yn ,即 (x+y)n=， (17-3-1)（17-3-1）中，符号“S”是求和记号；“”是求和的项的通式，“S”的上、下标分别表示起始项和最后一项所对应的k 根据组合数的对偶法则，=，因此(17-3-1)也能写为 (x+y)n= (17-3-2)公式(17-3-1), (17-3-2)称为二项式定理等式右边的多项式称为二项展开式，共有n+1项；展开式中的系数(k=0,1,2,.,n)称为二项式系数；(0kn)是展开式的第k+1项，称为二项展开式的通项，记作 (17-3-3)(2)二项式系数的计算图17-6. . . (1) (1) (x+y)1 (1) (2) (1) (x+y)2 (1) (3) (3) (1) (x+y)3 (1) (4) (6) (4) (1) (x+y)4 (1) (5) (10) (10) (5) (1) (x+y)5 (1) (6) (15) (20) (15) (6) (1) (x+y)6(1) (7) (21) (35) (35) (21) (7) (1) (x+y)7 1 (x+y)0要想得到(x+y)n的具体的展开式，关键是计算二项式系数在知道了组合数公式后，理论上这种计算并无困难让我们把所有的系数搭成如图17-6的那个三角形，可见三角形各排两端的数总是1；根据组合数的增一法则，从第三排起，中间任何一个数等于上一排其“肩上”两个数字的和去掉 1 (x+y)0 1 1 (x+y)1 1 2 1 (x+y)2 1 3 3 1 (x+y)3 1 4 6 4 1 (x+y)4 1 5 10 10 5 1 (x+y)5 1 6 15 20 15 6 1 (x+y)6 1 7 21 35 35 21 7 1 (x+y)7 1 8 28 56 70 56 28 8 1 (x+y)8 . . .图17-7组合数符号，留下计算结果，则是图17-7的三角形 这个三角形数表，是自然界和谐统一的体现古时候文明之邦，或早或迟都会有人发现并研究它，我国宋朝数学家杨辉(13世纪)所著详解九章算术里就已经记载着这样的表，我们称这个表为杨辉三角杨辉三角源自贾宪(11世纪)，因此现在有些数学家建议改称贾宪三角法国人帕斯卡(Pascal,17世纪)也发现了这个表，在西方称为帕斯卡三角例1 展开(2+x)5解 (2+x)5= =32