高数半期复习题答案详解

高等数学A(2)、B(2)半期考试复习题一、微分方程1求下列微分方程的通解（1） 解：分离变量、两边积分得，解得。故通解为（2）解：，分离变量两边积分，得，故通解为（3）解：原方程变为。令则。故，即，分离变量、两边积分得：，即。故原方程通解为。（4）解：原方程变为，令则。故，即。分离变量、两边积分得：，即。故原方程通解为，即。（5）解：原方程变为，通解为 。（6）解：原方程可变为为即。故其通解为 。（7）解：特征方程为，解得。故通解为。（8）解：特征方程为，解得。故通解为。（9）解：对应的齐次方程的特征方程为，解得，故齐次方程通解为。又，故可设，代入原方程，比较系数得，故，从而原方程通解为。（10） 解：对应的齐次方程的特征方程为，解得，故齐次方程通解为。又，故可设，代入原方程，比较系数得，故，从而原方程通解为。2.（1）；解：分离变量得：， 通解为， 特解为 （2）解： 通解为， 特解为 （3）解：的特征方程 通解为 设的一个特解 ，则 的通解为 ，又 特解为 3. 已知关于的二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，则该方程为（ ）。解：为两个线性无关的特解，则特征根分别为 ， 所求方程 4已知函数,都是方程的解,（1）求的值；（2）求这个方程的通解。解： 是的两个线性无关的特解，则2,1为其两个特征根 （1） （2）方程的通解 5. 设可导函数满足，求的表达式。 解：由题得：， （等式两边同时求导） ， 所以 6求可导函数,使它满足方程。解：由题得：， （等式两边同时求导） ， 7.设满足关系式，求解：由题得：， （等式两边同时求导） ， 8设曲线满足方程，且与直线在点（0,0）处相切，求此曲线方程。解：的特征方程 故 又 所以 二、空间解析几何与向量代数1、设，求及方向余弦。解：，。2、设，求解：，3、设，求，。解： ， ， 。4、设，求。解：， ；。5、设向量的模分别为，求解： ，。6、已知：，求：（1）；（2）以向量为邻边的平行四边形面积。解：， ，。7、求螺旋线在处的切线方程与法平面方程。 解：对应的切点，切线方程：；法平面方程：。8、求曲线在点处的切线方程与法平面方程。 解：切点对应的， 切线方程：法平面方程：。9、求曲线：上的点，使该点处的切线平行于平面。 解：设切点为，对应的， ，得，故切点为。10、求曲面在点处的切平面和法线方程。解：设，由切点为 切平面法向量，取 切平面：;即 法线：11、求曲面在点处的切平面方程。解：设，由切点为切平面法向量，取 切平面：;即12、求曲面在点处的切平面与法线方程解：设，由切点为切平面法向量，取 切平面：;即 法线：。三、多元函数微分学1. 讨论极限是否存在？若存在，请求此极限。解：令，则 原式=。2求下列函数的偏导数（1） ； 。（2）； （3） 。(4)设，求。； 。(5)设，求先代后求法：先求； 则 。3下列函数的二阶偏导数。3. （1） （2）解： （1） （或者由对称性得到上述结果）（2） 4下列函数的全微分（1）解：法一：因为 所以法二：微分法 （2）解：因为 所以.5. 设，其中具有一阶连续偏导数，求，解：设，则由多元复合函数求导法则： ，=06设，其中具有一阶连续偏导数，求。解：设 ，由多元复合函数求导法则：， ，由此7. 设，其中具有一阶、二阶连续偏导数求。解：设，由多元复合函数求导法则：8设方程 确定了隐函数，求，。解：令，则9. 设方程确定了隐函数，求。解：，10.设。解：，则；11.设,而是由方程所确定的函数,求解：，则12求函数的极值。解： 且，由此该函数驻点为（1,0），易知：A=，B=-1，C=2， 所以该点为极小值点且取得极小值-113. 求函数的极值。解： ，由此该函数驻点为（0,3），易知： A=，B=1，C=2， 所以该点为极小值点且取得极小值-9.14*已知容积为的开顶长方体盒子，问其尺寸怎样时，有最小表面积？解：设长方体长、宽、高分别为x,y,z(x0,y0,z0)构造拉格朗日