本科毕业论文-函数项级数的收敛判别法探究.doc

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Dini theorem(function series and column are available)9. use conclusion:a power series and column are available,and is(i) when or convergence,uniform convergence on (or);(ii)when on the uniform convergence if and only if in uniform convergenceThis paper aimed to the convergent series expressed by function terms discriminant method carries on the comprehensive summary and exploration Keywords: function series,uniform convergence 目 录第一章 绪论1 1.1引言1 1.2定义: .1 1.2.1 函数项级数定义.1 1.2.2 函数项级数一致收敛性的定义.1 1.3 函数项级数一致收敛的判定方法3 1.3.1定理1（柯西一致收敛准则）4 1.3.2定理2（余项判别法）4 1.3.3定理3（魏尔斯特拉斯判别法）5 1.3.4定理4（狄利克雷判别法）5 1.3.5定理5（阿贝尔判别法）6 1.3.6定理67第二章 函数项级数的收敛判别方法应用.8 函数项级数的收敛判别法应用 摘要：函数项级数的收敛判别问题是函数项级数问题中最基本最重要的问题，在研究函数项级数收敛的问题时可借鉴一些数项级数的方法，本文对函数项级数的收敛判别方法及其应用做了全面细致的阐述 关键词：函数项级数、收敛判别1 引言函数项级数作为数项级数的推广,在研究内容上同数项级数有许多极其相似的地方,比如它们的收敛性、和的问题，但函数项级数还有一点不同于数项级数,就是关于它的一致收敛性。对比数项级数的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法,不难发现,它们在判断方法上极其相似,特别是在它们判别法的名称上,比如它们都有Cauchy判别法、Abel判别法等. 对于函数项级数的一致收敛性,有没有类似于数项级数收敛性判别的其它方法,是一个值得研究的课题.函数项级数在一致收敛的条件下，可以讨论其和函数的连续性、可微性以及可积性.函数项级数在一致收敛时，求和和求导、求和和求积分的顺序可以交换顺序.并且，往往交换顺序以后方便我们解决一些函数项级数中的基本问题.这个应用非常重要，因此，本文将对函数项级数收敛判别的方法进行全面的总结.2 定义：2.1 函数项级数定义 2.1.1 定义 设u(x)是定义在数集E上的一个函数列，表达式 u(x)+u(x)+u(x) 称为定义在E上的函数项级数，简记为或。称 ，n=1,2,为函数项级数的部分和函数列。2.2 函数项级数一致收敛的定义 若函数项级数的部分和函数列在数集上一致收敛于，则称函数项级数在上一致收敛于或称在上一致收敛. 我们可以看到，函数项级数的一致收敛性归结到其部分和函数列的一致收敛性的研究上。例1 考察级数的一致收敛性分析：由于函数项级数的一致收敛性要归结到它的和函数列的一致收敛性上。所以我们首先要求出它的和函数列，由等比级数求和公式知当时，对于任意，由于因此级数的一致收敛性等价于函数列对区间的一致收敛于零。证明: 由等比级数求和公式知当时，对任意，下面证明此函数列是一致收敛于零的。由于，所以在有界且对于任意给定的，存在，当时，有。于是对所有自然数，有 ，而当时，由知，当时于是在地一致收敛于零，因此存在，当时，对所有有这样当时，对所有，有，因此级数在上一致收敛。定义1： 设，（）都是在数集D上由定义的函数，若存在一个在D上由定义的函数S(x),对任意的，存在自然数N,使得当nN时，对一切均有 |则称函数项级数在数集D上一致收敛于S(x).3 函数项级数一致收敛的判定方法 下面将给出一些判别函数项级数一致收敛的基本方法：柯西一致收敛准则，维尔斯特拉斯判别法（M判别法），狄利克雷判别法，阿贝尔判别法以及不常用的方法，例如：两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、一致条件判别法、导数判别法、点列判别法这几方面来介绍函数项级数一致收敛的判别方法.3.1 常用判别方法3.1.1 定理1 （柯西一致收敛准则）函数项级数在数集D上一致收敛的充要条件：对任意的正数，总存在某正整数N,使得当nN时，对一切x和一切正整数p,都有 |或 |N及任何正整数p,有 |=又对一切有 | 根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数在上一致收敛 3.1.2 定理2 （阿贝尔判别法） (1)在区间上一致收敛; (2)对于每一个是单调的； (3)在上一致有界，即对一切和正整数n，存在正数M,使得 则级数在上一致收敛。 证明：由（1），任给存在某正数N,使得当nN及任何正整数P，对一切，有 |0,存在正数N，当nN时，对一切x,由 所以 于是由一致收敛的柯西准则，级数在上一致收敛.（注意：利用狄利克雷判别函数级数一致收敛时，三个条件都应满足）同样的，结合数项级数比式判别法和根式判别法,可以得到函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法,同时我们还可得到函数项级数一致收敛性的对数判别法、积分判别法. 3.1.5 定理5 （ 比式判别法） 设为定义在数集D上的函数列，且，n=1,2,记，存在正整数N及实数q,M,使得，对任意的nN, 成立，则函数项级数在D上一致收敛. 证明:易见 (x)= = 而等比级数当公比0 q N ,xD 成立,则函数项级数在D上一致收敛.证明:由定理条件,|(x)| ，对nN,xD 成立,而几何级数收敛,由优级数判别法知,函数项级数在D 上一致收敛.（注:当定理6 条件成立时,级数在D上收敛且绝对收敛）（极限形式） 设(x) 为定义在数集D 上的函数列,若，对x D成立,则函数项级数在D 上一致收敛。3.1.7 定理7 (对数判别法) 设(x) 为定义在数集D 上正的函数列,若 存在,则：(1) 若对,p( x) p 1 , 则 函数项级数在D 上一致收敛;(2) 若对,pN ,有 ，则当p 1 时收敛,由优级数判别法知函数项级数在D上一致收敛;而当p, p级数当pN时，对一切自然数p和一切,有. 由,所以在数集D上一致收敛.3.1.8 定理9 （确界判别法） 函数项级数在区间D上一致收敛于S(x)的充要条件：. 证明：充分性 已知函数项级数在区间D上一致收敛于S(x). ，有：.从而，. 必要性 已知，即,有.从而，有，即函数项级数在区间D上一致收敛于S(x).3.2 其它判别方法 在熟悉以上常规的判别法以后，在处理一些问题时还会用到其它的判别方法，例如：两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、一致条件判别法、导数判别法、点列判别法等,下面将一一介绍. 3.2.1 两边夹判别法 对任意自然数和,都有成立,又与均在点集D上一致收敛于,则也在点集D一致收敛于.3.2.2 单调判别法 下面讨论在级数的和函数单调条件下,加上若干条件,可推出函数项级数的Dini 定理.(Dini定理) 设级数的每一项在有界闭区间上连续且非负,如果它的和函数也在上连续,那么该级数在上一致收敛.证用记级数的部分和,由于0,故对每个给定的,是单调增的数列.记 （）, 则是非负的单调减得数列.我们要证明在上一致趋于0.如果不是这样,那么存在某个,不论多大,总能在找到这样的点,使得 （）, （）既然是中的一个点列,那么根据Bolzano-Weierstrass定理,从它中间能挑出一个收敛的子列,设,则,根据的连续性,我们有 （）. 另一方面,对于任意给定的,总能找到充分大的,使.于是,对于任意给定的,就有,特别有.因而由1得,命,就得 （）. 但2知道,（）,这和矛盾,从而证明了级数在上一致收敛于.注如果把定理中的有界闭区间换成开区间或者无穷区间,结论就可能不成立.例如级数的每一项在区间中非负且连续,它的和函数也在中连续,但该级数在中并不一致收敛. 3.2.3 一致条件判别法下面讨论满足一致条件,来探讨的一致收敛性,得到函数项级数的一致条件判别法：定理 设函数列在闭区间上连续,且存在一点收敛,使得在点收敛；且在闭区间上满足一致条件；则函数项级数在上一致收敛.证 已知在点收敛,即任意,存在,使得时,对任意,有；又因为在闭区间上满足一致条件,即存在常数,使得对于任意两点,都有存在,当0时,对一切,任意,任意,有 L,于是任意,任意,任意, .即在上一致收敛.3.2.4 导数判别法下面探讨在函数列可微条件下,当在上一致收敛时,函数项级数的一致收敛性.定理 设函数列在闭区间上连续,可微,且存在一点收敛,使得在点收敛；在上一致收敛；则函数项级数在上一致收敛.证已知在点收敛,在上一致收敛,即任意,存在,使得时,对任意,有；对任意,有根据拉格朗日中值定理,任意,任意,任意,有 （介于与之间）于是任意,任意,任意, .即在上一致收敛.3.2.5 点列判别法下面,把在点集X归结到点列的情况下来确定函数项级数的一致收敛性.定理 在点集X上一致收敛于的充分必要条件是对任点列 .都有证： 必要性 若在点集X上一致收敛于,则 .于是对任意点列 ,都有 .充分性（用反证法） 假设在点集X上不一致收敛于,则,及,使得 .于是,取,与,使取,与,使；取,与,使；.这样就得到一点列,使,与已知条件相矛盾.4. 总结本文介绍了多种判断函数项级数一致收敛的方法，并对这些方法进行了理论上的证明，为我们处理函数项级数相关的问题提供了丰富的解决方法. 参考文献：1. 华东师范大学数学系，数学分析（下）.高等教育出版社，2001年6月第三版.2. 刘玉琏，傅沛仁，林玎.数学分析讲义.高等教育出版社，2003年4月第二版.3. 邓东皋，尹小玲.数学分